第3章《代数式》章节总复习（知识精讲+易错点拨+13个考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第3章《代数式》章节总复习 （知识精讲+13个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 考点讲练1：代数式 3 考点讲练2：列代数式 6 考点讲练3：代数式求值 7 考点讲练4：同类项 9 考点讲练5：合并同类项 9 考点讲练6：．去括号与添括号 11 考点讲练7：规律型：数字的变化类 12 考点讲练8：规律型：图形的变化类 14 考点讲练9：整式 15 考点讲练10：单项式 15 考点讲练11：多项式 16 考点讲练12：整式的加减 17 考点讲练13：整式的加减—化简求值 18 中等题真题汇编练 19 培优题真题汇编练 22 新知精讲梳理 知识点01：代数式 如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把 连接而成的，像这样的式子叫做代数式， 也是代数式． 知识要点：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成 （2）除法运算一般以 的形式表示； （3） 相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成 又能写成 ，一般写成 的形式； （5）如果字母前面的数字是 ，通常 知识点02：整式的相关概念 1．单项式：由 组成的代数式叫做单项式， 也是单项式． 知识要点：（1）单项式的系数是指 （2）单项式的次数是指单项式中 ． 2．多项式： 叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做 ． 知识要点：（1）在多项式中， 叫做常数项． （2）多项式中 的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是 次，有 个单项式，我们就把这个多项式称为 ． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字 母 ．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母 知识要点：（1）利用 重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行 排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点03：整式的加减 1．同类项：所含 相同，并且 也相同的项叫做同类项．所有的 都是同类项． 知识要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含 相同；② 相同； （2）“两无关”是指：①与 无关；②与 无关． 2．合并同类项：把 ，叫做合并同类项． 知识要点：合并同类项时，只是 相加减，所得结果作为系数， 保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都 ；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要 ． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都 ；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要 ． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用 连接，然后 考点讲练1：代数式 【精讲题】（2023秋•渌口区期末）某电子产品原价为，9月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为，则下列说法中，符合题意的是　　 A．原价减100元后再打8折 B．原价打8折后再减100元 C．原价打2折后再减100元 D．原价减100元后再打2折 【举一反三练1】（2023秋•镇平县期末）学完“第3章整式的加减”后，小颖同学绘制了如图所示的知识结构图，图中和分别代表的是　　 A．代数式，有理数的加减运算法则 B．代数式，合并同类项 C．多项式，合并同类项 D．多项式，有理数的加减运算法则 【举一反三练2】（2022秋•太原期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴和数轴模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴上表示2的点与数轴上表示3的点恰好对齐． （1）图1中，数轴上表示9的点与数轴上表示 　6　的点对齐，数轴上表示的点与数轴上表示 　　的点对齐； （2）如图2，将图中的数轴向左移动，使得数轴的原点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示5的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点12个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐； （3）请从，两题中任选一题作答．我选择_____题． ．若数轴的原点与数轴上表示的点对齐，则数轴上表示4的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐．（用代数式表示） ．若数轴上表示的点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐．（用代数式表示） 【举一反三练3】（2023秋•宁德期末）为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”．甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的没铺． （1）若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中所表示的实际意义，并求出它的值； （2）为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答． 考点讲练2：列代数式 【精讲题】（2023秋•凉州区期末）某品牌电脑降价以后，每台售价为元，则该品牌电脑每台原价为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三练1】（2023秋•婺城区校级月考）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为8份意大利面，杯饮料，份沙拉，则他们点了　　份餐． A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•双流区期末）新年联欢，某公司为员工准备了，两种礼物，礼物单价元，重千克，礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，通过称重其他盲盒，大家发现： 称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的 盲盒个数 0 5 0 9 4 若这些礼物共花费3040元，则　 　元． 【举一反三练3】某花圃基地计划将如图所示的一块长50m，宽30m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是3百元、4百元、5百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 考点讲练3：代数式求值 【精讲题】（2024春•南浔区期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有　　 ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（2023秋•舟山期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为　　 A．15 B．19 C．21 D．23 【举一反三练2】（2024春•东坡区期末）电动车厂计划每天平均生产辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负） 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 （1）用含的整式表示本周五天生产电动车的总数； （2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【举一反三练3】（2023秋•曾都区期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和4． （1）写出表示阴影部分面积的代数式（结果要求化简）； （2）求时阴影部分的面积． 考点讲练4：同类项 【精讲题】（2023秋•宣化区期末）单项式与是同类项，则　　 A．， B．， C．， D．， 【举一反三练1】（2023秋•红安县期中）下列说法：①若与是同类项，则，；②若，则；③若，则；④若，，，则，其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（2023秋•山阳县期末）若单项式与是同类项，则的值为 　25　． 【举一反三练3】（2017秋•雁塔区校级期中）若和是同类项，求的值． 考点讲练5：合并同类项 【精讲题】（2023秋•楚雄州期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•长沙县期末）在数轴上，，两点之间的线段记为；若，两点分别表示数，，那么线段的长度计算公式为：．已知． （1）求的值． （2）如图，点，分别从点，同时出发沿数轴向右运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，当时，点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点从原点与，点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒个单位长度，若在运动过程中处于，之间），的值与运动的时间无关，求的值． 【举一反三练2】（2023秋•沈河区期末）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含的系数为0，即原式，所以，则． （1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【举一反三练3】（2022秋•顺德区期末）在学习数学的过程中，我们经常要探索一个问题的多种解法，这样不仅有利于拓宽解题思路培养发散思维、构建知识体系增强分析能力、对比多种解法优化解题方案，还是提高数学成绩、培养数学兴趣的重要途径．