专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】 一元二次方程的定义 1．（2023•昌平区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x+y＝2 B．x+y2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣x2＝1 2．（2023•大兴区期中统考）若方程（a﹣3）x2﹣x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠3 B．a＞3 C．a≥3 D．a＜﹣3 3．（2023•昌平区校级期中）方程（m﹣4）x|m|﹣2+8x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　． 4．（2023•西城区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　 ． 一元二次方程的一般形式 5．（2023•海淀区期中统考）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．0，﹣3，1 D．0，﹣3，﹣1 6．（2023•海淀区校级期中）将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 7．（2023•西城区校级期中）若方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是4，则方程的一次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 8．（2023•西城区校级期中）方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是　 ． 一元二次方程的解 9．（2023•朝阳区校级期中）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 10．（2023•海淀区校级期中）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 11．（2023•东城区校级期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+4x+（m2﹣4）＝0有一个根为0，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．﹣1或0 12．（2023•海淀区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则m2﹣5m+2023的值是　 ． 13．（2023•西城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1＝0有一个实数根为0，则a的值为 　 　． 14．（2023•朝阳区校级期中）若方程2x2﹣3x﹣1＝0有一个根为m，则代数式3m（2m﹣3）﹣1的值为 　 　． 直接开平方法解一元二次方程 15．（2023•海淀区期中统考）方程x2﹣4＝0的解是 　 　． 16．（2023•海淀区校级期中）方程4x2＝1的根是 　 　． 17．（2023•朝阳区校级期中）解方程：（x﹣1）2＝9． 18．（2023•西城区校级期中）解方程：2x2﹣1＝7． 配方法解一元二次方程 19．（2023•东城区校级期中）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54 20．（2023•海淀区期中统考）一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．7 21．（2023•东城区校级期中）将一元二次方程x2﹣10x+24＝0配方写成（x+n）2＝m的形式为　 ． 22．（2023•西城区校级期中）将一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a+b＝　 　． 23．（2023•海淀区校级期中）解方程：x2﹣4x+1＝0． 24．（2023•西城区校级期中）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法） 公式法解一元二次方程 25．（2023•海淀区校级期中）方程x2＝x+1的根是（　　） A． B． C． D． 26．（2023•丰台区期中统考）解方程：x2+2x﹣3＝0（用公式法） 27．（2023•朝阳区校级期中）解方程：x2+2x﹣5＝0（用公式法） 28．（2023•西城区校级期中）x2﹣6x+5＝0（用公式法） 因式分解法解一元二次方程 29．（2023•朝阳区校级期中）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的根是（　　） A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝0 30．（2023•西城区校级期中）已知一个三角形的两边长分别为1和2，第三边的数值满足方程x2﹣3x+2＝0，则它的周长是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 31．（2023•西城区校级期中）方程x2＝6x的解为 　 　． 32．（2023•西城区校级期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 　 　． 33．（2023•朝阳区校级期中）解方程：x2﹣4x+3＝0． 34．（2023•东城区校级期中）解方程：x2+2x﹣8＝0． 根的判别式 35．（2023•东城区校级期中）一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 36．（2023•西城区校级期中）若关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．16 37．（2023•西城区校级期中）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 38．（2023•朝阳区校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 39．（2023•西城区校级期中）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　 　． 40．（2023•朝阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值． 根与系数的关系 41．（2023•海淀区校级期中）甲、乙两同学解方程x2+px+q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和﹣10，则原方程为（　　） A．x2﹣9x+14＝0 B．x2+9x﹣14＝0 C．x2﹣9x+10＝0 D．x2+9x+14＝0 42．（2023•朝阳区校级期中）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等的实数根，则a2+b+ab的值为 　 　． 43．（2023•朝阳区校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根． （1）填空：x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　； （2）求代数式的值． 44．（2023•西城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】 一元二次方程的定义 1．（2023•昌平区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x+y＝2 B．