第4章《一元一次方程》章节总复习（知识精讲+易错点拨+8个考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第4章《一元一次方程》章节总复习 （知识精讲+8个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：方程的定义 3 考点讲练2：方程的解 4 考点讲练3：等式的性质 5 考点讲练4：一元一次方程的定义 6 考点讲练5：一元一次方程的解 6 考点讲练6：解一元一次方程 7 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 8 考点讲练8：一元一次方程的应用 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 13 新知精讲梳理 知识点01：一元一次方程的概念 1．方程： 叫做方程． 2．一元一次方程：只含有 （元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程． 知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个 未知数的次数为 ； ②未知数所在的式子是 ，即分母中不含未知数． 3．方程的解： 叫做这个方程的解． 4．解方程： 叫做解方程． 知识点02：等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1： ，结果仍相等． 等式的性质2： ，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边． (4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a≠0)的形式． (5)系数化为1： 得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝ ×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量× 3.利润问题：商品利润＝商品售价－ 4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝ 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× × 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 考点讲练1：方程的定义 【精讲题】（2023秋•嘉祥县期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【举一反三练1】（2021秋•博白县期末）下列式子中是方程的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024•南岗区校级开学）下列式子中，方程的个数是　　 ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三练3】（2022秋•长顺县期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像（1），（2），（3）都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （2）表示在数轴上，数与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ①； ②． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 考点讲练2：方程的解 【精讲题】（2023秋•宝山区期末）已知关于的方程无解，那么的值为 　． 【举一反三练1】（2022秋•宜城市期末）已知是方程的解，则　　． 【举一反三练2】（2021秋•锦江区校级期末）对于正整数，阶乘符号表示从到1的整数的乘积（例如：，则满足方程！的的值为 　　． 【举一反三练3】（2022春•东乡区期中）阅读下列材料： 关于的方程 的解是； 的解是； 的解是； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于的方程的解为 　　． （2）比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是 　　． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于的方程的解． 考点讲练3：等式的性质 【精讲题】（2024•娄底开学）下面四句话中，正确的是　　 A．小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用6分钟 B．27瓶口香糖中有一瓶是次品，次品稍微轻一些，则用天平至少称4次才能保证找到次品 C．六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日 D．老师用打电话的方式通知学生，1分钟通知1人，则4分钟最多能通知16人 【举一反三练1】（2024•南通开学）满足等式的一组自然数是　　 A． 、 B．、 B． C．、 D．、 【举一反三练2】（2023秋•岳阳县期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三练3】（2021春•重庆期末）阅读下列材料： 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． 根据以上信息，回答下列问题： （1）从步骤①到步骤②，变形的依据是 　 　；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 　　； （2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式 考点讲练4：一元一次方程的定义 【精讲题】（2024春•永春县校级期中）下列方程中，是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•秦淮区期中）如果方程是关于的一元一次方程，则的值为　　 A．0 B．2 C．6 D．0或2 【举一反三练2】（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知三个关于的多项式，，，有以下结论：①当，时，的最小值是4；②若是关于的一元一次方程，则的值为或；③若是关于的二次三项式，且，则有3种不同的结果．其中，正确的个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三练3】（2023秋•扶沟县校级月考）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A．3+x B．1×2＝2 C．x+1＝0 D． 【举一反三练4】（2023秋•肥城市期末）若方程是关于的一元一次方程，则的值为 　　． 考点讲练5：一元一次方程的解 【精讲题】（2024春•衡山县月考）已知，为任意有理数，下列说法正确的有　　 ①关于的方程可能是一元一次方程； ②关于的方程的解为； ③当，互为相反数时，关于的方程的解是． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【举一反三练1】（2023秋•武平县期末）下列各方程中，解为的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练2】（2023秋•福田区期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有　　个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三练3】（2023秋•岳阳县期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 考点讲练6：解一元一次方程 【精讲题】（2023秋•离石区期末）已知方程，去分母后正确的结果是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•新化县模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 【举一反三练2】（2023秋•康县期末）解方程：（1）； （2） ． 