专题03 整式与等式（期中知识清单，13个考点梳理+题型解读+提升训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题03 整式与等式（13个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单 1】单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 【清单 2】多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 【清单 3】 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 【清单 4】整式：单项式和多项式统称为整式． 【清单 5】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 【清单 6】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 【清单 7】去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【清单 8】整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【清单 9】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【清单 10】等式与方程 （1） 用等号来表示相等关系的式子，叫做等式 （2） 八含有未知数的等式叫做方程 （3） 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 【清单 11】等式的基本性质 （1） 等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 （2） 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 【考点题型一】用字母表示数 【例1】（21-22七年级上·北京怀柔·期末）一家商店将某种服装按每件的成本价元提高标价，又以折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（　　） A. 元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，按成本价每件元提高标价，则标价是元，然后乘以就是售价，掌握销售问题中各个量的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：（元）， 故选：． 【变式 1-1】用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【详解】用代数式表示“的3倍与的差D的平方”为， 故选：B． 【变式 1-2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：A、三个阴影部分的面积分别为、、，所以阴影部分面积为，故该选项符合题意； B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； D、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式 1-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 【变式 1-4】一个两位数个位为a，十位数字为b，这个两位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，用十位上数字个位数字表示两位数即可． 【详解】解：个位为a，十位数字为b，则这个两位数表示为：． 故答案为：． 【考点题型二】用代数式表示数图形规律 【例2】（22-23七年级上·北京海淀·期中）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度（单位：）应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案； 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 故用式子表示生长n个月时，它的高度 （单位：）应为：． 故选：D． 【变式 2-1】（20-21七年级上·北京昌平·阶段练习）观察下列图形：第个图形有根小棍，第个图形有根小棍，第个图形有根小棍，则第为正整数个图形中小棍根数共有(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，摆个用根；摆个，有一条边是重复的，所以用根，摆个，有两条边是重复的，所以用根，那么摆个，就有条边是重复的，所以要用根． 【详解】解：根据题意可得：摆个用根； 摆个，有一条边是重复的，所以用根， 摆个，有两条边是重复的，所以用根， 拼个，有条边是重复的，要根， 摆个，有条边是重复的，要用：根， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形变化规律，根据图形，找出摆n个图形的规律，然后再进一步解答即可． 【变式 2-2】（22-23七年级上·北京平谷·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故选：C． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 【变式 2-3】（23-24七年级上·北京·期中）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，按照此规律，则第n个结构式中有 个H（用含n的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出H的变化规律．通过观察可知：每增加一个结构，相应的C增加1个，H增加2个，据此可求解． 【详解】解：∵第1个结构式中H的个数为：， 第2个结构式中H的个数为：， 第3个结构式中H的个数为：， 第4个结构式中H的个数为：， … ∴第n个结构式中H的个数为：， 故答案为：． 【变式 2-4】（23-24七年级上·北京顺义·期末）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为． 则n个链节依次连在一起的长度是 ，如果一辆自行车的链条（安装前）由98个这样的链节组成，那么这辆自行车的链条（安装后）的总长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律问题．观察图形，可知n节链条有处交叉重叠，总长减去重叠部分即为所求；代入98求解即可，由于首尾环形相连，总长还需再减去． 【详解】解：由题意得，n节链条的长； 故答案为：； 当时，链条拉直的长度为， 又∵自行车链条首尾环形相连， ∴这辆自行车上链条总长度是． 故答案为：． 【变式 2-5】（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 【答案】21 【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3，得到当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1；当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1；当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2；当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3即可求解． 