如：代数式的化简问题． （1）问题提出：先去括号，再合并同类项：； 对（1）的代数式，你还有其它解法吗？若把看成一个整体，则： ． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： （2）尝试应用：化简； （3）拓展运用：已知，，求的值； （4）迁移运用：已知，．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5，一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上沿一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 考点讲练6：．去括号与添括号 【精讲题】（2024•凉州区二模）与相等的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•桐柏县校级月考）下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练3】（2017秋•鸠江区期中）阅读下面材料： 计算： 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度． 根据阅读材料提供的方法，计算： 【举一反三练3】（2016秋•无棣县期中）将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按的降幂排列． 考点讲练7：规律型：数字的变化类 【精讲题】（2023秋•沭阳县校级月考）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•绍兴开学）点，，，，，为正整数）都在数轴上．点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；，依照上述规律，点，所表示的数分别为　　 A．2024， B．，2025 C．1012， D．，1013 【举一反三练2】（2024•市南区开学）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的 第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是 　 ． 【举一反三练3】（2023秋•镇海区校级期中）阅读信息： 信息一：的几何意义是与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数，，，，若，则称和关于的“双倍关系值”为．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： （1）和5关于2的“双倍关系值”为 　 ． （2）若和3关于1的“双倍关系值”为4，求的值； （3）若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为 　　； ②的值为 　　（用含的式子表示）． 考点讲练8：规律型：图形的变化类 【精讲题】（2024•阳明区校级开学）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为　　 A．303 B．299 C． D．301 【举一反三练1】（2023秋•南康区期末）如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，，以此类推，则的度数是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 【举一反三练3】（2022秋•青羊区校级期末）我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，将绕点顺时针旋转度至；第二步，将绕点顺时针旋转度至；第三步，将绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线，则立即绕点反方向旋转．如果，那么等于 　或25　度． 考点讲练9：整式 【精讲题】（2023秋•东莞市校级期中）下列式子，，，，，中，整式的个数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【举一反三练1】（2023秋•建华区校级期中）在式子：，，，，，中，整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【举一反三练2】（2023秋•金水区校级期中）下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C． D．0 【举一反三练3】（2023秋•衡山县月考）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5） （6），（7），（8），（9）中，整式有 　 　个． 考点讲练10：单项式 【精讲题】（2023秋•川汇区期末）单项式的意义可以是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【举一反三练1】（2023秋•靖宇县期末）在式子：，，，，9，，中，单项式的个数为　　 A．7个 B．4个 C．6个 D．5个 【举一反三练2】（2018春•大庆期末）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【举一反三练3】（2023秋•天河区期末）请写出一个含有字母，，且次数是5的单项式 　 ． 考点讲练11：多项式 【精讲题】（2024•益阳开学）下列说法正确的是　　 A．多项式的常数项是5 B．单项式的系数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是3 【举一反三练1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数有　　 ①若，则； ②若的结果为单项式，则； ③若关于的方程无解，则； ④代数式化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（2023秋•莱芜区期中）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求的值． 【举一反三练3】．（2020秋•双流区期末）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点，，三个点，且点，，三点所表示的数分别为，，．已知． （1）求，，的值； （2）若动点，分别从，两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）若动点，分别自，出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒，时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点，重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 考点讲练12：整式的加减 【精讲题】（2024•江北区校级开学）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，的值为0或；③正确的说法有　　个． A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三练1】（2023秋•清徐县期末）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的倍为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．小晖发现十位数字是个位数字2倍的两位数都是“喜数”，则的值为　　 A．3 B．7 C．3或7 D．21 【举一反三练2】（2023秋•九龙坡区校级期末）我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则　 　．若，均为“大吉数”，且，，，，且、、均为整数），则的最大值为 　　． 【举一反三练3】（2023秋•高安市期末）已知多项式 （1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 考点讲练13：整式的加减—化简求值 【精讲题】（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则　　． 【举一反三练1】（2023秋•清河区校级期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【举一反三练2】．（2023秋•康巴什期末）化简与求值 （1）先化简，并求当，时的值． （2）已知，，求． 【举一反三练3】（2023秋•旺苍县期末）当，时，求的值．一名同学做题时，错把看成，但结果也正确，且计算过程无误，求的值． 中等题真题汇编练 1．（2024•弥勒市二模）如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第n个图形的“△”的个数为45个，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024•重庆模拟）已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，时，若，则或； ④当，时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023秋•安顺期末）如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图，不重叠地放在一个长为、宽为长方形内（如图，未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是　　． A． B． C． D． 4．（2024•威县校级三模）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2024次输出的结果为　　 A．24 B．12 C．6 D．3 5．（2024•绍兴开学）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 　　的点与数轴上表示2024的点重合． 6．（2024•洛江区校级开学）王强从家到学校每分钟走米，走了10分钟还剩米，则王强家到学校有 　　米． 7．（2024•鼓楼区校级开学）用1分米长的小棒摆三角形，按图中所示的规律，第25幅图形的周长是 　 　分米． 8．（2024•吴兴区校级开学）如图所示，将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，在2处拐第1个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯⋯拐第20个弯的地方的数是 　 　． 