【举一反三练3】．（2023秋•铁西区期末）马小虎同学在解关于的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出的值，并求出原方程正确的解． 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 【精讲题】（2023秋•和平区校级期末）有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【举一反三练1】（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2017秋•沙市区期中）问题：一辆客车和一辆卡车同时从地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早经过地，，两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为　　；也可列方程解决这个问题，设，两地相距，列出来的方程为　 　；无论哪种方法都能求得，两地间的路程是　 　千米． 【举一反三练3】（2018•邵阳县模拟）根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）． （1）有两个工程队，甲队人数30名，乙队人数10名，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍． （2）有一个班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人．问这个班共有多少名同学？ 考点讲练8：一元一次方程的应用 【精讲题】（2023秋•清原县期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是　　 A．49 B．60 C．84 D．105 【举一反三练1】（2024春•镇平县月考）小王同学想根据方程编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有人，那么横线部分的条件应描述为　　 A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 【举一反三练2】（2023秋•通山县期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）该中学库存多少套桌椅？ （2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：、由甲单独修理；、由乙单独修理；、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？ 【举一反三练3】（2023秋•潮安区期末）甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按收取，某顾客购买的电器价格是元． （1）分别用含有的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用； （2）当时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由． （3）当为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？ 中等题真题汇编练 1．（2024•永年区校级开学）若等式成立，则“□”内的是　　 A． B．7 C． D． 2．（2024•船山区校级开学）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打折，根据题意列一元一次方程，正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•项城市月考）一个瓶子的容积为1.9L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15cm，倒放时，空余部分的高度为4cm（如图）．则瓶内溶液的体积是（　　） A．1.8L B．1.3L C．1.5L D．1.9L 4．（2024•鼓楼区校级开学）如图，等量关系不成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•望奎县校级开学）一个班有50人，女生比男生少2人，女生占全班学生人数的 　 　． 6．（2023秋•中山区期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是3和，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 　　． 7．（2024•南岗区校级开学）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若M为AP的中点，N为AB的中点，点P在运动的过程中，当线段MN的长度为3时，则点P的运动时间为 　 　秒． 8．（2023秋•鄞州区校级月考）解方程：，则　　． 9．（2024•冠县校级开学）解方程： （1）； （2）． 10．（2024•洛江区校级开学）六（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满．大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 11．（2023秋•江陵县期末）学校能过体测结果显示，发现我校学生需要加强体育锻炼，计划从商场购买一些篮球和足球，商场价格篮球每个80元，足球每个60元． （1）若购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，第一次购进足球和篮球共70个，求第一次购进篮球和足球各多少个？ （2）第二次购买时，从商场得知，购买篮球超过50个，超出50个部分，每篮球打八折，购买足球超100个，超过100个部分，每个足球便宜10元钱．经统计，该校购买篮球超过50个，购买足球也超过100个，并且购买篮球个数比购买足球个数少50个，共花费了12280元，则第二次购买篮球和足球各多少个？ 12．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案： 方案一：将月饼全部进行简装加工； 方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售； 方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 培优题真题汇编练 13．（2023秋•平凉期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为　　 A．24 B．25 C．26 D．27 14．（2024•皇姑区开学）装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际天可以完成，正确的列式是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•福田区期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有　　个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2023秋•夏邑县期末）某时装店将某品牌服装按成本提高标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利240元，则这种服装每件的成本价是 　　元． 