【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1， 黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2， 黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1， 黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1， 黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3， ∴可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3， 当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1； 当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1； 当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2； 当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3； ∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个． 故答案为：21 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 【变式 2-6】（21-22七年级上·北京石景山·期末）一组按规律排列的代数式：，则第5个式子是 ．第2022个式子是 ． 【答案】 【分析】根据已知式子得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号，第二项的符号：奇数项的符号都是正，偶数项的符号都是负，且第二项式子中b的次数是奇数2n-1，据此解题． 【详解】解：由题意可得：，则第5个式子是， 第2022个式子是 故答案为：，． 【点睛】本题考查多项式，属于找规律的题型，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【考点题型三】代数式的定义和书写规范 【例3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 【变式 3-1】（23-24七年级上·福建南平·期中）下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ） A．的5倍 B．5个相乘 C．5个相加 D．5的倍 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的意义，代数式“”意义是5与x相乘，根据乘法的意义即可判断． 【详解】解：代数式“”意义是5与x相乘，故选项A、C、D正确， 而5个相乘表示，故选项B不能表示代数式“”的意义． 故选：B． 【变式3 -2】（2022七年级上·江苏·专题练习）下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规范等知识，依据代数式的书写规范逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 数字与字母相乘，一般省略乘号或用“”代替，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； B. 书写规范，符合题意； C. 单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； D. 两个字母相除，一般写成分数形式，故应写为，故原选项书写不规范，不合题意． 故选：B． 【变式 3-3】（2021七年级上·山东青岛·专题练习）下列用字母表示数的式子中，，，，，，，符合书写要求的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，共有1个． 应写成，应写成，应写成，应写成，应写成． 故选：A． 【点睛】此题考查了列代数式，用到的知识点是代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求． 【变式3 -4】（23-24七年级上·山东济南·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B．元 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项得出答案即可． 【详解】解：A、应该写成，故选项不符合题意； B、元应该写成元，故选项不符合题意； C、符合代数式书写要求，故选项符合题意； D、带分数要写成假分数，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式3 -5】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求； 应表示为：，故选项B不符合要求； 应表示为：，故选项C不符合要求； 的书写规范，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解． 【变式3 -6】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 【详解】解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 【考点题型四】代数式求值 【例4】（20-21七年级上北京海淀·期末）若，且m、n异号，则的值为（    ） A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义． 由，可得，由m，n异号，分当时，当时，两种情况，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵m，n异号， ∴当时，； 当时，； 综上所述，|m−n|的值为7， 故选：A． 【变式 4-1】（23-24七年级上·北京顺义·期中）在代数式中，当时，代数式的值为0，则值为（    ） A． B． C．13 D．6 【答案】B 【分析】把代入可得，然后求解即可． 【详解】解：当时，则有， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键． 【变式4 -2】（23-24七年级上·吉林·期中）若x是最小的正整数，y是最小的非负整数，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正整数、非负整数以及有理数的计算，根据最小的正整数x是1，最小的非负整数y是0，由此代入代数式计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 故答案为：． 【变式4 -3】（21-22七年级上·湖北武汉·期中）已知互为相反数互为倒数，x的绝对值等于2，求的值． 【答案】或 【分析】由互为相反数，互为倒数，x的绝对值等于2，，再分两种情况整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，x的绝对值等于2， ∴， ∴，则， 当时， ， 当时， ． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，倒数，相反数绝对值的含义，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 【变式4 -4】（22-23七年级上·北京海淀·期末）定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，． (1)计算：________； (2)对于式子， ①若，求的值； ②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____． 