25.3 相似三角形+25.4 相似三角形的判定（3大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十五章 图形的相似 25.3 相似三角形+25.4 相似三角形的判定（3大题型提分练） 题型一 相似三角形 1．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（    ） A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．： 2．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 3．如图，若，则的度数是（    ） A．50° B．10° C．40° D．60° 4．如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为(   ) A． B． C． D． 5．如图，在中，点D在边AB上，，且AD=2，BD=1，那么AC= 6．如图，梯形中，,与相交于点,已知,,那么 7．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8 cm和6 cm，若另一个等腰三角形的底边长为4 cm，则它的腰长为 cm． 8．如图，正方形CDEF内接于，，，则正方形的面积是 . 9．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3． （1）求CE的长； （2）求证：BC⊥AD． 10．如图，已知，． （1）若，求的长； （2）求证：． 题型二 证明两三角形相似 1．下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 2．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 6．相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 )相交，截得的三角形与原三角形相似． （2）两组角对应 ，两三角形相似． （3）两边对应成比例且 相等，两三角形相似． （4）三边对应 ，两三角形相似． 7．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 8．已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形 ． 9．如图，在中，，是斜边上的高．证明：． 10．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 题型三 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 5．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 6．已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 7．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 8．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 9．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    10．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 1．已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9,△DEF的一边长为4,若△DEF与△ABC相似,则△DEF的另两边长可能为(　　) A．2,3 B．4,5 C．5,6 D．6,7 2．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，且AP=2.8，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（    ） A．2    种 B．3种 C．4种 D．5种 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．△ABC的三条边之比为，与其相似的另一个△最大边长为18cm，则另两边长的和为 ． 7．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条． 8．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    9．如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可） 10．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 11．如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 12．如图，点E在的边上，请用尺规作图法在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）      13．已知：在和中， ．求证：． 14．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 15．如图所示，△PQR是等边三角形，△PAQ∽△BPR. (1)请写出两个相似三角形对应边的比例式； (2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 图形的相似 25.3 相似三角形+25.4 相似三角形的判定（3大题型提分练） 题型一 相似三角形 1．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（    ） A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．： 【答案】D 【分析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应周长的比等于相似比，即可求解． 【详解】∵两个相似三角形的面积比为2:3 ∴两个三角形对应周长比为：. 故选:D. 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应周长的比等于相似比是解题的关键. 2．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】∵△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角 3．如图，若，则的度数是（    ） A．50° B．10° C．40° D．60° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠E=∠C． 【详解】解：在△ABC中，∠C=180°-120°-20°=40°， ∵△ABC∽△DFE， ∴∠E=∠C=40°． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应角是解题的关键． 4．如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，得△ABC∽△BDC，得，代入数据即可求出BC. 【详解】解：∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， ∴， 即， ∴BC=， 故选C. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．如图，在中，点D在边AB上，，且AD=2，BD=1，那么AC= 【答案】 【分析】先根据相似三角形的性质得出，根据线段的和差求出AB的值，将AB和AD的值代入比例式即可求出答案. 【详解】解：∵ ∴ 又∵AD=2，BD=1， ∴AB=3 ∴ ∴ 故填. 【点睛】本题考查相似三角形的性质.解决此题时需注意因为有三组对应边，所以找准比例式非常重要，一般找与题设线段或需要求得线段有关的比例式. 6．如图，梯形中，,与相交于点,已知,,那么 【答案】 【分析】由可知，△ABD中AD边上的高和△CBD中BC边上的高相同，根据，可求得AD与BC之比，通过△ADO和三角形CBO相似求出OD与OB之比，再通过三角形ABD面积即可求出. 【详解】解：∵， ∴△ADO∽△CBO，△ABD中AD边上的高和△CBD中BC边上的高相同， ∴， ∵，， ∴， 又∵△ADO∽△CBO， ∴，即， 由于△ABD和△AOD中，OB、OD边上的高相同， ∴. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形面积之间的关系. 7．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8 cm和6 cm，若另一个等腰三角形的底边长为4 cm，则它的腰长为 cm． 【答案】 【分析】设另一个等腰三角形的腰长为xcm，利用相似三角形的性质列出比例式，可求得答案． 【详解】解：设另一个等腰三角形的腰长为xcm， ∵这两个等腰三角形相似， ∴，解得x＝， ∴另一个等腰三角形的腰长为cm， 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 8．如图，正方形CDEF内接于，，，则正方形的面积是 . 【答案】0.8 【分析】根据题意分析可得△ADE∽△EFB，进而可得2DE=BF，2AD=EF=DE，由勾股定理得，DE2+AD2=AE2，可解得DE，正方形的面积等于DE的平方问题得解． 【详解】∵根据题意,易得△ADE∽△EFB， ∴BE:AE=BF:DE=EF:AD=2:1， ∴2DE=BF，2AD=EF=DE， 由勾股定理得,DE+AD=AE， 解得：DE=EF=， 故正方形的面积是 =， 故答案为0.8 【点睛】本题考查相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定及基本性质是解题关键. 9．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3． （1）求CE的长； （2）求证：BC⊥AD． 【答案】（1）3.1；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEC， ∴， ∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3 ∴， 解得：CE=3.1． （2）∵△ABC∽△DEC， ∴∠ACB=∠DCE， ∵∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC⊥AD． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，正确找出两个三角形的对应边与对应角是解题关键． 10．如图，已知，． （1）若，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）CD=6；（2）见解析 【分析】（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形，于是得到结论； （2）由EC∥AB，可得，由AD∥BC，可得，等量代换得出，即OA2=OE•OF． 