9．（2024秋•阜阳月考）如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第5个图形有　　个小圆，第个图形有　　个小圆（用含的代数式表）； （2）能用114个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 10．（2024•绍兴开学）观察下列每组数，找出规律，并回答问题： 第一组：3，，3，，； 第二组：，，，，． （1）第一组数中的第6个数是 　　，第二组数中的第7个数是 　　； （2）试判断这两组数中的第2025个数分别是正数还是负数，并说明理由． 11．（2024秋•恩施市校级月考）如图，数轴上，两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若，分别到达，两点，且满足为正整数），我们称，两点完成了一次“准相向运动”． （1），两点之间的距离为 　　； （2）若，两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，，两点表示的数分别为 　　，　　； ②当为任意正整数时，求，两点表示的数（用含字母的式子表示）． 培优题真题汇编练 12． （2024春•两江新区期末）某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由5颗棋子组成，第二个图形由12颗棋子组成，第三个图形由21颗棋子组成，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是　　 A．78 B．96 C．105 D．108 13．（2023秋•信宜市期末）如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右，乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右，在第2023拍时，你听到的是　　 A．同样的音“1” B．同样的音“3” C．同样的音“5” D．不同的两个音 14．（2024•迎江区校级开学）一个长方体的长、宽、高分别是米、米、米．如果高增加2米，体积比原来增加　　立方米． A． B． C． D． 15．（2023秋•西城区校级期末）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第个图中共有点的个数是 　　． 16．（2024•成武县校级开学）一支骑兵在冲锋时摆成“锋矢阵”，第一排有3名士兵，第二排有4名士兵，第三排有5名士兵，当某一排有12名士兵时，后面每一排士兵就不再增加，都是12人．如果这支骑兵冲锋时恰好摆成36排，那么这支骑兵共有 　　名士兵． 17．（2024•淮滨县开学）一个移动硬盘的存储量是，存储一部电影约需的存储量，存了部电影，这个硬盘还剩　　的存储量；当，，还剩　　的存储量． 18．（2022秋•达川区校级期末）已知多项式的值是7，则多项式的值是　 　． 19．（2023•浠水县校级二模）观察数串的规律：，，，，，，，，，，，则第100个位置上排的数是　　． 20．（2023春•北碚区期末）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则7241为“3型数”； ，因为，则4635为“型数”．若四位数是“3型数”， 是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，则满足条件的最小四位数的值为 　　． 21．（2023秋•大祥区期末）一个正两位数的个位数字是，十位数字比个位数字大2． （1）列式表示这个两位数． （2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被22整除． 22． （2023秋•咸安区期末）先化简，再求值：，其中，． 23．（2023秋•龙山区期末）某学校办公楼前有一长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个直径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． （1）用字母和的式子表示阴影部分的面积； （2）当，，，时，阴影部分的面积是多少？取 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第3章《代数式》章节总复习 （知识精讲+13个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 考点讲练1：代数式 3 考点讲练2：列代数式 8 考点讲练3：代数式求值 11 考点讲练4：同类项 15 考点讲练5：合并同类项 16 考点讲练6：．去括号与添括号 21 考点讲练7：规律型：数字的变化类 23 考点讲练8：规律型：图形的变化类 27 考点讲练9：整式 31 考点讲练10：单项式 32 考点讲练11：多项式 33 考点讲练12：整式的加减 37 考点讲练13：整式的加减—化简求值 41 中等题真题汇编练 43 培优题真题汇编练 50 新知精讲梳理 知识点01：代数式 如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 知识要点：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 知识点02：整式的相关概念 1．单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 知识要点：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 知识要点：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 知识要点：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点03：整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 知识要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 知识要点：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 考点讲练1：代数式 【精讲题】（2023秋•渌口区期末）某电子产品原价为，9月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为，则下列说法中，符合题意的是　　 A．原价减100元后再打8折 B．原价打8折后再减100元 C．原价打2折后再减100元 D．原价减100元后再打2折 【思路点拨】即在原价的基础上打8折，即降价100元，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意得，表示的是在原价的基础上先打8折，然后再降价100元， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关 【举一反三练1】（2023秋•镇平县期末）学完“第3章整式的加减”后，小颖同学绘制了如图所示的知识结构图，图中和分别代表的是　　 A．代数式，有理数的加减运算法则 B．代数式，合并同类项 C．多项式，合并同类项 D．多项式，有理数的加减运算法则 【思路点拨】根据单项式和多项式统称为整式判断，根据整式的加减运算法则判断． 【规范解答】解：由题意得，表示多项式，表示合并同类项， 故选：． 【考点评析】本题考查了整式及整式的加减，熟练掌握整式的概念以及整式的加减运算法则是解题的关键． 【举一反三练2】（2022秋•太原期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴和数轴模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴上表示2的点与数轴上表示3的点恰好对齐． （1）图1中，数轴上表示9的点与数轴上表示 　6　的点对齐，数轴上表示的点与数轴上表示 　　的点对齐； （2）如图2，将图中的数轴向左移动，使得数轴的原点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示5的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点12个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐； （3）请从，两题中任选一题作答．我选择_____题． ．若数轴的原点与数轴上表示的点对齐，则数轴上表示4的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐．（用代数式表示） ．若数轴上表示的点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示的点与数轴上表示 　　的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 　　的点对齐．（用代数式表示） 【思路点拨】（1）根据两个数轴单位长度的比值进行计算即可； （2）根据两个数轴单位长度的比值以及两条数轴原点的“差值”进行计算即可； （3）若选，则可知，即4与数轴上表示数的点对齐，距离原点的点有两个，需要分类讨论，再根据上述算式即可；若选，则，由此可得数轴上表示的点与数轴上表示的点对齐，距离原点的点有两个，需要分类讨论，再根据上述算式即可． 【规范解答】解：（1）根据图形知：数轴与数轴 的单位长度的比值为，即数值比为， 数轴上表示9的点与数轴上表示的数为，数轴上表示的点与数轴上表示的数为， 故答案为：6，； （2）数轴的原点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示5的点与数轴上表示的数为， 数轴上距离原点12个单位长度的点与数轴上表示的数有两种情况， 即①数轴上表示12的点与数轴上表示的数为， ②数轴上表示的点与数轴上表示的数为， 故答案为：6或； （3）选； ， 轴上表示4的点与数轴上表示的点对齐； 数轴上距离原点个单位长度的点在数轴上表示或， 数轴上表示的点在轴上表示的数为 数轴上表示的点在轴上表示的数为； 综上所述，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示2或的点对齐； 故答案为：；2或； 选 ， 数轴上表示的点与数轴上表示的点对齐； 数轴上距离原点个单位长度的点在数轴上表示的数为或， 数轴上表示的点在轴上表示的数为， 数轴上表示的点在轴上表示的数为， 综上所述，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示或的点对齐： 故答案为：；或． 【考点评析】本题属于数轴上复杂应用题，主要考查数轴上两点之间的距离，理解数轴与数轴的对应关系是解题关键． 