17．（2024•无锡校级二模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为 　　． 18．（2022秋•岳麓区校级期末）随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是，销售爆炸瓜的利润率是，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 　　．（利润率 19．（2024•洛江区校级开学）求未知数． ①； ②； ③． 20．（2024•洛江区校级开学）定义一种新运算“△”，其规则为△． 例如：3△． （1）计算4△5的值； （2）若△△4，求的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 21．（2023秋•罗定市期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价（元件） 20 30 售价（元件） 26 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 22．（2024春•城关区校级期末）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按着标价的7.5折出售，可盈利60元．若每件服装按着标价的5折出售，则亏损60元．问： （1）每件服装的标价为多少元？ （2）若这种服装一共库存80件．按着标价8折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利2400元，求按8折出售的服装有多少件？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第4章《一元一次方程》章节总复习 （知识精讲+8个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：方程的定义 3 考点讲练2：方程的解 5 考点讲练3：等式的性质 7 考点讲练4：一元一次方程的定义 10 考点讲练5：一元一次方程的解 13 考点讲练6：解一元一次方程 15 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 17 考点讲练8：一元一次方程的应用 19 中等题真题汇编练 22 培优题真题汇编练 27 新知精讲梳理 知识点01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点02：等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 考点讲练1：方程的定义 【精讲题】（2023秋•嘉祥县期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②是不等式，⑤，不是等式，不是方程， 故方程有4个， 故选：． 【考点评析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【举一反三练1】（2021秋•博白县期末）下列式子中是方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可． 【规范解答】解：，不是方程，故不符合题意； 是一元一次不等式，故不符合题意， ．，是方程，故符合题意； ，不是方程，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•南岗区校级开学）下列式子中，方程的个数是　　 ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【规范解答】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了方程的定义．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【举一反三练3】（2022秋•长顺县期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像（1），（2），（3）都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （2）表示在数轴上，数与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ①； ②． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【思路点拨】（1）①表示在数轴上，数与数6的距离为2个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和4； ②表示在数轴上，数与数的距离为3个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和． （2）根据表示数与表示数3和5的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示3和5的点之间时，距离最小，可得答案． 【规范解答】解：（1）①因为， 所以或， 解得：或； ②因为， 所以或， 解得：或； （2）表示数与表示数3和5的点之间的距离之和， 的最小值是2． 【考点评析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键． 考点讲练2：方程的解 【精讲题】（2023秋•宝山区期末）已知关于的方程无解，那么的值为 　2　． 【思路点拨】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得，再按此进行计算． 【规范解答】解：关于的分式方程无解， 将方程可转化为， 当时，分式方程无解， ． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了分式方程的解，注：分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 【举一反三练1】（2022秋•宜城市期末）已知是方程的解，则　　． 【思路点拨】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数的一元一次方程，解方程可求出的值． 【规范解答】解：把代入方程， 得：， 解方程得：． 故填：． 【考点评析】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 【举一反三练2】（2021秋•锦江区校级期末）对于正整数，阶乘符号表示从到1的整数的乘积（例如：，则满足方程！的的值为 　10　． 【思路点拨】根据阶乘符号表示从到1的整数的乘积，进行计算即可． 【规范解答】解：！， ！， ！， ， ， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号表示从到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键． 【举一反三练3】（2022春•东乡区期中）阅读下列材料： 关于的方程 的解是； 的解是； 的解是； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于的方程的解为 　　． （2）比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是 　　． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于的方程的解． 【思路点拨】（1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解； （2）结合（1）即可写出方程的解； （3）将代入方程左边，即可进行验证； （4）原方程可以变形为：把当作一个整体，即可求解． 