【答案】(1) (2)①的值为4或6；②16 【分析】（1）根据新的运算列式计算即可； （2）①分和两种情况讨论根据新定义计算即可； ②分别对x的取值范围进行讨论得出当的值分别取，，，（为整数）时式子的值，然后求和得到最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①当，即时，则原式可化为， 解得； 当，即时，原式可化为 综上，的值为4或6． ②当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，式子的值的和， ∵， ∴， 即的最大值为14； 当，即时，， ∵ ∴当，即时， 当时，， 当时， ， 当时，， 当时， ， ∴式子的值的和， ∵，m取整数， ∴m最大只能取1， ∴的最大值为10； 当时，x与的大小关系不确定，分别考虑m取2、3、4时，计算的值的和， 当时，， 式子的值的和为：， 当时，， 式子的值的和为：， 当时，， 式子的值的和为：， 综上所述， 式子最大值为16． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、代数式求值等知识点，正确理解代数式的值是解答本题的关键． 【考点题型五】单项式 【例5】（23-24六年级下·北京海淀·期中）在代数式，，，，，中，单项式的个数是（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解：在代数式，，，，，中，单项式有，，，，共4个， 故选：C． 【变式 5-1】（22-23七年级上·北京朝阳·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的次数、系数的定义进行分析即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了单项式的基本概念，熟练掌握单项式的次数、系数的定义是解题的关键． 【变式5 -2】（22-23七年级上·辽宁抚顺·期中）下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 【答案】4/四 【分析】根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，，，1，共4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字或字母的积，及不含加减运算，若涵除法运算是分母中不含字母，这样的式子叫单项式是解题的关键． 【变式5 -3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了单项式的有关知识，熟知单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母指数的和是解决问题的关键． 根据单项式系数、次数的定义即可解答． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3． 故答案为：；3． 【变式5 -4】（23-24六年级上·北京石景山·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】单项式的系数是，次数是， 故答案为：；． 【变式5 -5】（23-24七年级上·北京顺义·期中）如果是四次单项式，则 ． 【答案】5 【分析】根据单项式的相关定义可进行求解． 【详解】解：由是四次单项式，可知：， ∴； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 【变式5 -6】（21-22七年级上·北京西城·期中）写出一个只含有字母x，y，系数为的三次单项式 ． 【答案】 【分析】单项式：数字与字母的积是单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，其中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数，根据定义可得系数为-2，两个字母的指数和为3，从而可得答案. 【详解】解： 单项式只含有字母x，y，系数为，次数为3， 这个单项式为或 （任意写一个即可） 故答案为： 【点睛】本题考查的是单项式的定义，单项式的系数与次数的含义，根据定义熟练的写出符合要求的单项式是解本题的关键. 【变式5 -7】（23-24七年级上·北京东城·期中）写出一个只含有字母，的单项式，使它的系数是负数，次数是5，这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数是解题的关键；所以此题可根据单项式的系数是指字面前面的数，次数指的是所有字母指数之和，由此问题可求解． 【详解】解：由题意可得这个单项式可以为； 故答案为（答案不唯一）． 【变式5 -8】（22-23七年级上·北京石景山·期末）一组按规律排列的单项式为“”．依此规律，第6个单项式为 ，第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析出规律即可作答． 【详解】解：根据题意得，第一个单项式为：； 第二个单项式为：； 第三个单项式为：； 第四个单项式为： ∴第五个单项式为：，第六个单项式为：， ∴第n个单项式为：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了单项式找规律，正确的找出规律是解决本题的关键． 【考点题型六】多项式 【例6】（23-24七年级下·北京·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．多项式的项分别是 B．都是单项式 C．都是多项式 D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查了整式的基本概念，根据单项式，多项式的基本概念分别判断即可解答． 【详解】A. 多项式的项分别是，本选项的说法错误，不符合题意；     B. 不是单项式，本选项的说法错误，不符合题意； C. 不是多项式，本选项的说法错误，不符合题意；     D. 是整式，本选项的说法正确，符合题意；     故选：D． 【变式6 -1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念，根据有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念逐项判断即可求解，掌握有理数的分类、绝对值的意义及整式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：①有理数分为正整数、负整数、、正分数、负分数，该选项错误，不合题意； 如果 ，那么，该选项错误，不合题意； ③是六次单项式，该选项错误，不合题意； ④是四次二项次，该选项错误，不合题意； ⑤是多项式，该选项错误，不合题意； ⑥与是同类项，该选项正确，符合题意； ∴正确的只有个， 故选：． 【变式6 -2】（21-22七年级上·北京昌平·期中）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．最高次项是5 B．二次项系数是 C．常数项是7 D．是五次三项式 【答案】D 【分析】根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式x5−3x2−7的最高次项是x5，故本选项错误； B、多项式x5−3x2−7的二次项系数是−3，故本选项错误； C、多项式x5−3x2−7的常数项是−7，故本选项错误； D、多项式x5−3x2−7是五次三项式，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【变式 6-3】（22-23七年级上·北京通州·期中）如果整式是三次三项式，那么n等于 【答案】5 【分析】根据多项式的概念解答即可． 【详解】解：∵是三次三项式， ∴， 解得：． 故答案为：5 【点睛】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 【变式6 -4】（21-22七年级上·北京东城·期中）如果多项式不含和项，则 ． 【答案】-3 【分析】根据题意得出和项的系数为0，即，，解方程求出a和b的值，代入即可求出的值． 