【举一反三练3】（2023秋•宁德期末）为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”．甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的没铺． （1）若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中所表示的实际意义，并求出它的值； （2）为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答． 【思路点拨】（1）根据题意用含表示式，再列方程即可求得； （2）根据题意提出问题（不唯一），计算总长后再列式即可． 【规范解答】解：（1）第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米， 第二天铺：，整理得：，即：①：， 表示道路的全长， 根据题意列式：， ， ， 解得：； （2）提出的问题：①加速后，甲工程队每天铺多少米？ （米， ， ， ， ， 答：加速后甲工程队每天铺93米． 【考点评析】本题考查一元一次方程实际应用，能列出方程是解题的关键． 考点讲练2：列代数式 【精讲题】（2023秋•凉州区期末）某品牌电脑降价以后，每台售价为元，则该品牌电脑每台原价为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，根据“售价原价降价率）”列出方程并求解即可． 【规范解答】解：设该品牌电脑每台原价为元， 根据题意，可得， 解得元， 即该品牌电脑每台原价为元． 故选：． 【考点评析】本题考查列代数式，正确找到数量关系是解题关键． 【举一反三练1】（2023秋•婺城区校级月考）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为8份意大利面，杯饮料，份沙拉，则他们点了　　份餐． A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可知，用意大利面的数量减去饮料的数量就是餐的数量． 【规范解答】解：根据题意他们点了份餐， 故选：． 【考点评析】本题考查了列代数式，理解题意列出代数式是关键． 【举一反三练2】（2023秋•双流区期末）新年联欢，某公司为员工准备了，两种礼物，礼物单价元，重千克，礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，通过称重其他盲盒，大家发现： 称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的 盲盒个数 0 5 0 9 4 若这些礼物共花费3040元，则　65　元． 【思路点拨】根据小林的盲盒比小李的盲盒重2千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元，再根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件礼物和1件礼物，小林的盲盒中为2件礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：礼物重千克，礼物重千克， 礼物比礼物重2千克， 每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克， 小李的盲盒中为1件礼物和1件礼物，小林的盲盒中为2件礼物或小李的盲盒中为2件礼物，小林的盲盒中为1件礼物和1件礼物， 不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差（元； 由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒， 所以小李的盲盒中有1件礼物和1件礼物，不可能为2件礼物， 小李的盲盒中为1件礼物和1件礼物，小林的盲盒中为2件礼物， 重量小于小李的盲盒为2件礼物， 与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒， 件礼物的有4盒，1件礼物和1件礼物各有10盒，2件礼物有6盒， ， 解得， 故答案为：65． 【考点评析】本题主要考查数据的收集与整理，能根据数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物是解答此题的关键． 【举一反三练3】某花圃基地计划将如图所示的一块长50m，宽30m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是3百元、4百元、5百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　（x2﹣80x+1500）　m2，花卉B的种植面积是 　（﹣x2+40x）　m2，花卉C的种植面积是 　（﹣x2+30x）　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【思路点拨】（1）当育苗区的边长为x m时，花卉A的种植区是长（50﹣x）m、宽（30﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（50﹣10﹣x）m、宽x m的矩形，花卉C的种植区是长（30﹣x）m、宽x m的矩形，利用矩形面积的计算公式，即可用含x的代数式表示出花卉A，B，C的种植面积； （2）根据A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）由花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，将A，B，C三种花卉的总产值相加，可得出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】解：（1）当育苗区的边长为x m时，花卉A的种植区是长（50﹣x）m、宽（30﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（50﹣10﹣x）m、宽x m的矩形，花卉C的种植区是长（30﹣x）m、宽x m的矩形， ∴花卉A的种植面积是（50﹣x）（30﹣x）＝（x2﹣80x+1500）m2，花卉B的种植面积是（50﹣10﹣x）x＝（﹣x2+40x）m2，花卉C的种植面积是（30﹣x）x＝（﹣x2+30x）m2． 故答案为：（x2﹣80x+1500），（﹣x2+40x），（﹣x2+30x）； （2）根据题意得：300（x2﹣80x+1500）＝400（﹣x2+40x）×2， 整理得：11x2﹣560x+4500＝0， 解得：x1＝10，x2＝＝40（不符合题意，舍去）． 答：当育苗区的边长为10m时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍． （3）∵花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2， ∴x2﹣80x+1500+（﹣x2+40x）≤1100， 解得：x≥10． 设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，则y＝300（x2﹣80x+1500）+400（﹣x2+40x）+500（﹣x2+30x）， ∴y＝﹣600x2+7000x+450000， ∵﹣600＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝， ∴当x≥10时，y随x的增加而减小， ∴当x＝10时，y取得最大值，最大值为﹣600×102+7000×10+450000＝460000（元）． 答：A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值460000元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花卉A，B，C的种植面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． 考点讲练3：代数式求值 【精讲题】（2024春•南浔区期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有　　 ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用图形求得阴影，的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【规范解答】解：小长方形的较短的边长为， 阴影的较长边为，较短边为； 阴影的较长边为． 阴影的较长边与小长方形的较长边相等， 小长方形的较长边为：．小长方形的较短边为：． ①正确； 阴影的较短边和阴影的较短边之和为： ． ②错误； 阴影和阴影的周长和为： ， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． ③正确； 阴影和阴影的面积和为： ， 当时， ， 当时，阴影和阴影的面积和为定值． ④正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影，的长与宽是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•舟山期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为　　 A．15 B．19 C．21 D．23 【思路点拨】先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【规范解答】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ， ， ； 故选：． 【考点评析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，消元是解决本题的关键． 【举一反三练2】（2024春•东坡区期末）电动车厂计划每天平均生产辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负） 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 （1）用含的整式表示本周五天生产电动车的总数； （2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可； （2）5天的生产电动车的总数元超出部分的奖励罚款可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【规范解答】解：（1）； （2）当时，， ， 所以该厂工人这一周的工资总额是52250元． （3）， ， ， 每周计件工资制一周工人的工资总额更多． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，掌握每日计件工资制的计算方法． 