【规范解答】解：（1）根据阅读材料可知： 关于的方程的解为； 故答案为：； （2）关于的方程它的解是； 故答案为：； （3）把代入等式左边右边； （4）整理，得 ， 所以， 解得． 【考点评析】本题主要考查了方程的解，正确理解已知条件，能够把当作一个整体是关键． 考点讲练3：等式的性质 【精讲题】（2024•娄底开学）下面四句话中，正确的是　　 A．小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用6分钟 B．27瓶口香糖中有一瓶是次品，次品稍微轻一些，则用天平至少称4次才能保证找到次品 C．六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日 D．老师用打电话的方式通知学生，1分钟通知1人，则4分钟最多能通知16人 【思路点拨】根据层数楼数和走一楼的时间一楼到六楼的层数判定；根据找次品的最优策略，把待分物品分成3份，分3次即可判定；根据抽屉原则判定；第一分钟通知1人，接到通知的学生可以同时去通知其他学生第二分钟（人第三分钟：（人以此类推判定． 【规范解答】解：、根据题意（分钟），小马从一楼走到三楼用了3分钟，那么从一楼走到六楼要用7.5分钟，原说法错误，不符合题意； 、将27瓶分成、9、，称、，无论平衡不平衡，都可以确定次品在其中9瓶；将9瓶分成、3、，称、，无论平衡不平衡，都可以确定次品在其中3瓶，将3瓶分成、1、，称、，无论平衡不平衡，都可以确定次品在其中1瓶，则用天平至少称3次才能保证找到次品，原说法错误，不符合题意； 、，（人，六（1）班有45人，那么至少有4人在同一个月过生日，原说法正确，符合题意； 、第一分钟：1人， 第二分钟：（人， 第三分钟：（人， 第四分钟：（人， 四分钟最多能通知15人，原说法错误． 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，熟练掌握生活实际与数学计算的关系是关键． 【举一反三练1】（2024•南通开学）满足等式的一组自然数是　　 A． 、 B．、 B． C．、 D．、 【思路点拨】分别将的值代入计算即可． 【规范解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 【举一反三练2】（2023秋•岳阳县期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】根据等式的性质判断求解． 【规范解答】解：：只有当时成立，故不符合题意； ：当时不成立，故不符合题意； ：根据等式的性质，两边都乘以，两边相等，故符合题意； ：当时不成立，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，理解等式的性质是解题的关键． 【举一反三练3】（2021春•重庆期末）阅读下列材料： 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． 根据以上信息，回答下列问题： （1）从步骤①到步骤②，变形的依据是 　等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等　；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 　　； （2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式． 【思路点拨】（1）根据等式的性质进行填空； （2）设，两边同时乘以100，可得，解方程可得结论． 【规范解答】解：（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（1分） 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是：等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．（2分） 故答案为：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （2）设，（3分） ，（4分） ， ，（5分） ， ．（6分） 【考点评析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 考点讲练4：一元一次方程的定义 【精讲题】（2024春•永春县校级期中）下列方程中，是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【规范解答】解：．，只含有两个未知数（元，且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．，只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项符合题意； ．，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．，未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义． 【举一反三练1】（2023秋•秦淮区期中）如果方程是关于的一元一次方程，则的值为　　 A．0 B．2 C．6 D．0或2 【思路点拨】含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义列式计算即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得：且， 解得． 故选：． 【考点评析】此题考查一元一次方程的定义，需注意的是含未知数的项的系数中含有未知数时必须满足系数不等于0． 【举一反三练2】（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知三个关于的多项式，，，有以下结论：①当，时，的最小值是4；②若是关于的一元一次方程，则的值为或；③若是关于的二次三项式，且，则有3种不同的结果．其中，正确的个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】①将，分别代入、、，计算化简后分别代入并整理化简，利用数轴上绝对值的几何意义求其最小值即可； ②将、、分别代入并合并同类项，根据是关于的一元一次方程分别求出和的值，进而求出和，计算的值即可； ③将、、分别代入并合并同类项，根据是关于的二次三项式，且，分别求出和的值，进而求出和，计算即可． 【规范解答】解：①当，时，，，， ，， ，它的最小值为4， ①正确． ②， 根据题意，得，，，解得，或， 该一元一次方程为，解得． 当时，，，； 当时，，，； 综上，的值为或， ②不正确． ③若， 是关于的二次三项式，且， ，解得， ， 当时，或0（舍去），，， 当时，或，，或5， 综上，有3种不同的结果，分别是3，5，6， ③正确． 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的定义及绝对值、多项式，理解并牢固掌握这些概念是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•扶沟县校级月考）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A．3+x B．1×2＝2 C．x+1＝0 D． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【规范解答】解：对于选项A，3+x是整式，不是一元一次方程， 故选项A不符合题意； 对于选项B，1×2＝2中不含未知数，不是一元一次方程， 故选项B不符合题意； 对于选项C．x+1＝0，是一元一次方程， 故选项C符合题意； 对于选项D，，是分式方程， 故选项D不符合题意， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解决问题的关键． 【举一反三练4】（2023秋•肥城市期末）若方程是关于的一元一次方程，则的值为 　　． