四川省巴中市普通高中2024-2025学年高三上学期9月零诊考试数学试题

数学·第 1页（共 4页） 巴中市普通高中 2022 级“零诊”考试 数学试题 （满分 150 分 120 分钟完卷） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2. 答选择题时请使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须 用 0. 5 毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题 无效，在试题卷上答题无效． 3. 考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的． 1．已知复数 2 1 i z   ，则 | |z （ ） A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 2．设 l m n、 、 为直线，且m n、 在平面 内，则“ l  ”是“ l m l n 且 ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合 4{ | , , } 1 P x y x y x     N ， { | 1 4}Q x x  ≤ ≤ ，则 P Q  （ ） A．{1, 2, 4} B．{0, 1, 3} C．{ | 0 3}x x≤ ≤ D．{ | 1 4}x x ≤ ≤ 4. 已知 nS 是等差数列{ }na 的前 n项和，若 4 812 40S S ， ，则 12S （ ） A．44 B．56 C．68 D．84 5．设函数 ( 4), 0,( ) ( 4), 0. x x xf x x x x     ≥ 若 2( 3) ( 1)f a f a   ，则实数 a的取值范围是（ ） A． ( , 1) (2, )    B． ( , 2) (1, )    C． ( , 1) (3, )    D． ( , 3) (1, )    6．有 4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从 4人中任选 两人参加服务，则恰有 1人连续参加两天服务的概率为（ ） A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 数学·第 2页（共 4页） 7. 已知函数 1( ) 3 1 f x x x     的图象与直线 ( 1) 4y k x   有两个交点 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， 则 1 2 1 2x x y y   （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知 1 2F F， 是椭圆 22 2 2: 1 ( 0) yxC a b a b     的左右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若 1 22F A F B   ，且 1 2 4 AF F   ，则椭圆 C的离心率为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 3 3 D． 2 3 二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对得 6分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分． 9．设离散型随机变量 X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量 Y满足 2 1Y X  ，则（ ） A． 0.4m  B． ( ) 2, ( ) 1.2E X D X  C． ( ) 3, ( ) 3.4E Y D Y  D． ( ) 5, ( ) 4.8E Y D Y  10．已知函数 ( ) sin cosf x a x x  的图象关于 3 x  对称，下列结论中正确的是（ ） A． ( ) 6 f x  是奇函数 B． 6 2( ) 4 4 f   C．若 ( )f x 在[ , ]m m 上单调递增，则 0 3 m  ≤ D． ( )f x 的图象与直线 2 3 y x   有三个交点 11．已知 A，B为双曲线 2 2: 1 2 yC x   的左，右顶点， 1 2, F F 分别为双曲线 C的左， 右焦点．下列命题中正确的是（ ） A．若 R为双曲线 C上一点，且 1 | 4RF ｜ ，则 2 | 6RF ｜ B． 2F 到双曲线 C的渐近线的距离为 2 C．若 P为双曲线 C上非顶点的任意一点，则直线 PA、PB的斜率之积为 2 D．双曲线 C上存在不同两点M，N关于点 (1, 1)Q 对称 数学·第 3页（共 4页） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． 41(2 )x x  的展开式中 2x 的系数是 ． 13．已知正四棱台的高为 2，上下底面的边长分别为 2 2和 4 2，其顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为 ． 14．已知向量 , a b   满足 | | 2a   ，| 2 | | | 6a b b      ，则 | |a b   的取值范围为____________． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 的首项 1 12 a  ，且满足 1 3 2 n n n aa a   ． （1）证明：数列 1{ 1} na  为等比数列； （2）若 1 2 3 1 1 1 1 50 na a a a      ，求满足条件的最大整数 n． 16．（本小题满分 15 分） 在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2 2AA AB  ， 90ABC  ，D在 1BB 上，且 12BD  ． （1）证明： 1AC AD ； （2）当四棱锥 1A BCC D 的体积为 54时，求平面 1AC D与平面 ABC所成二面角 的正弦值． A BC 1A 1B1C D 数学·第 4页（共 4页） 17．