【举一反三练3】（2023秋•曾都区期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和4． （1）写出表示阴影部分面积的代数式（结果要求化简）； （2）求时阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分（即和，把对应的三角形面积代入即可得． （2）直接把代入（1）中可求出阴影部分的面积． 【规范解答】解：（1） ； （2）当时， ． 【考点评析】本题考查列代数式．要求对图形间的关系准确把握，找到阴影部分的面积是哪些规则图形的面积差是解题的关键．在考查代数式的同时也考查了学生的读图能力，培养了思维的缜密性和数形结合能力． 考点讲练4：同类项 【精讲题】（2023秋•宣化区期末）单项式与是同类项，则　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】根据同类项的定义“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得答案． 【规范解答】解：因为单项式与是同类项， 所以，， 解得，， 故选：． 【考点评析】本题考查同类项，掌握“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是解决问题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•红安县期中）下列说法：①若与是同类项，则，；②若，则；③若，则；④若，，，则，其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】依次判断选项是否正确即可． 【规范解答】解：由同类项定义可知，，故①错误； 若，当，时，， 当，时，，故②错误； 若，则；故③正确； 若，，，故，，则，故④正确． 故正确的个数是2个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查同类项，绝对值，有理数的加法等知识，熟练掌握有理数的加法是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•山阳县期末）若单项式与是同类项，则的值为 　25　． 【思路点拨】根据同类项的定义求出，，再代入求出答案即可． 【规范解答】解：单项式与是同类项， ，， 解得， ． 故答案为：25． 【考点评析】本题考查的是同类项的含义，熟记同类项的定义是解本题的关键． 【举一反三练3】（2017秋•雁塔区校级期中）若和是同类项，求的值． 【思路点拨】根据和是同类项，列出方程，求出、的值，然后代入求解． 【规范解答】解：和是同类项， ，， ． 【考点评析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的相同字母的指数相同的概念． 考点讲练5：合并同类项 【精讲题】（2023秋•楚雄州期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据合并同类项的方法进行解题即可． 【规范解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•长沙县期末）在数轴上，，两点之间的线段记为；若，两点分别表示数，，那么线段的长度计算公式为：．已知． （1）求的值． （2）如图，点，分别从点，同时出发沿数轴向右运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，当时，点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点从原点与，点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒个单位长度，若在运动过程中处于，之间），的值与运动的时间无关，求的值． 【思路点拨】（1）根据已知条件与绝对值和偶次方的非负性，求出，，再根据两点间的距离公式求出即可； （2）设运动时间为 ，根据，列出方程，解方程求解即可； （3）先表示出点，和所表示的数，进而表示出，和，利用的值与运动时间无关，列出方程，求出即可． 【规范解答】解：（1）， ，， 解得：，， ； （2）设移动时间为 ，分两种情况： ①点在点的右侧， ， ， ， ， ， 点所对应的数为：； ②点在点左侧时， ， ， ， ， ， 点所对应的数为：； 综上可知：点表示的数为9.6或； （3）由题意可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， 结果与无关， ， 解得：． 【考点评析】本题主要考查了数轴表示数的意义和方法，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． 【举一反三练2】（2023秋•沈河区期末）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含的系数为0，即原式，所以，则． （1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【思路点拨】（1）把多项式合并同类项得，由题意得到，即可求出的值； （2）设，由题意得：，，于是，由题意得到，因此． 【规范解答】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ， ； （2）设， 由题意得：，， ， 的值始终保持不变， 的值与无关， ， ． 【考点评析】本题考查合并同类项，代数式求值，关键是掌握合并同类项的法则． 【举一反三练3】（2022秋•顺德区期末）在学习数学的过程中，我们经常要探索一个问题的多种解法，这样不仅有利于拓宽解题思路培养发散思维、构建知识体系增强分析能力、对比多种解法优化解题方案，还是提高数学成绩、培养数学兴趣的重要途径．如：代数式的化简问题． （1）问题提出：先去括号，再合并同类项：； 对（1）的代数式，你还有其它解法吗？若把看成一个整体，则： ． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： （2）尝试应用：化简； （3）拓展运用：已知，，求的值； （4）迁移运用：已知，．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5，一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上沿一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 【思路点拨】（1）去括号、利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可； （3）将原式变形为，再将已知整体代入求解即可； （4）根据已知先求出点、表示的数，由点的运动方向和速度用表示出点、所表示的数，再根据当时，列方程求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ，， 原式 ； （4），， ， ， 点表示的数是2，点表示的数是， 如图： 点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动． 点表示的数是，， 、当点沿正方向运动时，点表示的数是， 若，即：，解得：（不合题意，舍去）或， 、当点沿负方向运动时，点表示的数是， ， 若，即：， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上所述：或时，． 【考点评析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值、数轴上动点问题、解绝对值方程，利用整体代入的思想和分类讨论思想求解是解题的关键． 考点讲练6：．去括号与添括号 【精讲题】（2024•凉州区二模）与相等的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】去括号时，括号前面是负号，去括号后，括号内各项都要改变符号，根据去括号的法则可得答案． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查的是去括号，熟记去括号的法则是解本题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•桐柏县校级月考）下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据去括号与添括号法则逐项分析判断即可． 【规范解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算正确，符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握去括号与添括号法则是关键． 【举一反三练3】（2017秋•鸠江区期中）阅读下面材料： 计算： 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度． 根据阅读材料提供的方法，计算： 【思路点拨】由阅读材料可以看出，100个数相加，用第一项加最后一项可得101，第二项加倒数第二项可得101，，共100项，可分成50个101，在计算时，可以看出共有101个，，，，，共有100个，，，共有50个，根据规律可得答案． 【规范解答】解： ． 【考点评析】此题主要考查了整式的加法，关键是根据阅读材料找出其中的规律，规律的归纳是现在中考中的热点，可以有效地考查同学们的观察和归纳能力． 【举一反三练3】（2016秋•无棣县期中）将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按的降幂排列． 【思路点拨】（1）将式子，分别反过来，得到，，比较即可得到添括号法则； （2）①②利用添括号法则即可求解； ③利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可． 【规范解答】解：（1）将式子，分别反过来， 得到，， 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号； （2）①； ②； ③它是五次四项式，按的降幂排列是． 【考点评析】本题考查了整式的加减，添括号，注意：（1）添括号是添上括号和括号前面的符号．也就是说，添括号时，括号前面的或也是新添的不是原来多项式的某一项的符号移出来的．（2）添括号的添括号与去括号互为逆变形，添括号是否正确，可以用去括号进行检验． 考点讲练7：规律型：数字的变化类 【精讲题】（2023秋•沭阳县校级月考）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【规范解答】解：； ； ， ， ， ， 原式． 故选：． 【考点评析】本题考查数字的变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：． 