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【规范解答】解：方程是关于的一元一次方程， 且， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． 考点讲练5：一元一次方程的解 【精讲题】（2024春•衡山县月考）已知，为任意有理数，下列说法正确的有　　 ①关于的方程可能是一元一次方程； ②关于的方程的解为； ③当，互为相反数时，关于的方程的解是． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【思路点拨】根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解． 【规范解答】解：①当时，方程是一元一次方程，故原说法正确； ②当，时，方程的解为，故原说法错误； ③当，互为相反数，则， ， 方程变形为， ，故原说法正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•武平县期末）下列各方程中，解为的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】分别求解各方程，然后再判断即可解答． 【规范解答】解：解①可得； 解②可得； 解③可得； 解④可得； 解⑤可得；则解为有①②，共2个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次方程，正确求解方程是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•福田区期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有　　个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据新定义可以判断出①②，求出或的判断③，根据新定义得到，得出以判断④． 【规范解答】解：由题意得，，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时，，，故③正确； ，， ， ， ， 或，故④错误． 故选：． 【考点评析】本题考查的是新定义、有理数的运算与方程的解，其中正确运用新定义是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•岳阳县期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【思路点拨】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可； （2）根据差解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， 是差解方程； （2）关于的一元一次方程是差解方程， ， 解得：． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解差解方程的意义是解此题的关键． 考点讲练6：解一元一次方程 【精讲题】（2023秋•离石区期末）已知方程，去分母后正确的结果是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据解一元一次方程的方法，首先去分母，方程两边同时乘以两个分数的最小公倍数，即可得到答案． 【规范解答】解：方程的两边同时乘以6，得， 整理得，， 故选：． 【考点评析】本题考查了解一元一次方程，解答本题的关键是熟练掌握一元一次方程的解答方法． 【举一反三练1】（2024•新化县模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 【思路点拨】设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【规范解答】解：设， 则， ， 解得， 故选：． 【考点评析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【举一反三练2】（2023秋•康县期末）解方程：（1）； （2）． 【思路点拨】（1）此题主要是去括号，移项，合并同类项． （2）方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数12，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上． 【规范解答】解：（1）， ， ， ； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 【考点评析】本题考查解一元一次方程的知识，题目难度不大，但是出错率很高，是失分率很高的一类题目，同学们要在按步骤解答的基础上更加细心的解答． 【举一反三练3】．（2023秋•铁西区期末）马小虎同学在解关于的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出的值，并求出原方程正确的解． 【思路点拨】将代入得求得，据此可得原方程为，解之可得． 【规范解答】解：根据题意，是方程的解， 将代入得， 解得：， 把代入原方程得， 解得：． 【考点评析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤． 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 【精讲题】（2023秋•和平区校级期末）有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【思路点拨】由乘车的人数不变，可得出关于的一元一次方程；由客车辆数不变，可得出关于的一元一次方程，再对照给定的4个等式即可得出结论． 【规范解答】解：由人数不变，可列出方程：， 等式④正确； 由客车的辆数不变，可列出方程：， 等式③正确． 正确的结论是③④． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设有牧童人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设有牧童人， 根据题意可列方程为：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【举一反三练2】（2017秋•沙市区期中）问题：一辆客车和一辆卡车同时从地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早经过地，，两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为　　；也可列方程解决这个问题，设，两地相距，列出来的方程为　 　；无论哪种方法都能求得，两地间的路程是　 　千米． 【思路点拨】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案． 【规范解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：； 也可列方程解决这个问题，设，两地相距，列出来的方程为：； 无论哪种方法都能求得，两地间的路程是：450千米． 故答案为：，，450． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 【举一反三练3】（2018•邵阳县模拟）根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）． （1）有两个工程队，甲队人数30名，乙队人数10名，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍． （2）有一个班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人．问这个班共有多少名同学？ 