（本小题满分 15 分） 已知锐角 ABC△ 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2 cosa c c B  ． （1）证明： 2B C ； （2）若 2a  ，求 cos 1C b c  的取值范围． 18．（本小题满分 17 分） 已知动圆 Q经过点 (1, 0)F 且与直线 1x   相切，记圆心 Q的轨迹为曲线 C． （1）求曲线 C的方程； （2）设过点 F且斜率为正的直线 l交曲线 C于 A，B两点(点 A在点 B的上方)， AB的中点为M， ①过 M，B作直线 1x   的垂线，垂足分别为 1 1, M B ，试证明： 1 1AM FB∥ ； ②设线段 AB的垂直平分线交 x轴于点 P，若 FPM△ 的面积为 4，求直线 l的 方程． 19．（本小题满分 17 分） 设函数 2( ) ln ( 1)f x x x a x   ． （1）若曲线 ( )y f x 在点 (1, 0)处的切线方程为 1 0x y   ，求 a的值； （2）当 1x  时 ( ) 0f x  恒成立，求实数 a的取值范围； （3）证明： 2 2 2 ( *)ln 1 n k k k n n      N ． 巴中市高2022级零诊考试 数学参考答案与评分标准 一.单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 答案: 1. C; 2. A: 3. B; 4. D; 5. A; 6. B; 7. C; 8. B. 二.多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求,全部选对得6分,选对但不全得部分分,有选错的得0分. 答案:9.ABD; 10. AC; 11.BC. 三. 填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 13.80r; 答案:12.-32; 14. [V5.3]: 四.解答题:本大题共5小题,共77分 15.(本小题满分13分,第(1)问6分,第(2)问7分) 3 (1)证明:数列(1-1)为等比数列; (2)若1+1+1..+1<50,求满足条件的最大整数n. 2a 解: ...................................-2. □+2 3 . 数列(1-1p是以1为首项, ......................... _ # 1-) d a2a: _ . 1+11.+1<50等价于n+3-32)"<50 _ 令f(n)=n-3(})",则f(n+1)-f(n)-1-()">0 ./(n)单调递增-..... ........................10分 ·##)#)#-,故0<)<1 .f(.4.8.4.-(.-..4.71-2-2.).4................-11分 . 使/(n)<47成立的最大整数为47 数学答案与评分标准第1页(共7页) 使11.1..-.....,..为..............-.分 a 2a; a. 16. (本小题满分15分,第(1)问7分,第(2)问8分) 在直三桂ABC-4.BC 中,AB=1,A4 =2, ABC=90$, (1)证明:4C1AD; (2)当四校锥A-BCCD的体积为5时,求平面ACD与平面 ABC所成二面角的正弦值。 解:(1)证明 连结A.B,在矩形ABBA中,AA-2. AB=1. BD-1 '. tan ADB=2=tan ABA,故 ADB=ABA ...... 又 ADB+ B/AD=90*,故 ABA.+ BAD=90$$$$ . .AD1.......................... .: ......3分 . . AB1.BC. BB 1CB AB, BB $C平面ABB$A ,ABBB =B$$$ . .C...平................. 又AD一平面A.BB.A, 故BC 1. AD .......... .. ·AD1A.B AD1BC,BC. A.B-平面ADC ,且.BCOAB=B . 4..平... .................一6分 又ACC一.平.4.B, ..1. ...........7.分 _ (2)由题意知,AB. BC.BB两两垂直 以B为原点,以向量BC.BA. BB分别为x.y.2轴 的正方向建立空间直角坐标系 D C(a. 0. 0). A(0. 1. 0). B.(0. 0. 2). D(0. 0. 4.(0.1.2). C(a.0.2) )................. 由题意可知AB1平面BBCB,平面ABC的一个法向量为mi=(0.0.1).....9分 AD=0 ,-1.1. -.1.-.1-.2........1分. 设平面ACD的一个法向量为i=(x.y.2) 46_0_0 由 取y=1得.三(.-1. .1. .2) ............................13分 u.AC=0 3x-v+2z=0. .cos(i.n)-nii- .............................................14分 ml1++4 设平面ACD与平面ABC所成二面角的大小为9,则 sino-1-cos(i. n)- 3 ...........................1.分 注:第(1)问也可用坐标法证明. 17.(本小题满分15分,第(1)问7分,第(2)问8分) 数学答案与评分标准第2页(共7页) 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-c=2ccosB. (1)证明:B-2C: (2)若a-2,求cosC1的取值范围. b 解:(1)方法一 由a-c-= 2cos.B与o.定理得si.-si.o =-2-sino)cos-. .......-1分 又sin A =s sinr--(B.+C)]=sin(B+C))si : eos C+cos BsinC .....----...-3分 . sinC-sinBcosC-sinCcos B=sin(B-C) )....................... 由<CB得-<B-C<# ' C.-终................................