【举一反三练1】（2024•绍兴开学）点，，，，，为正整数）都在数轴上．点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；，依照上述规律，点，所表示的数分别为　　 A．2024， B．，2025 C．1012， D．，1013 【思路点拨】分别计算，，，所表示的数，得到规律：当奇数个点时是负数，偶数个点时是正数，且奇数点与后面偶数点的数字相同，由此得出结论． 【规范解答】解：点在原点的左边，且，点表示的数是， 点在点的右边，且，点所表示的数是1， 点在点的左边，且，点表示的数是， 点在点的右边，且，点表示的数是2， ， 当奇数个点时是负数，偶数个点时是正数，且奇数点与后面偶数点的数字相同， 为偶数）， 表示的数为1012，， 故选：． 【考点评析】此题考查数字变化类，正确理解规律并解决问题是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•市南区开学）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的 第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是 　32　． 【思路点拨】按照题干操作，列举出第四次操作的结果，再计算即可得解． 【规范解答】解：设每一次操作之后所有数的和为， 第一次操作：1，4，3， ， 第二次操作：1，，4，，3， ， 第三次操作：1，，，，4，，，，3， ， 此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2， 所以， 第四次操作：1，，，，，，，，4，，，，，，，，3， ， 所以经过4次操作后所有数的和是32； 故答案为：32． 【考点评析】本题主要考查了数字规律探究，列举法操作对比数据是解题关键， 【举一反三练3】（2023秋•镇海区校级期中）阅读信息： 信息一：的几何意义是与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数，，，，若，则称和关于的“双倍关系值”为．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： （1）和5关于2的“双倍关系值”为 　8　． （2）若和3关于1的“双倍关系值”为4，求的值； （3）若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为 　　； ②的值为 　　（用含的式子表示）． 【思路点拨】（1）根据“双倍关系值”的定义，求解即可； （2）根据“双倍关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分10种情况计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意得： ， 故答案为：8； （2）由题意得：，即， ， 或， 解得：或， 的值为5或； （3）①和关于1的“双倍关系值”为2， ， 分四种情况： 当，时，，则； 当，时，，则， ； 当，时，，则；即 ； 当，时，，则； 综上，的最大值为6； 故答案为：6； ②分10种情况：同①分类讨论的取值范围， 如第一种情况：当时，，解得，依次分别求得，， ； 同理可求出其余9种情况：当时，； 当时，，解得或3，时，无解，时，得，依次分别求当，得， ； ； ，440，460，， 故答案为：420，440，460，． 【考点评析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“双倍关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． 考点讲练8：规律型：图形的变化类 【精讲题】（2024•阳明区校级开学）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为　　 A．303 B．299 C． D．301 【思路点拨】根据所给图形总结规律即可． 【规范解答】解：第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， 第个图案中基础图形的个数为：， 第100图案中的个数为， 故选：． 【考点评析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律． 【举一反三练1】（2023秋•南康区期末）如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，，以此类推，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】易求得，，再根据，，即可求得，即可解题；根据，易证，，即可发现规律，即可解题． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ，， ，同理， ， 由此可发现规律． ， 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形内角和为的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，考查了角平分线的性质，本题中求得是解题的关键． 【举一反三练2】（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 【思路点拨】根据图形的变换规律，即可得到第⑨个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【规范解答】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； 以此类推， 第个图形中，棋子数量为； 第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：． 【考点评析】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．解决问题的关键是得到第个图形中，棋子数量为． 【举一反三练3】（2022秋•青羊区校级期末）我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，将绕点顺时针旋转度至；第二步，将绕点顺时针旋转度至；第三步，将绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线，则立即绕点反方向旋转．如果，那么等于 　或25　度． 【思路点拨】分情况讨论：当在旋转过程中未碰到直线前，当在旋转过程中碰到直线后，再利用角的和差关系列方程解出即可． 【规范解答】解：分情况讨论： 当在旋转过程中未碰到直线前，如图， 此时， 解得； 当在旋转过程中碰到直线后， 此时分两种情况： 当在的右侧时，如图， 此时，， ， ， 解得； 当在的左侧时，如图， 此时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）， 综上，或25． 故答案为：或25． 【考点评析】本题考查规律探究，角的和差倍分，一元一次方程，弄清题意，合理进行分类讨论是解题的关键． 考点讲练9：整式 【精讲题】（2023秋•东莞市校级期中）下列式子，，，，，中，整式的个数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】根据整式的定义进行判断即可． 【规范解答】解：整式有：，，，，， 故选：． 【考点评析】本题考查整式的定义，熟记单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•建华区校级期中）在式子：，，，，，中，整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【思路点拨】根据单项式和多项式统称为整式，判断即可．数与字母的积叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式的和叫做多项式． 【规范解答】解：在式子：，，，，，中， ，，，是整式， 整式的个数是4个． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式，熟练掌握单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•金水区校级期中）下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C． D．0 【思路点拨】直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【规范解答】解：．是整式，故此选项不合题意； ．是方程，故此选项符合题意； ．是整式，故此选项不合题意； ．0是整式，故此选项不合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 【举一反三练3】（2023秋•衡山县月考）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5） （6），（7），（8），（9）中，整式有 　（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）　个． 【思路点拨】利用整式的定义判断得出即可． 【规范解答】解：（1），（2），（3），（5），（6），（8）都是整式， 故整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）． 故答案为：（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）． 【考点评析】此题主要考查了整式的定义，正确把握整式的定义是解题关键． 考点讲练10：单项式 【精讲题】（2023秋•川汇区期末）单项式的意义可以是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【思路点拨】根据单项式的系数是它的数字因数，进行解答即可． 【规范解答】解：单项式的系数为， 单项式表示的意义是与的积， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了单项式，解题关键是熟练掌握单项式的有关概念． 【举一反三练1】（2023秋•靖宇县期末）在式子：，，，，9，，中，单项式的个数为　　 A．7个 B．4个 C．6个 D．5个 【思路点拨】根据单项式是数字与字母的积，单独的一个数和字母也是单项式，对已知条件中的式子进行判断即可． 【规范解答】解：单项式有：，共5个， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了单项式，解题关键是熟练掌握单项式的概念． 