【详解】∵不含和项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：-3． 【点睛】此题考查了多项式的知识点，解题的关键是多项式不含有的项的系数为零． 【变式6 -5】（23-24七年级上·北京西城·期中）如果关于的多项式不含和x的项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，根据题意求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵关于的多项式不含和x的项， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型七】整式 【例7】（23-24六年级上·北京石景山·期中）在下列各式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的定义，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】中整式有，共4个， 故选：B． 【变式7 -1】（17-18七年级上·北京昌平·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．与是同类项 C．是一次二项式 D．单项式的系数是，次数是4 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义，同类项的定义，单项式系数和次数的定义依次进行判断即可． 【详解】A．根据“单项式和多项式统称整式”，可知单项式一定是整式，整式不一定是单项式，故A错误； B．根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，与所含字母部分不相同，不是同类项，故B错误； C．多项式是由几个单项式的和组成的代数式，不是单项式，故C错误； D．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，故单项式的系数是（注意π是数字，不是字母）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，故单项式的次数是（3+1=4），D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，同类项的定义，单项式系数和次数的定义，属于基础题，注意“π属于数字，不是字母”这个易错点． 【变式7 -2】（21-22七年级上·北京西城·期中）下列说法正确的是（    ） A．10不是整式 B．－5是单项式 C．的一次项系数是1 D．是单项式 【答案】B 【分析】根据整式的定义、单项式的定义、多项式的定义解题． 【详解】解：A.10是单项式，是整式，故A错误，不符合题意； B. －5是单项式，正确，故B符合题意； C. 的一次项系数是，故C错误，不符合题意； D. 是多项式，故D错误，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查整式的分类、单项式的识别、多项式的项与系数等知识，是基础题，掌握相关知识是解题关键，单项式与多项式统称为整式，数与字母的积的形式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和是多项式． 【考点题型八】同类项 【例8】（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列各组式子中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项．根据同类项的定义：几个单项式的字母，及其字母的指数都相同，进行判断即可． 【详解】解：A、与，是同类项，本选项不符合题意； B、与，相同字母的指数不相同，不是同类项，本选项符合题意． C、与，是同类项，本选项不符合题意； D、与，是同类项，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式8 -1】（23-24七年级上·北京通州·期中）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义，“含有的字母相同，相同字母的指数也相同的单项式为同类项”，是解题的关键． 【详解】解：A．∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，故A不符合题意； B．∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致， ∴是的同类项，故B符合题意； C．∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，故C不符合题意； D．∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，故D不符合题意． 故选：B． 【变式8 -2】（23-24七年级上·北京·期中）已知单项式和是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 由题意得，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：单项式和是同类项， ， ， 故答案为：． 【变式8 -3】（23-24七年级上·北京东城·期中）若单项式与单项式是同类项，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【变式8 -4】（23-24七年级上·北京延庆·期末）如果单项式与是同类项，那么的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项是解题的关键；因此此题根据同类项“具有相同的字母，并且字母的指数也相同的项”可进行求解． 【详解】解：由单项式与是同类项，可知：， ∴， ∴； 故答案为：9． 【变式8 -5】（22-23七年级上·北京顺义·期末）已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据同类项的定义求得m、n，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与是同类项 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 【考点题型九】合并同类项 【例9】（23-24七年级上·北京丰台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的计算法则求解即可． 【详解】解：A、，所以A计算错误，不符合题意． B、，不能合并，所以B计算错误，不符合题意． C、，不能合并，所以C计算错误，不符合题意． D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式9 -1】（23-24七年级上·北京西城·期末）如果单项式与单项式的和仍是单项式，那么m的值是 ，n的值是 ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求出m和n的值． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 故答案为：2；3． 【变式9 -2】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）若与的和是单项式，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意得到两单项式为同类项，利用同类项的定义求出a与b的值再代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴，， 即，， 则， 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同，是易混点．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关． 