【思路点拨】（1）设从乙队调人去甲队，则乙队现在有人，甲队有人，根据甲队的人数是乙队人数的7倍列出方程即可； （2）设这个班共有名同学，则原计划需要船，或，由此联立方程得出答案即可． 【规范解答】解：（1）设从乙队调人去甲队，则乙队现在有人，甲队有人，由题意得 ； （2）设这个班共有名同学，由题意得 ． 【考点评析】此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出题目蕴含的数量关系是列方程的关键． 考点讲练8：一元一次方程的应用 【精讲题】（2023秋•清原县期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是　　 A．49 B．60 C．84 D．105 【思路点拨】先设中间的数为，则上一行3个数分别是，，，下一行3个数分别是，，，然后列方程求解即可． 【规范解答】解：设中间的数为，则上一行3个数分别是，，，下一行3个数分别是，，， 则这7个数的和为， ．若，则，不符合题意； ．若，则，不符合题意； ．若，则，不符合题意； ．若，则，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示出这7个数的和是解答本题的关键． 【举一反三练1】（2024春•镇平县月考）小王同学想根据方程编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有人，那么横线部分的条件应描述为　　 A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖 C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬 【思路点拨】分析方程可知选用的等量关系是该批砖的块数不变，再分析方程的左、右两边的意义，即可得出结论． 【规范解答】解：设参与搬砖的有人， 列出的方程为， 方程的左、右两边均为这批砖的块数， 方程的左边为若每人搬8块，那么剩下3块砖未搬；方程的右边为若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，理解方程中的数量关系是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•通山县期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）该中学库存多少套桌椅？ （2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：、由甲单独修理；、由乙单独修理；、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？ 【思路点拨】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲单独修完这些桌凳的天数乙单独修完的天数天，列方程求解即可； （2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案． 【规范解答】解：（1）设该中学库存套桌椅，则； 解得． 答：该中学库存960套桌椅． （2）设、、三种修理方案的费用分别为、、元， 则， ， ， 综上可知，选择方案更省时省钱． 答：方案省时省钱． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题要掌握工作量的有关公式：工作总量工作时间工作效率． 【举一反三练3】（2023秋•潮安区期末）甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按收取，某顾客购买的电器价格是元． （1）分别用含有的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用； （2）当时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由． （3）当为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？ 【思路点拨】（1）在甲商场所付的费用超过4000元的部分，在乙甲商场所付的费用超过3000元的部分； （2）把代入（1）中的两个代数式即可； （3）由题意得：在甲商场所付的费用在乙甲商场所付的费用，根据等量关系列出方程，再解即可． 【规范解答】解：（1）在甲商场所付的费用：（元， 在乙甲商场所付的费用：（元； （2）当时， 在甲商场所付的费用：（元， 在乙甲商场所付的费用：（元， ， 在甲商场购买更优惠； （3）根据题意可得：， 解得：， 答：当为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程 中等题真题汇编练 1．（2024•永年区校级开学）若等式成立，则“□”内的是　　 A． B．7 C． D． 解：设□，则有， ， □． 故选：． 2．（2024•船山区校级开学）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打折，根据题意列一元一次方程，正确的是　　 A． B． C． D． 解：由题意可得， ， 故选：． 3．（2023秋•项城市月考）一个瓶子的容积为1.9L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15cm，倒放时，空余部分的高度为4cm（如图）．则瓶内溶液的体积是（　　） A．1.8L B．1.3L C．1.5L D．1.9L 解：设瓶子的底面积为S cm3，1L＝1000cm3， 依题意得：15S+4S＝1.9×1000， 解得：S＝100， 100×15＝1500（cm3）＝1.5（L）， 答：瓶内溶液的体积是1.5L， 故选：C． 4．（2024•鼓楼区校级开学）如图，等量关系不成立的是　　 A． B． C． D． 解：由图列出方程等量关系式，，故不符合题意； ，把左边的移到右边，就变为，故不符合题意； ，把左边的移到右边，右边移到左边，就变为，故不符合题意； ，把左边的移到右边，就变为，等量关系不成立，故符合题意． 故选：． 5．（2024•望奎县校级开学）一个班有50人，女生比男生少2人，女生占全班学生人数的 　48%　． 解：设女生有x人，则男生有（x+2）人， 根据题意得：x+x+2＝50， 解得：x＝24， ∴×100%＝×100%＝48%． 故答案为：48%． 6．（2023秋•中山区期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是3和，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 　3秒或9秒　． 解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动， 秒时，动点所表示的数为， 动点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动， 秒时，动点所表示的数为， 分两种情况讨论如下： ①当动点，在点的两侧时，，， 动点到点的距离等于动点到点的距离， ， 解得：， 即3秒时，动点到点的距离等于动点到点的距离， ②当动点，在点的同侧时，，， 动点到点的距离等于动点到点的距离， ， 解得：， 即9秒时，动点到点的距离等于动点到点的距离， 综上所述：当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为3秒或9秒． 7．（2024•南岗区校级开学）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若M为AP的中点，N为AB的中点，点P在运动的过程中，当线段MN的长度为3时，则点P的运动时间为 　2或8　秒． 