【举一反三练2】（2018春•大庆期末）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【思路点拨】根据数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行分析即可． 【规范解答】解：式子，，，，0.81，0是单项式，共6个， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式定义． 【举一反三练3】（2023秋•天河区期末）请写出一个含有字母，，且次数是5的单项式 　（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据单项式的概念解答即可． 【规范解答】解：这个单项式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 考点讲练11：多项式 【精讲题】（2024•益阳开学）下列说法正确的是　　 A．多项式的常数项是5 B．单项式的系数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是3 【思路点拨】表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【规范解答】解：、多项式的常数项是，原说法错误，不符合题意； 、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是单项式，原说法正确，符合题意； 、单项式的次数是4，原说法错误，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义 【举一反三练1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数有　　 ①若，则； ②若的结果为单项式，则； ③若关于的方程无解，则； ④代数式化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】将、、按要求代入各选项计算即可． 【规范解答】解：①， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，故①错误； ② ， 若为单项式，则， 解得：，故②正确； ③， ， ， ， 方程无解， ， ，故③正确； ④ ， 若， 原式 ， 若， 原式 ， 若， 原式， ， 代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•莱芜区期中）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求的值． 【思路点拨】直接利用多项式的定义得出，，，可求，，，进而代入求出答案． 【规范解答】解：多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1， ， ，解得， ，解得， ． 【考点评析】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式定义得出，，的值是解题关键． 【举一反三练3】．（2020秋•双流区期末）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点，，三个点，且点，，三点所表示的数分别为，，．已知． （1）求，，的值； （2）若动点，分别从，两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）若动点，分别自，出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒，时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点，重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 【思路点拨】（1）代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．则可得，，由，根据数轴可得； （2）由题意可知，可设设点的出发时间为秒，则，，进而可得的值； （3）可设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则有，，，由，可列，进而求得线段的长度． 【规范解答】解：（1）是关于的二次多项式，二次项的系数为， ，； ，，； （2）设点的出发时间为秒，由题意得： ， ； （3）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， ， 或， 或． 【考点评析】本题综合性比较强，考查学生对数轴的理解和线段之间的数量关系的应用，难度相对较大． 考点讲练12：整式的加减 【精讲题】（2024•江北区校级开学）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，的值为0或；③正确的说法有　　个． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】根据依次进行作差、求和的交替操作可知6个一循环，然后再依次判断即可． 【规范解答】解：由题意依次计算可得， ， ， ， ， ， ， ． 以此类推，6个一循环， 当时，， 故①错误， 当时， 则， ， ， 或， 当时，，， 当时，，， 的值为0或， 故②正确， ，，， ，， ， 故③错误． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式的加减、整式以及多项式乘多项式、规律型：数字的变化类，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键． 【举一反三练1】（2023秋•清徐县期末）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的倍为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．小晖发现十位数字是个位数字2倍的两位数都是“喜数”，则的值为　　 A．3 B．7 C．3或7 D．21 【思路点拨】根据“喜数”定义，依据十位数字是个位数字2倍的两位数都是“喜数”，建立等式求出值即可． 【规范解答】解：设个位数字为，则十位数字为，根据题意可得： ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式的加减，理解“喜数”是解答本题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•九龙坡区校级期末）我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则　91　．若，均为“大吉数”，且，，，，且、、均为整数），则的最大值为 　　． 【思路点拨】根据“大吉数的”的定义可分别表示和，再根据“大吉数”的定义可得出，的值，进而可得出结论． 【规范解答】解：整数（其中，且为整数）是“大吉数”，且， 是13的倍数， ，即； 为“大吉数”， ，，，，且、、均为整数）， ， 为13的倍数， ， ； 均为“大吉数”， ， 当时，， 是13的倍数， 当时，，此时； 当时，；此时； 或， ；或， 的最大值为819； 故答案为：91；819． 【考点评析】本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，求出，的值是解题关键． 【举一反三练3】（2023秋•高安市期末）已知多项式 （1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 【思路点拨】（1）先去括号，再合并同类项，得出，，求出即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【规范解答】解：（1） ， 多项式的值与字母的取值无关， ，， ；； （2） ， 当，时，原式． 【考点评析】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 考点讲练13：整式的加减—化简求值 【精讲题】（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则　　． 【思路点拨】先根据“特殊数对”的规定得到、的关系，再化简整式整体代入得结论． 【规范解答】解：是“特殊数对”， ，即． ． ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则，理解“特殊数对”的意义是解决本题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•清河区校级期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　①③　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【思路点拨】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【规范解答】解：（1）， 数对是“和积等数对”， ， ，不是“和积等数对”， ， 数对，是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）是“和积等数对”， ， 解得：； （3） ， 是“和积等数对” ， 原式 ． 【考点评析】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【举一反三练2】．（2023秋•康巴什期末）化简与求值 （1）先化简，并求当，时的值． （2）已知，，求． 【思路点拨】（1）原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值； （2）将与的值代入，去括号合并得到最简结果． 【规范解答】解：（1）原式， 当、时， 原式． （2） ． 【考点评析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•旺苍县期末）当，时，求的值．一名同学做题时，错把看成，但结果也正确，且计算过程无误，求的值． 【思路点拨】原式去括号合并后，由错把看成，但结果也正确，且计算过程无误，得到系数为0，求出的值即可． 【规范解答】解：原式， 由错把看成，但结果也正确，且计算过程无误，得到． 【考点评析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 中等题真题汇编练 1．（2024•弥勒市二模）如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第n个图形的“△”的个数为45个，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 解：第1个图形有1个， 第2个图形有1+2＝3个， 第3个图形有1+2+3＝6个， 第4个图形有1+2+3+4＝10个， ……， 则第n个图形有个， ∴， 解得：n＝9或n＝﹣10（舍）， 故选：C． 