【变式9 -3】（22-23七年级上·北京·期末）把和各看作一个字母因式，合并同类项： ． 【答案】0 【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母及字母的指数不变，进行合并同类项即可． 【详解】原式， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了同类项的概念和合并同类项的法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式9 -4】（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解： ． 【变式 9-6】（23-24七年级上·北京通州·期中）合并同类项． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则计算即可，把同类项的系数相加，作为结果的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型十】去括号 【例10】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列去括号所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．根据去括号的规则进行解答． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【变式11 -1】（23-24七年级上·北京西城·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算．正确的去括号，合并同类项是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式12 -1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）先化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【变式13 -1】（23-24七年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】； 【分析】本题考查了实数的非负性，整式的化简求值，熟练掌握化简求值的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 原式． 【变式14 -1】（22-23七年级上·安徽合肥·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： ________0， ________0， ________0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：；；． （2）解：∵，， ∴ ． 【考点题型十一】整式加减 【例11】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）若，则是（　　） A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，先把代入，再根据去括号法则，去掉括号，合并同类项，判断结果是几次几项式，进行解答即可． 【详解】 ∵是二次三项式， 故选：B． 【变式11 -1】（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形周长的计算，正确表示Ⅰ，Ⅱ的长和宽是求解本题的关键． 依次表示两个长方形的周长，再判断． 【详解】由题意得：空白长方形较长边等于长方形Ⅱ的较长边，其长度，每块空白长方形较短的边长为4． 阴影Ⅰ的长为：，宽为： ∴阴影Ⅰ的周长 阴影Ⅱ的长为：，宽为： 阴影Ⅱ的周长， ∴阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为：． 故选：D． 【变式11 -2】（22-23七年级下·北京通州·期末）若，，则M与N的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【详解】解： ， ， ． 故选：． 【变式11 -3】（23-24七年级上·北京海淀·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（    ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式11 -4】（23-24七年级下·北京通州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据整式的加减运算即可求得结果； （）根据平方差公式和多项式乘以多项式法则进行计算，最后合并同类项即可求解； 本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ． 【变式11 -5】（23-24七年级上·北京·期中）已知：，，求（用含a、b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减．列出代数式，去括号合并同类项即可． 【详解】解：，， ． 【变式11 -6】（23-24七年级上·北京大兴·期中）观察，已知如图阴影部分是由一大个长方形剪掉一小长方形后的得到的图形，请回答下列问题： （1）边的长度为 ； （2）阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算， （1）表示出边的长度，再化简即可； （2）表示出阴影部分的周长，再化简即可． 【详解】解：（1）边的长度为， 故答案为：； （2）阴影部分的周长是， 故答案为：． 【变式11 7】（23-24七年级上·北京石景山·期末）定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出新运算的法则为第一个数的两倍与第二个数的和，据此可得计算公式；分别列出、，再利用作差法求解可得； （2）利用（1）中所得运算法则自左至右依次计算可得． 【详解】（1）由题意知，， ，， ， 由知， ， 故答案为：，； （2） ． 【变式11 -8】（23-24七年级上·北京西城·期中）已知两个多项式：，． (1)化简：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性． （1）利用整式的加减运算法则即可求解； （2）找到中含m的项，合并后令其系数为零即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）得： ∴ ∴ 【变式11 -9】（23-24七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】，32 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后把m、n的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式11 -10】（23-24七年级上·北京·期中）已知：．若的值与字母b的取值无关，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题．根据整式的加减运算法则，化简后，令含的项的系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵的值与字母b的取值无关， ∴， ∴． 【变式 11-11】（22-23七年级上·北京东城·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式： 在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式． 例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因，所以是对称式． 