解：∵数轴上点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB＝10， ∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣2t，点M表示的数为＝6﹣t，点N表示的数为＝1， 根据题意得：|6﹣t﹣1|＝3， 即5﹣t＝3或t﹣5＝3， 解得：t＝2或t＝8， ∴点P的运动时间为2或8秒． 故答案为：2或8． 8．（2023秋•鄞州区校级月考）解方程：，则　2041　． 解： ， ． 故答案为：2041． 9．（2024•冠县校级开学）解方程： （1）； （2）． 解：（1）， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2），即， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 10．（2024•洛江区校级开学）六（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满．大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 解：设大帐篷租了顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：， 解得：， ． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 11．（2023秋•江陵县期末）学校能过体测结果显示，发现我校学生需要加强体育锻炼，计划从商场购买一些篮球和足球，商场价格篮球每个80元，足球每个60元． （1）若购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，第一次购进足球和篮球共70个，求第一次购进篮球和足球各多少个？ （2）第二次购买时，从商场得知，购买篮球超过50个，超出50个部分，每篮球打八折，购买足球超100个，超过100个部分，每个足球便宜10元钱．经统计，该校购买篮球超过50个，购买足球也超过100个，并且购买篮球个数比购买足球个数少50个，共花费了12280元，则第二次购买篮球和足球各多少个？ 解：（1）设购进篮球个，则购进足球个， 由题意知：， 解得，（个． 答：第一次购进篮球30个，购进足球40个． （2）设第二次购买足球个，则购买蓝球个， ， 解得，（个． 答：第二次购买足球120个，购买篮球70个． 12．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案： 方案一：将月饼全部进行简装加工； 方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售； 方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 解：方案三获利最多，理由如下： 方案一获利为：（元， 方案二：精包装月饼为：（吨，在市场上直接销售的月饼为：（吨， 获利为：（元， 方案三：设吨月饼进行精包装加工，吨月饼进行简装加工， 由题意得：， 解得：， 获利为：（元， ， 方案三获利最多． 培优题真题汇编练 13．（2023秋•平凉期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为　　 A．24 B．25 C．26 D．27 解：设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，， 由题意可得：， 解得， 这五个数中最大的数为， 故选：． 14．（2024•皇姑区开学）装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际天可以完成，正确的列式是　　 A． B． C． D． 解：设实际天可以完成， 由题意得：． 故选：． 15．（2023秋•福田区期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有　　个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 解：由题意得，，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时，，，故③正确； ，， ， ， ， 或，故④错误． 故选：． 16．（2023秋•夏邑县期末）某时装店将某品牌服装按成本提高标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利240元，则这种服装每件的成本价是 　2000　元． 解：设这种服装每件成本价为元， ， 解得：， 这种服装每件成本2000元， 故答案为：2000． 17．（2024•无锡校级二模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为 　　． 解：设买羊的人数为人， 根据题意，可列方程为， 故答案为：． 18．（2022秋•岳麓区校级期末）随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是，销售爆炸瓜的利润率是，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 　　．（利润率 解：设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为，，第一周爆炸瓜销量为，则麒麟瓜销量为，依题意有： ， 整理得：， 设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为，，依题意有： ， ， ， ， ． 故第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比是． 故答案为：． 19．（2024•洛江区校级开学）求未知数． ①； ②； ③． 解：①， ， ； ②， ， ， ； ③， ， ， ． 20．（2024•洛江区校级开学）定义一种新运算“△”，其规则为△． 例如：3△． （1）计算4△5的值； （2）若△△4，求的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 解：（1）4△； （2）△△4， 故， 解得：； （3）“△”运算不满足交换律，举例如下： 2△，3△，故2△△2． 21．（2023秋•罗定市期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价（元件） 20 30 售价（元件） 26 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 解：（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ． 答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件． （2）（元． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元． （3）设第二次乙种商品是按原价打折销售， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 22．（2024春•城关区校级期末）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按着标价的7.5折出售，可盈利60元．若每件服装按着标价的5折出售，则亏损60元．问： （1）每件服装的标价为多少元？ （2）若这种服装一共库存80件．按着标价8折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利2400元，求按8折出售的服装有多少件？ 解：（1）设每件服装的标价为元，依题意有 ， 解得． 答：每件服装的标价为480元． （2）设按8折出售的服装有件，依题意有 ， 解得． 故按8折出售的服装有50件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$