x+y2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣x2＝1 解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意是一元一次方程，故此选项不合题意； B、x+y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、ax2+bx+c＝0未指明a、b、c为常数且a≠0，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、2x﹣x2＝1是一元二次方程，故此选项符合题意； 答案：D． 2．（2023•大兴区期中统考）若方程（a﹣3）x2﹣x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠3 B．a＞3 C．a≥3 D．a＜﹣3 解：∵方程（a﹣3）x2﹣x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴a﹣3≠0， 解得a≠3． 答案：A． 3．（2023•昌平区校级期中）方程（m﹣4）x|m|﹣2+8x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣4　． 解：∵方程（m﹣4）x|m|﹣2+8x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣4≠0且|m|﹣2＝2， 解得：m＝﹣4， 答案：﹣4． 4．（2023•西城区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣2　． 解：∵方程（m﹣2）3x＝0是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0． 解得m＝﹣2． 答案：﹣2． 一元二次方程的一般形式 5．（2023•海淀区期中统考）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．0，﹣3，1 D．0，﹣3，﹣1 解：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，﹣1． 答案：B． 6．（2023•海淀区校级期中）将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 解：x2＝﹣2x+8， x2+2x﹣8＝0， 常数项是﹣8． 答案：C． 7．（2023•西城区校级期中）若方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是4，则方程的一次项系数是 　﹣2　，常数项是 　0　． 解：方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x化为一般形式为：4x2﹣2x＝0， ∴方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是4，方程的一次项系数是﹣2，常数项是0． 答案：﹣2；0． 8．（2023•西城区校级期中）方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是　x2+4x﹣8＝0　． 解：方程整理得：x2+4x﹣8＝0， 答案：x2+4x﹣8＝0． 一元二次方程的解 9．（2023•朝阳区校级期中）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a﹣b+c＝0， 答案：B． 10．（2023•海淀区校级期中）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2， ∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019； 答案：A． 11．（2023•东城区校级期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+4x+（m2﹣4）＝0有一个根为0，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．﹣1或0 解：把x＝0代入（m+2）x2+4x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣2， 因为m+2≠0， 所以m的值为2． 答案：A． 12．（2023•海淀区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则m2﹣5m+2023的值是 　2025　． 解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根， ∴m2﹣5m﹣2＝0， ∴m2﹣5m＝2， ∴m2﹣5m+2023 ＝（m2﹣5m）+2023 ＝2+2023 ＝2025， 答案：2025． 13．（2023•西城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1＝0有一个实数根为0，则a的值为 　1　． 解：把x＝0代入x2+2x+a﹣1＝0中得：02+2×0+a﹣1＝0， 解得：a＝1， 答案：1． 14．（2023•朝阳区校级期中）若方程2x2﹣3x﹣1＝0有一个根为m，则代数式3m（2m﹣3）﹣1的值为 　2　． 解：由题意得：把x＝m代入方程2x2﹣3x﹣1＝0中得：2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴3m（2m﹣3）﹣1 ＝3（2m2﹣3m）﹣1 ＝3×1﹣1 ＝3﹣1 ＝2， 答案：2． 直接开平方法解一元二次方程 15．（2023•海淀区期中统考）方程x2﹣4＝0的解是 　x1＝2，x2＝﹣2　． 解：x2﹣4＝0， 移项得：x2＝4， 两边直接开平方得：x1＝2，x2＝﹣2， 答案：x1＝2，x2＝﹣2． 16．（2023•海淀区校级期中）方程4x2＝1的根是 　，　． 解：4x2＝1， ， ， ，． 答案：，． 17．（2023•朝阳区校级期中）解方程：（x﹣1）2＝9． 解：两边开方得：x﹣1＝±3， 解得：x1＝4，x2＝﹣2． 18．（2023•西城区校级期中）解方程：2x2﹣1＝7． 解：2x2＝8． x2＝4， x＝±2． 配方法解一元二次方程 19．（2023•东城区校级期中）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54 解：x2﹣8x＝﹣10， x2﹣8x+16＝6， （x﹣4）2＝6． 答案：A． 20．（2023•海淀区期中统考）一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．7 解：x2﹣4x+3＝0， x2﹣4x＝﹣3， x2﹣4x+4＝﹣3+4， （x﹣2）2＝1， ∴k＝1， 答案：C． 21．（2023•东城区校级期中）将一元二次方程x2﹣10x+24＝0配方写成（x+n）2＝m的形式为 　（x﹣5）2＝1　． 解：x2﹣10x+24＝0， x2﹣10x＝﹣24， x2﹣10x+25＝﹣24+25， （x﹣5）2＝1， 答案：（x﹣5）2＝1． 22．（2023•西城区校级期中）将一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a+b＝　5　． 解：方程x2+4x+1＝0， 移项得：x2+4x＝﹣1， 配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3， ∴a＝2，b＝3， 则a+b＝5， 答案：5 23．（2023•海淀区校级期中）解方程：x2﹣4x+1＝0． 解：x2﹣4x+1＝0 x2﹣4x+4＝3 （x﹣2）2＝3 x﹣2 ∴x1＝2，x2＝2； 24．（2023•西城区校级期中）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法） 解：由原方程移项，得 x2﹣6x＝﹣4， 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2﹣6x+9＝﹣4+9， 即（x﹣3）2＝5， ∴x＝±3， ∴x13，x23． 