而交换式子中字母a、b的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，直接写出的结果：______，所得结果______（填“是”或“不是”）对称式． 【答案】(1)①② (2)； (3)，是． 【分析】本题考查新定义下的整式问题，理解题意是关键． （1）根据对称式的定义即可判断； （2）等只写一个即可； （3）求得判断即可． 【详解】（1）解：由定义可知：①②是对称式， 故答案为：①②； （2）解：满足条件的单项式为：； （3）解：， ， 是对称式． 故答案为：，是． 【考点题型十二】等式与方程 【例12】（13-14七年级上·全国·课后作业）若方程的解为，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】把解代入方程，求得值即可．本题考查了一元一次方程的解，即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选C． 【变式12 -1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把x=-3分别代入各方程验证即可． 【详解】解：A.当x=-3时，，故不符合题意； B.当x=-3时，，故符合题意； C.当x=-3时，，故不符合题意； D.当x=-3时，，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【变式12 -2】（23-24七年级上·北京延庆·期末）如果是关于x的方程的解，那么a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的求解是解题的关键．根据题意，把代入方程式，得到关于a的一元一次方程式求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：4． 【考点题型十三】等式的基本性质 【例13】（19-20七年级上·湖南岳阳·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，据此逐项分析即可． 【详解】解：若 ，只有 时，成立， 选项A符合题意； 若 ，则 ， 选项B不符合题意； 若 ，则 ， 选项C不符合题意； 若 ，则 ， 选项D不符合题意． 故选：A． 【变式13 -1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A．等式两边都减，得，故本选项不符合题意； B．等式两边都加，得，故本选项不符合题意； C．等式两边都乘，得，故本选项符合题意； D．等式两边都除以，得，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式13 -2】（23-24七年级上·北京顺义·期末）如果，那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的两边都加或都减或乘以同一个整式，结果不变；等式的两边都除以同一个不为零的整式，结果不变．据此解答即可． 【详解】解：∵， A．两边都加，则，故此选项不符合题意； B．两边都减，则，故此选项不符合题意； C．两边都乘以，则，故此选项不符合题意； D．当时，两边都除以，则；当时，则和无意义，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式13 -3】（21-22七年级上·北京东城·期中）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质． 根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】 解：A．根据等式的基本性质，若，则，故A正确，那么A不符合题意． B．根据等式的基本性质，若，得，则，故B正确，那么B不符合题意． C．根据等式的基本性质，若，则，故C正确，那么C不符合题意． D．根据等式的基本性质，由，当，得，故D错误，那么D符合题意． 故选：D． 【变式13 -4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可．正确理解等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、两边都加c，结果不变，故不符合题意； B、两边都减c，结果不变，故不符合题意； C、时，则由，不能得到，故符合题意； D、两边都乘以c，结果不变，故不符合题意； 故选：C． 【变式13 -5】（23-24七年级上·北京西城·期中）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决问题的关键．利用等式的性质对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：A．对于等式，两边同时减去3，得：，两边同时加上3，得：，因此选项A不正确； B．对于等式，当时，两边同时乘以c，得：，当时，3，因此选项B正确； C．对于等式，两边同时乘以3，得，因此选项C不正确； D．对于等式，当时，两边同时除以c，得：因此选项D不正确． 故选：B． 【变式13 -6】（21-22七年级下·北京西城·期末）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为(   ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得2a=5b，2c=3b，再根据等式的性质得到3a=5c即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， 2a=5b，2c=3b， 即a=b，c=b， ∴3a=b，5c=b， 即3a=5c， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5， 故选：A． 【点睛】本题考查认识立体图形、等式的性质，掌握等式的性质是解决问题的前提． 【变式13 -7】（23-24七年级上·北京西城·期中）如图，将9个数放入“”内，使得每条边上3个“”内数字之和相等，分别记这9个数为：a、b、c、d、e、f、m、n、k，可以得到：则用等式表示b、c、e、f四个数之间的数量关系是 ，a、m、d三个数之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等式的性质．找到含有要确定数量关系的各数的等式，进行适当变形是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 由②得： 将③代入①得： 即： 故答案为：①；② 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式与等式（13个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单 1】单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 【清单 2】多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 【清单 3】 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 【清单 4】整式：单项式和多项式统称为整式． 