分... 方法二 由a-c=2ccosB及余弦定理得a-c=2c.a2+c2-b^2} ,化简得?-2=ac......1分 2ac 由上式及正弦定理得sin2B-sin?C=sinAsinC..... : sin?B-sinC-1-cos2B 1-cos2C cos2C-cos2B .................. 2 2 2 又cos2C=cos[(B+C)-(B-C)]=cos(B+C)cos(B-C)+sin(B+C)sin(B-C) cos2B=cos (B+C)+(B-C)l=cos(B+C)cos(B-C)-sin(B+C)sin(B-C) .. sin2B-sin}C=sin(B+C)sin(B-C) . sin /AsinC=sin(B+C)sin(B-C) ...-. ......................... 由B+C=-A.0<C,B,A<知sin(B+C)=sinA>0,-<B-C<$$$ .....5分 '. .ine.ini.-.)................ . C=B-C,故B-2C.... ...........-7.分. (2)方法一 由正弦定理及a-2得b-asinB2sinB ,c-asinC-2sinC sinA sinA sinA sinA .. b c 由(1) .知..- ..-. .-...-s- ...-......-.............-..-9分 .. ..........................1. &sinC 由sin A=sin(B+C)=sinBcosC+cos BsinC=2sinCcos}C+(1-2sin2}C)sinC --11分 . sin 4 2o..°- -. --5..---2$......-1-21分 sinC 由$<CB.A<^,B=2C,A+B+C二=得<C<,故<2C<} ......13分 sinC .....15分 c4sinC b 方法二 由a-c=2ccosB及a-2得1-1+2cosB-1+2cosB ①..................... d C 2 C 代入B-2C得sin2C-sinC, ②........................... b C b 由$CB.,B-2CA+B+C= 得}<B~{ .......................... 数学答案与评分标准第3页(共7页) . 0<cosB<,故+cosB(3) .......................................14分 coCl的取值范围为). . ........................................1分 7. 方法三 由(.) .......2...o.. ............................................................8分 由a-2及正弦定理得b-asinB-2sinB4sinCcosC .............................0分 sinA sinA sinA cosC-sinA--,故cosC1-3 ........................ _....分 4sinC4c=2c B tc2c 如右图,乙4.=乙4.BC-90。 由B=20, ..三2得 A..=1. .A..=2 ......................... ........-12分 由于△ABC为锐角三角形且B-2C 故A....即..-2................................................. B.....1分 .............................. b 18. (本小题满分17分,第(1)问5分,第(2①)5分,第(2②)7分) 已知动圆Q经过点F0.0)且与直线x=-1相切,记圆心O的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设过点F且斜率为正的直线/交曲线C于A,B两点(点A在点B的上方),AB的中点为 M. ①过M,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为M,B,证明:AM.//FB; ②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P,若△FPM的面积为4;求直线/的方程 解: (1)设..,.)....到到..-.-.距.为..................-.分 由动圆经过点F(1.0).且与直线x.-1相切得.Fx.1..................-3分 化简得y2-4x .. .曲.o.方.为.-4................ ...............5.. (2)设直线/的方程为x=my+1,其中m>0,A(x,y).B(x.y).M(x,%) [x=my+1.消去x得y2-4my-4=0,显然△=16(m^}+1)>o恒成立 2=4 ) ①方法一 由题意得M.(-1.2n),B(-1.y) .M. --( 1. .-2-2 .B ,F-2.--)..-4...7.分 . ../..........................1.1分 ②由y=2n得xo=my。+1-2m}+1 设P(, ),由 MP1 -4B lou -ron.-1, ky---2....-1分 2n2+1-f 解得1三 .2..... .-.-.2.................................-!1分 : △FPM的面积为1FPlly。-m(2m2+2) .................... 由△FPM的面积为4得n(2m2+2)-4,即n(m}+1)-2 ..............-14分 设f(m)=m+m-2,则f'(m)=3m②}+10,f(m)在(0.+o)上单调递增...15分 又/(1)=0,故/(n)在(0.+o)内有唯一零点m=1 数学答案与评分标准第4页(共7页) 即方程n..m+...2有唯..m.1...........................................-16分 . 直线/的方程为x一v-1-0. .....................!... 