【详解】证明：（1）∵EC∥AB， ∴∠EDA=∠DAB， ∵∠EDA=∠ABF， ∴∠DAB=∠ABF， ∴AD∥BC， ∵DC∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=6； （2）∵EC∥AB， ∴△OAB∽△OED， ∴ ∵AD∥BC， ∴△OBF∽△ODA， ∴ ∴， 即OA2=OE•OF． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想． 题型二 证明两三角形相似 1．下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意； D、由，得，则得，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似的三角形是， 故选：D． 3．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，； ， A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：B． 5．在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 【答案】 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法，判定即可． 【详解】解：∵， ∴，理由为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 故答案为：，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 6．相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 )相交，截得的三角形与原三角形相似． （2）两组角对应 ，两三角形相似． （3）两边对应成比例且 相等，两三角形相似． （4）三边对应 ，两三角形相似． 【答案】 两边的延长线； 相等； 夹角； 成比例． 【分析】根据相似三角形的判定方法直接作答即可． 【详解】（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似． （2）两组角对应相等，两三角形相似． （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （4）三边对应成比例，两三角形相似． 故答案为：两边的延长线，相等，夹角，成比例． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，牢记相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 7．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 8．已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意及图形可知：此图中共有个直角三角形，根据相似三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：在中，，， ，， 在和中，，， ； 在和中，， 又，， ， ； 在和中，，， ． 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，此题只要运用了：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，”（简叙为两角对应相等两三角形相似）这一定理． 9．如图，在中，，是斜边上的高．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由三角形的高得出，结合为公共角即可得证． 【详解】证明：是斜边上的高， ， ， ， 又为公共角， ∴． 10．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 2．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．判定两个三角形相似可用两角对应相等，两边成比例及夹角相等，三边成比例来判定，根据题意，逐项判断即可． 【详解】解： A、若，则可用两个角对应相等来判定，此项不符合题意； B、若，则可用两个角对应相等来判定，此项不符合题意； C、若，已知相等的角不是对应边成比例的夹角，此项符合题意； D、若，可用对应边成比例且夹角相等来判定，此项不符合题意． 故选：C． 3．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 5．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 当或或时，． 故答案为：或或． 6．已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上， ∴， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 8．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 9．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 1．已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9,△DEF的一边长为4,若△DEF与△ABC相似,则△DEF的另两边长可能为(　　) A．2,3 B．4,5 C．5,6 D．6,7 【答案】C 【分析】根据两个三角形相似的三边对应成比例求解即可，题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应，所以应分3种情况求解. 【详解】①若边长为4的边与边长为6的边相对应，则另两边为7.5×=5和9×=6； ②若边长为4的边与边长为7.5的边相对应，则另两边为和； ③若边长为4的边与边长为9的边相对应，则另两边为和． 故三角形框架的两边长可以是：5和6或和或和． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的三边对应成比例，解答时注意分类讨论思想的运用. 2．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，且AP=2.8，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（    ） A．2    种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据相似图形判定,作出平行线和找到相等角度即可解题. 【详解】如图1,过点P分别作PD∥AB,交BC于点D；作PE∥BC,交AB于点E. ∵PD∥AB ∴∠CPD=∠CAB, ∠CDP=∠CBA ∴△CPD∽△ABC 同理可证△AEP∽△ABC 如图2,在AB边上找一点H,连接PH,使∠APH=∠B ∵∠A=∠A ∴△APH∽△ABC 综上,一共找到三个图形. 【点睛】本题考查相似三角形的判定,中等难度.作图能力是解题关键. 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 4．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 5．如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵， ∴， 添加，其夹角不一定相等，不能判定，故选项A符合题意； 添加，可用两边及其夹角法判定，故选项B不符合题意； 添加，可用两角法判定，故选项C不符合题意； 添加，可用两角法判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．△ABC的三条边之比为，与其相似的另一个△最大边长为18cm，则另两边长的和为 ． 【答案】21 【分析】根据相似三角形的对应边成比例可求得△A′B′C′的另两边长，然后求和即可. 【详解】解：设△A′B′C′的最短边的长为x，另一边为y， ∵△ABC∽△， ∴，， ∴x=6，y=15， ∴x+y=6+15=21. 故答案为21. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例. 7．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条． 【答案】 【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可． 【详解】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似， 作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形. 所以可作4条. 故答案为4. 【点睛】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的4中判定方法是解题的关键. 8．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可） 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：可添加条件：． 证明如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 10．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 11．如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证．本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ∴． 12．如图，点E在的边上，请用尺规作图法在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）      【答案】见解析 【分析】本题考查限定工具作图—作一个角等于已知角，掌握“平行于三角形一边的直线交其它两边，得到的新三角形与原三角形相似”是解题的关键． 【详解】解：点F即为所作；    13．已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 14．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图所示，△PQR是等边三角形，△PAQ∽△BPR. (1)请写出两个相似三角形对应边的比例式； (2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系． 【答案】(1)＝＝；（2）QR2＝BR·AQ. 【详解】分析：（1）根据相似三角形对应边成比例得出结论即可；      （2）由等边三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论． 详解：（1） ∵△PAQ∽△BPR，∴． （2）∵△PQR是等边三角形，∴PQ＝QR＝PR． 由（1）知，∴PQ·PR＝BR·AQ， ∴QR2＝BR·AQ． 点睛：本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质．熟练掌握性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$