【清单 5】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 【清单 6】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 【清单 7】去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【清单 8】整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【清单 9】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【清单 10】等式与方程 （1） 用等号来表示相等关系的式子，叫做等式 （2） 八含有未知数的等式叫做方程 （3） 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 【清单 11】等式的基本性质 （1） 等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 （2） 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 【考点题型一】用字母表示数 【例1】（21-22七年级上·北京怀柔·期末）一家商店将某种服装按每件的成本价元提高标价，又以折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（　　） A. 元 B．元 C．元 D．元 【变式 1-1】用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（） A． B． C． D． 【变式 1-2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【变式 1-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【变式 1-4】一个两位数个位为a，十位数字为b，这个两位数为 ． 【考点题型二】用代数式表示数图形规律 【例2】（22-23七年级上·北京海淀·期中）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度（单位：）应为（    ） A． B． C． D． 【变式 2-1】（20-21七年级上·北京昌平·阶段练习）观察下列图形：第个图形有根小棍，第个图形有根小棍，第个图形有根小棍，则第为正整数个图形中小棍根数共有(    )    A． B． C． D． 【变式 2-2】（22-23七年级上·北京平谷·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【变式 2-3】（23-24七年级上·北京·期中）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，按照此规律，则第n个结构式中有 个H（用含n的式子表示）． 【变式 2-4】（23-24七年级上·北京顺义·期末）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为． 则n个链节依次连在一起的长度是 ，如果一辆自行车的链条（安装前）由98个这样的链节组成，那么这辆自行车的链条（安装后）的总长度是 ． 【变式 2-5】（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 【变式 2-6】（21-22七年级上·北京石景山·期末）一组按规律排列的代数式：，则第5个式子是 ．第2022个式子是 ． 【考点题型三】代数式的定义和书写规范 【例3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式 3-1】（23-24七年级上·福建南平·期中）下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ） A．的5倍 B．5个相乘 C．5个相加 D．5的倍 【变式3 -2】（2022七年级上·江苏·专题练习）下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式 3-3】（2021七年级上·山东青岛·专题练习）下列用字母表示数的式子中，，，，，，，符合书写要求的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3 -4】（23-24七年级上·山东济南·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B．元 C． D． 【变式3 -5】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3 -6】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【考点题型四】代数式求值 【例4】（20-21七年级上北京海淀·期末）若，且m、n异号，则的值为（    ） A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3 【变式 4-1】（23-24七年级上·北京顺义·期中）在代数式中，当时，代数式的值为0，则值为（    ） A． B． C．13 D．6 【变式4 -2】（23-24七年级上·吉林·期中）若x是最小的正整数，y是最小的非负整数，则代数式 ． 【变式4 -3】（21-22七年级上·湖北武汉·期中）已知互为相反数互为倒数，x的绝对值等于2，求的值． 【变式4 -4】（22-23七年级上·北京海淀·期末）定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，． (1)计算：________； (2)对于式子， ①若，求的值； ②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____． 【考点题型五】单项式 【例5】（23-24六年级下·北京海淀·期中）在代数式，，，，，中，单项式的个数是（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式 5-1】（22-23七年级上·北京朝阳·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【变式5 -2】（22-23七年级上·辽宁抚顺·期中）下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 【变式5 -3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式5 -4】（23-24六年级上·北京石景山·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式5 -5】（23-24七年级上·北京顺义·期中）如果是四次单项式，则 ． 【变式5 -6】（21-22七年级上·北京西城·期中）写出一个只含有字母x，y，系数为的三次单项式 ． 【变式5 -7】（23-24七年级上·北京东城·期中）写出一个只含有字母，的单项式，使它的系数是负数，次数是5，这个单项式可以是： ． 【变式5 -8】（22-23七年级上·北京石景山·期末）一组按规律排列的单项式为“”．依此规律，第6个单项式为 ，第n个单项式为 ． 【考点题型六】多项式 【例6】（23-24七年级下·北京·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．多项式的项分别是 B．都是单项式 C．都是多项式 D．是整式 【变式6 -1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6 -2】（21-22七年级上·北京昌平·期中）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．最高次项是5 B．二次项系数是 C．常数项是7 D．是五次三项式 【变式 6-3】（22-23七年级上·北京通州·期中）如果整式是三次三项式，那么n等于 【变式6 -4】（21-22七年级上·北京东城·期中）如果多项式不含和项，则 ． 【变式6 -5】（23-24七年级上·北京西城·期中）如果关于的多项式不含和x的项，则 ． 【考点题型七】整式 【例7】（23-24六年级上·北京石景山·期中）在下列各式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式7 -1】（17-18七年级上·北京昌平·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．