2．（2024•重庆模拟）已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，时，若，则或； ④当，时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 解：，， 当，时， ， 说法①不符合题意； ， 当其值与的取值无关时， ，， 解得，， 说法②不符合题意； ， 当，时， ， 或， 解得或， 说法③符合题意； 当，时， ， 当且，即时， 有最小值为7， 说法④符合题意， 故选：． 3．（2023秋•安顺期末）如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图，不重叠地放在一个长为、宽为长方形内（如图，未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是　　． A． B． C． D． 解：如图： 设小长方形卡片的宽为，则，，， ， ， 两块阴影部分的周长和是：， 故选：． 4．（2024•威县校级三模）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2024次输出的结果为　　 A．24 B．12 C．6 D．3 解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是偶数， 第2024次输出的结果为3． 故选：． 5．（2024•绍兴开学）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 　1　的点与数轴上表示2024的点重合． 解：， ， 所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合， 故答案为：1． 6．（2024•洛江区校级开学）王强从家到学校每分钟走米，走了10分钟还剩米，则王强家到学校有 　　米． 解：米， 故答案为：． 7．（2024•鼓楼区校级开学）用1分米长的小棒摆三角形，按图中所示的规律，第25幅图形的周长是 　27　分米． 解：由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3分米；2个三角形组成的图形的周长是3+1＝4分米；3个三角形组成的图形的周长是3+2＝5分米；…那么25个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是：3+24＝27（分米）．故答案为：27． 8．（2024•吴兴区校级开学）如图所示，将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，在2处拐第1个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯⋯拐第20个弯的地方的数是 　111　． 解：令1为第0个弯， 则拐弯处的数字依次为：1，2，3，5，7，10，13，17，21，26，…， 由此可见， 相邻两数的差为：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…， 所以第20个弯的地方的数为：1+2×（1+2+3+…+10）＝111． 故答案为：111． 9．（2024秋•阜阳月考）如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第5个图形有　34　个小圆，第个图形有　　个小圆（用含的代数式表）； （2）能用114个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 解：（1）由图可得，第1个图形小圆的个数为， 第2个图形小圆的个数为， 第3个图形小圆的个数为， 第4个图形小圆的个数为， 第5个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 故答案为：34，； （2）能，理由： ，即， 解得（不合，舍去），， 能用114个小圆摆成这样的图形，摆成的是第10个图形． 10．（2024•绍兴开学）观察下列每组数，找出规律，并回答问题： 第一组：3，，3，，； 第二组：，，，，． （1）第一组数中的第6个数是 　　，第二组数中的第7个数是 　　； （2）试判断这两组数中的第2025个数分别是正数还是负数，并说明理由． 解：（1）第一组奇偶项分别以3，穿插， 第一组数中的第6个数是； 第二组奇偶项分别以负正穿插，分母是2的倍数，分子是2的倍数减1， 第二组数中的第7个数为， 故答案为：，； （2）第一组数中的第2025个数是正数，第二组数中的第2025个数是负数． 11．（2024秋•恩施市校级月考）如图，数轴上，两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若，分别到达，两点，且满足为正整数），我们称，两点完成了一次“准相向运动”． （1），两点之间的距离为 　4　； （2）若，两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，，两点表示的数分别为 　　，　　； ②当为任意正整数时，求，两点表示的数（用含字母的式子表示）． 解：（1）由图得，表示的数为，表示的数为3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）①当时，， ， 表示的数为，表示的数为5， 故答案为：，5； ②设表示的数为，表示的数为， ， ， ，， ，两点表示的数为和． 培优题真题汇编练 12．（2024春•两江新区期末）某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由5颗棋子组成，第二个图形由12颗棋子组成，第三个图形由21颗棋子组成，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是　　 A．78 B．96 C．105 D．108 解：由所给图形可知， 第一个图形用的棋子数量是：； 第二个图形用的棋子数量是：； 第三个图形用的棋子数量是：； 第四个图形用的棋子数量是：； ， 所以第个图形用的棋子数量是个， 当时， （个， 即第八个图形用的棋子数量是96个． 故选：． 13．（2023秋•信宜市期末）如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右，乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右，在第2023拍时，你听到的是　　 A．同样的音“1” B．同样的音“3” C．同样的音“5” D．不同的两个音 解：根据题意可得： 甲锤每4拍一循环，乙锤每6拍一循环， ， 在第2023拍时，甲锤在第506组第3拍，即音“5”， ， 在第2023拍时，乙锤在第338组第2拍，即音“1”， 综上：在第2023拍时，听到“5”和“1”， 故选：． 14．（2024•迎江区校级开学）一个长方体的长、宽、高分别是米、米、米．如果高增加2米，体积比原来增加　　立方米． A． B． C． D． 解：因为该长方体的长、宽、高分别是米、米和米， 如果高增加2米，则体积增加立方米． 故选：． 15．（2023秋•西城区校级期末）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第个图中共有点的个数是 　　． 解：设第个图中共有点的个数为个， 观察图形可得：，，，， ． 故答案为：． 16．（2024•成武县校级开学）一支骑兵在冲锋时摆成“锋矢阵”，第一排有3名士兵，第二排有4名士兵，第三排有5名士兵，当某一排有12名士兵时，后面每一排士兵就不再增加，都是12人．如果这支骑兵冲锋时恰好摆成36排，那么这支骑兵共有 　387　名士兵． 解：由题知， 第一排有3名士兵，第二排有4名士兵，第三排有5名士兵，， 所以第排有名士兵． 当时，， 即第十排有12名士兵， 所以第10排到第36排的每排人数都是12人， 所以（名， 即这支骑兵共有384名士兵． 故答案为：387． 17．（2024•淮滨县开学）一个移动硬盘的存储量是，存储一部电影约需的存储量，存了部电影，这个硬盘还剩　　的存储量；当，，还剩　　的存储量． 解：．当，时， ．故答案为：，472． 18．（2022秋•达川区校级期末）已知多项式的值是7，则多项式的值是　0　． 解：，即， 原式， 故答案为：0 19．（2023•浠水县校级二模）观察数串的规律：，，，，，，，，，，，则第100个位置上排的数是　　． 解：，， 第100个位置上排的数的分母为：，分子为：9． 故第100个位置上排的数是． 故答案为：． 20．（2023春•北碚区期末）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则7241为“3型数”； ，因为，则4635为“型数”．若四位数是“3型数”， 是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，则满足条件的最小四位数的值为 　2442　． 解：为“3型数”， ①， 为“3型数”， ②， 由①②得， 是“型数”， （1）若，则不产生错位， ， ，③， 联立①③得， ， ，即， ，都是整数， 不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， 是“型数”， ， 即④， 联立①④得， ， 将代入， ， 又， ， ， 当最大时，最小，此时，， 最小． 故答案为：2442． 21．（2023秋•大祥区期末）一个正两位数的个位数字是，十位数字比个位数字大2． （1）列式表示这个两位数． （2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被22整除． 解：（1）根据题意得： ， 则这个两位数； （2）这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数是， 新数与原数的和是：， 明新数与原数的和能被22整除． 22．（2023秋•咸安区期末）先化简，再求值：，其中，． 解：原式 ， 当，时，原式． 23．（2023秋•龙山区期末）某学校办公楼前有一长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个直径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． （1）用字母和的式子表示阴影部分的面积； （2）当，，，时，阴影部分的面积是多少？取 解：（1）长方形空地的长为，宽为， 长方形空地的面积， 圆的直径为， 圆的面积， 长方形休息区的长为，宽为， 两块长方形的休息区的面积， 阴影部分的面积； （2）当，，，时， 阴影部分面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$