由(1)知,曲线C是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线 ①方法二 设点A在准线上的.射影为A.A,则.4...A.F B.B. B. FF ...............6分 2 又BB 1M.B,故MM.//BB(如右图) . 等腰三角形△BB.F△M,MA .. 乙BFB-乙MAM . AM/FB _........10分. 方法三 设A(s2,2s).B(r},2t)(t<0<s),则 2 由A,F,B共线得k=ka . . 21-.-.....-.-.三-. .-......1分 r2-1s2-1 . k=2 2+1 又krn=1-(-1) 0-2t . AM/FB ...................1. 19. (本小题满分17分,第(1)问4分,第(2)6分,第(3)7分) 已知函数f(x)=xlnx-a(x2-1) (1)若曲线y=f(x)在点(1.0)处的切线方程为x+y-1=0,求实数a的值; (2)当x>1时/(x)<0恒成立,求实数a的取值范围 nk2n-2(neN). (3)证明: 2 解:(1.) f.)=-1. .1.-.2-.-..--/.(1)=-1-.2-...............-1 分 · 曲线y=f(x)在点(.0)处的切线方程为x+y-1=0 又直线x+y-1-0的斜率为-1 .................................-.分 '/..-.-...1.-1.2..............1分.. (2)由x>1时f(x)<0即xlnx-a(x-)<0(x>1 等价于a(x-1)-lnx>o(x>1) ....................................................分. 。& 令g(x)a(tx-1)-ìnx(x>1),则g(x)=a(+)-1-a2}-x+a(txi>1) 2 方法一 令h(x)=ax2-x+a(x>1) 若a<0,则当x>1时i(x)<0恒成立,此时g'(x)<0,g(x)是减函数.......-6分 ' 当1.1...(.,..)三0...哈.........................7分 若a>0,△-1-4a2 当△>0,即1-4a>0时,0<2a<1 数学答案与评分标准第5页(共7页) 2a 2a .. 当l<x<x,时,h(x)<0,故g'(x)<0,g(x)单调递减 此时g.(.) .(1)三0-..不...意................... ......................分 当△<0,即2a=1时,h(x)0,g'(x)>0,g(x)单调递增 此时g(x)>g(l)=0 综上可知,a的取值范围是[, 十)........................1.分 方法二 :g(1)=0,且g(x)→o(x=1) . 下证当a>1,且x>1时,恒有/(x)<0 由x>1可知,x-1o 2x2 · bi(x) .)三.,.x.1..) .或立.........-9分 综上可知,a的取值范围是, 十2)...........................1.分 方法三 由x>1知x}-1>0,/(x)<0-axlìnx (x>1................分. 2-1 令F(x)-xnx(tx>),则F(x)-2-1-2lnx-lnx (x>1) 2-1 (2-1)2 令G(x)=x2-1-x*lnx-lnx,则G(x)-x-2xlnx-1 令H()=-2xlnx-1,则当x>1时H'(x)--1-2lnx<0, H(x)单调递减...-7分 . G(x)=H(x)<H(l)=0,故G(x)在(1.+)上单调递减 . G(x)<G(ì)=0,故F(x)<0,F(x)在(1.+)上单调递减 ................. 由导数的定义知limlnx=limlnx-lnl-(nx)-t=1 →x-11→x-1 limxlnx=limxlimlnx-1 . ...................分 →-1_x+1*1×-12 (3)方法一 由(2)知,当x>1时,恒有xlnx<(r②}-1) ........................分 令x-(>)得、ilnī<(t-1),等价于lnì<i-1 (>1)...........1..分.. . 当k>2时,恒有lnk<---1,变形得ln<士# ..................分 #kK k一1 又当k二2时, #12 +k-1 ##n26-1)# .当2时, ..........................................分 #2-1 2 数学答案与评分标准第6页(共7页) . (--1)=2[(-1)+(V-2)++( -n-1)] :2 -$(V-1)=2-2- . 方法二 设T.=2n是数列ta的前n项和,则 n=1.2, (.....................分.. -I 由k>2知,只需证(k+k-1)lnk<2k-2.......- 由k三 $知,(+-1)<2、,故.&-、 .1k<k-1 ....-...----.-----15分 由(2)知,当a-,x>1时,恒有xlnx<(r2-1) ...................16分 取$x=k,k=2得klnk<(k-1),故k ìnk<k-1成立 . 原不等式成立. .............................17分 方法三 . 当n=2时,原不等式成立 假设当n=k,且n2时原不等式成立 即ln2 13..1..... 25.-.-.-........-.2分 k-1 那么n=k+1时,n2+ln3. ln4.+ln lnk+1) 2、k-2+ ln(k+I) -1 ln(k+1)- R 由xinx<(^2}-1)得+lnV+1<,故l .....................!..分 , k+1 . 2、-2+ln(+1)2-2+2(+1)+1 -2.................分. k+1 k+1 由重要不等式知2、\k(k+1)<k+(k+1)=2k+1 2、{(k+1)+12(+D) 1 k+1 . n2+1n13.n4n ln(k+1)2、V+1-2 即n三k.1时,.不等式也成立............... .................1... ............17分 数学答案与评分标准第7页(共7页)