与是同类项 C．是一次二项式 D．单项式的系数是，次数是4 【变式7 -2】（21-22七年级上·北京西城·期中）下列说法正确的是（    ） A．10不是整式 B．－5是单项式 C．的一次项系数是1 D．是单项式 【考点题型八】同类项 【例8】（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列各组式子中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式8 -1】（23-24七年级上·北京通州·期中）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式8 -2】（23-24七年级上·北京·期中）已知单项式和是同类项，则的值为 ． 【变式8 -3】（23-24七年级上·北京东城·期中）若单项式与单项式是同类项，则 ． 【变式8 -4】（23-24七年级上·北京延庆·期末）如果单项式与是同类项，那么的值是 ． 【变式8 -5】（22-23七年级上·北京顺义·期末）已知与是同类项，求代数式的值． 【考点题型九】合并同类项 【例9】（23-24七年级上·北京丰台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9 -1】（23-24七年级上·北京西城·期末）如果单项式与单项式的和仍是单项式，那么m的值是 ，n的值是 ． 【变式9 -2】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）若与的和是单项式，则 ． 【变式9 -3】（22-23七年级上·北京·期末）把和各看作一个字母因式，合并同类项： ． 【变式9 -4】（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 【变式 9-6】（23-24七年级上·北京通州·期中）合并同类项． (1) (2) 【考点题型十】去括号 【例10】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列去括号所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11 -1】（23-24七年级上·北京西城·期中）化简：． 【变式12 -1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）先化简求值：，其中． 【变式13 -1】（23-24七年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【变式14 -1】（22-23七年级上·安徽合肥·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： ________0， ________0， ________0． (2)化简：． 【考点题型十一】整式加减 【例11】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）若，则是（　　） A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．不能确定 【变式11 -1】（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（） A． B． C． D． 【变式11 -2】（22-23七年级下·北京通州·期末）若，，则M与N的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【变式11 -3】（23-24七年级上·北京海淀·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（    ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．    A． B． C． D． 【变式11 -4】（23-24七年级下·北京通州·期中）计算： (1) (2) 【变式11 -5】（23-24七年级上·北京·期中）已知：，，求（用含a、b的式子表示）． 【变式11 -6】（23-24七年级上·北京大兴·期中）观察，已知如图阴影部分是由一大个长方形剪掉一小长方形后的得到的图形，请回答下列问题： （1）边的长度为 ； （2）阴影部分的周长是 ． 【变式11 7】（23-24七年级上·北京石景山·期末）定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 【变式11 -8】（23-24七年级上·北京西城·期中）已知两个多项式：，． (1)化简：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【变式11 -9】（23-24七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中， 【变式11 -10】（23-24七年级上·北京·期中）已知：．若的值与字母b的取值无关，求a的值． 【变式 11-11】（22-23七年级上·北京东城·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式： 在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式． 例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因，所以是对称式． 而交换式子中字母a、b的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，直接写出的结果：______，所得结果______（填“是”或“不是”）对称式． 【考点题型十二】等式与方程 【例12】（13-14七年级上·全国·课后作业）若方程的解为，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【变式12 -1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式12 -2】（23-24七年级上·北京延庆·期末）如果是关于x的方程的解，那么a的值是 ． 【考点题型十三】等式的基本性质 【例13】（19-20七年级上·湖南岳阳·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式13 -1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式13 -2】（23-24七年级上·北京顺义·期末）如果，那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式13 -3】（21-22七年级上·北京东城·期中）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式13 -4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式13 -5】（23-24七年级上·北京西城·期中）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式13 -6】（21-22七年级下·北京西城·期末）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为(   ) A．5 B．4 C．3 D．2 【变式13 -7】（23-24七年级上·北京西城·期中）如图，将9个数放入“”内，使得每条边上3个“”内数字之和相等，分别记这9个数为：a、b、c、d、e、f、m、n、k，可以得到：则用等式表示b、c、e、f四个数之间的数量关系是 ，a、m、d三个数之间的数量关系是 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$