公式法解一元二次方程 25．（2023•海淀区校级期中）方程x2＝x+1的根是（　　） A． B． C． D． 解：∵x2＝x+1 ∴x2﹣x﹣1＝0 ∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1 ∴b2﹣4ac＝5 ∴x．故选B． 26．（2023•丰台区期中统考）解方程：x2+2x﹣3＝0（用公式法） 解：a＝1，b＝2，c＝﹣3， △＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0， x， 所以x1＝1，x2＝﹣3． 27．（2023•朝阳区校级期中）解方程：x2+2x﹣5＝0（用公式法） 解：x2+2x﹣5＝0 ∵a＝1，b＝2，c＝﹣5 ∵b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0 ∴x1， ∴． 28．（2023•西城区校级期中）x2﹣6x+5＝0（用公式法） 解：这里a＝1，b＝﹣6，c＝5， b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0， ∴， 即x1＝5，x2＝1． 因式分解法解一元二次方程 29．（2023•朝阳区校级期中）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的根是（　　） A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝0 解：x（x+1）＝3（x+1）， x（x+1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝3． 答案：C． 30．（2023•西城区校级期中）已知一个三角形的两边长分别为1和2，第三边的数值满足方程x2﹣3x+2＝0，则它的周长是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 解：x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝2，x2＝1， 当x＝1时，1+1＝2，不能构成三角形， 当x＝2时，1+2＞2能构成三角形，三角形的周长为1+2+2＝5． 答案：B． 31．（2023•西城区校级期中）方程x2＝6x的解为 　x1＝0，x2＝6　． 解：移项得，x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， ∴x＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝0，x2＝6． 答案：x1＝0，x2＝6． 32．（2023•西城区校级期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 　﹣1或4　． 解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得： x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， 则实数x的值是﹣1或4． 答案：﹣1或4 33．（2023•朝阳区校级期中）解方程：x2﹣4x+3＝0． 解：x2﹣4x+3＝0 （x﹣1）（x﹣3）＝0 x﹣1＝0或x﹣3＝0 x1＝1，x2＝3． 34．（2023•东城区校级期中）解方程：x2+2x﹣8＝0． 解：x2+2x﹣8＝0 （x﹣2）（x+4）＝0 x﹣2＝0或x+4＝0 x1＝2，x2＝﹣4 根的判别式 35．（2023•东城区校级期中）一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 解：x2﹣4x＝﹣4，即x2﹣4x+4＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0 ∴方程有两个相等的实数根， 答案：B． 36．（2023•西城区校级期中）若关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．16 解：∵关于x的方程x2﹣4x+k＝0两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（﹣4）2﹣4×1×k＝0， ∴k＝4， 答案：B． 37．（2023•西城区校级期中）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0， ∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1， ∵有实数根， ∴8m+1≥0， ∴， ∴最小整数值为0． 答案：B． 38．（2023•朝阳区校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜2且m≠1　． 解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2， ∴m的取值范围是：m＜2且m≠1． 答案：m＜2且m≠1． 39．（2023•西城区校级期中）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　0（答案不唯一）．　． 解：a＝1，b＝﹣2． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0， ∴c＜1． 答案：0（答案不唯一）． 40．（2023•朝阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值． （1）证明：∵Δ＝（﹣4m）2﹣4m2 ＝12m2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：把x＝1代入方程x2﹣4mx+m2＝0得1﹣4m+m2＝0， 即m2﹣4m＝﹣1， ∴（m﹣2）2+3＝m2﹣4m+4+3＝﹣1+4+3＝6． 根与系数的关系 41．（2023•海淀区校级期中）甲、乙两同学解方程x2+px+q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和﹣10，则原方程为（　　） A．x2﹣9x+14＝0 B．x2+9x﹣14＝0 C．x2﹣9x+10＝0 D．x2+9x+14＝0 解：由于甲看错了一次项，得根2和7， q＝2×7＝14， 由于乙看错了常数项，得根1和﹣10， ∴﹣p＝1﹣10＝﹣9， ∴p＝9， ∴该方程为：x2+9x+14＝0， 答案：D． 42．（2023•朝阳区校级期中）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等的实数根，则a2+b+ab的值为 　1　． 解：由题意可知：a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0， ∴a2＝a+3， ∴原式＝a+3+b+ab ＝（a+b）+ab+3 ＝1+（﹣3）+3 ＝1， 答案：1． 43．（2023•朝阳区校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根． （1）填空：x1+x2＝　1　，x1•x2＝　﹣1　； （2）求代数式的值． 解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1x2＝﹣1； 答案：1，﹣1； （2）∵x1+x2＝1，x1x2＝﹣1， ∴ ＝（x1+x2）2﹣2x1x2， ＝1+2 ＝3． 44．（2023•西城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0， ∴m； （2）∵x1，x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， ∴m＝﹣3或1． ∵m； ∴m＝1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$