专题6.3 相交线（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.3 相交线 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1 知识点梳理02：垂线 3 优选题型 考点讲练 5 考点1 相交线 5 考点2 垂线的定义理解 5 考点3 画垂线 6 考点4 垂线段最短 7 考点5 点到直线的距离 8 考点6 对顶角的定义 8 考点7 对顶角相等 9 考点8 邻补角的定义理解 10 考点9 找邻补角 11 考点10利用邻补角互补求角度 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 18 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 易错点拨 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 易错点拨 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 3. 对顶角与邻补角对比： 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 知识点梳理02：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 易错点拨 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 易错点拨 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 易错点拨 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 考点1 相交线 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【变式训练】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·期末）下列说法中： ①若对于任意有理数x，则存在最小值为4； ②如果关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则的值为； ③一条线垂直于两条直线中的一条，则这条直线也垂直于另一条； ④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则的值为5. 其中正确的有（填序号） ． 考点2 垂线的定义理解 【典例精讲】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【变式训练】．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 考点3 画垂线 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）下图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请用无刻度的直尺利用网格，根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点B画直线的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为___________． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期末）如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 考点4 垂线段最短 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考点5 点到直线的距离 【典例精讲】（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·期中）操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 考点6 对顶角的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 考点7 对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【变式训练】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 考点8 邻补角的定义理解 【典例精讲】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）下列语句正确的个数是（     ） ①有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角；④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直：⑤直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；⑥互相垂直的两条线段一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 考点9 找邻补角 【典例精讲】（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点10利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． (1)求、的度数； (2)说明平分． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 4．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 3．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 5．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，于点O，经过点O，，则 ．    7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 9．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 培优拔高 1.如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 5．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，平分，，，则 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 9．（24-25七年级上·四川成都·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 10．（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 相交线 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1 知识点梳理02：垂线 3 优选题型 考点讲练 5 考点1 相交线 5 考点2 垂线的定义理解 7 考点3 画垂线 8 考点4 垂线段最短 11 考点5 点到直线的距离 12 考点6 对顶角的定义 14 考点7 对顶角相等 16 考点8 邻补角的定义理解 18 考点9 找邻补角 20 考点10利用邻补角互补求角度 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔高 34 知识点梳理01：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 易错点拨 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 易错点拨 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 3. 对顶角与邻补角对比： 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 知识点梳理02：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 易错点拨 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 易错点拨 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 易错点拨 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 考点1 相交线 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【思路引导】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7． 【变式训练】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·期末）下列说法中： ①若对于任意有理数x，则存在最小值为4； ②如果关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则的值为； ③一条线垂直于两条直线中的一条，则这条直线也垂直于另一条； ④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则的值为5. 其中正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查垂线、非负数性质、合并同类项和多项式等知识，理解和掌握非负数、同类项和垂线性质是正确判断的前提．逐项进行判断即可． 【规范解答】的意义是：数轴上表示数x的点到表示和3的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为，因此①正确； 由关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则，，因此，所以②正确； 一条线垂直于两条直线中的一条，如果这两条直线不平行，则这条直线就不垂直于另一条，因此③不正确； 在同一平面内，四条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点，即，，有，因此④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 考点2 垂线的定义理解 【典例精讲】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【答案】， 【思路引导】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义及比例的应用，根据题目中的条件，利用角度比例关系和角平分线的性质，计算出和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练】．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 考点3 画垂线 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）下图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请用无刻度的直尺利用网格，根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点B画直线的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】（1）根据线段定义画图即可； （2）根据直线定义画图即可； （3）根据垂线定义画图即可； （4）根据垂线段最短即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：如图，直线即为所求作的直线． （3）解：如图，即为所求． （4）解：因为垂线段最短，所以最短． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了线段、直线的定义、垂线段最短、垂线定义等知识点，熟练掌握线段、直线的定义、垂线段最短性质、垂线定义是解题的关键． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期末）如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查作图，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用垂线的定义，平行线的性质进行画图即可； （2）根据平行线之间的距离相等，利用等面积法进行计算即可． 【规范解答】（1） 解： （2）解：连接， 由题意可知，， 故， 即， ， 故答案为：． 考点4 垂线段最短 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【规范解答】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【思路引导】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【规范解答】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 考点5 点到直线的距离 【典例精讲】（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【规范解答】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·期中）操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】本题主要考查了用尺规做一个角等于已知角，利用网格作垂线以及点到直线的距离的定义，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）连接，用尺规作即可． （2）根据网格即可过C点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；根据点到直线的距离定义即可得到线段的长度是点C到直线的距离； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）①如图所示， 即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：． 考点6 对顶角的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【思路引导】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【思路引导】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【规范解答】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 考点7 对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【思路引导】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【规范解答】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 【变式训练】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【思路引导】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【规范解答】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 考点8 邻补角的定义理解 【典例精讲】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）下列语句正确的个数是（     ） ①有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角；④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直：⑤直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；⑥互相垂直的两条线段一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】此题考查了判断邻补角定义，对顶角定义，垂直定义，点到直线的距离，根据各定义直接判断即可，正确理解各定义是解题的关键 【规范解答】解：①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故错误； ②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角，正确； ③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角，只是其中一种情况，故错误； ④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直，正确； ⑤过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段的长度是这一点到这条直线的距离，故错误； ⑥互相垂直的两条线段一定不相交，故错误； 故选：B 【变式训练】（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【思路引导】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【考点剖析】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 考点9 找邻补角 【典例精讲】（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）根据对顶角和邻补角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得． 【规范解答】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴与互为邻补角， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 由对顶角相等得：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的计数、互补角的概念、角的度数和计算以及线段上点到多个点的距离之和的最值问题，解题的关键是掌握线段计数的方法、互补角的定义、角的和差关系以及利用坐标或线段和差分析距离之和的最值． 【规范解答】解：①以为端点的线段、、、、、共6条，故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②正确； ③由，，根据图形可以求出，故③错误； ④当F在线段上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为故④错误． 因此正确的个数共有2个. 故选：B． 考点10利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． (1)求、的度数； (2)说明平分． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质． （1）根据邻补角的定义，即可求得的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得的度数； （2）根据平分的两部分角的度数即可说明． 【规范解答】（1）解：如图， 因为，， 所以． 又因为是的角平分线，所以， 而， 所以， 即，； （2）解：因为， 所以 ． 所以， 所以平分． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，最后利用角的和与差求得； （2）根据题意设，从而求得，，再根据角平分线的定义得出，最后利用角的和与差可得答案． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； （2）设，则， ∵是直角， ∴，即， 解得，， 即, ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查的是几何图形中的角度计算，角的和与差运算，角平分线的定义． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【规范解答】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【规范解答】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【思路引导】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【规范解答】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 4．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【规范解答】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 5．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 基础夯实 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，由对顶角相等求解，再利用邻补角互补可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【思路引导】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【规范解答】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 3．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 【答案】A 【思路引导】本题考查角度的计算，垂直的定义，根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据，可得答案． 【规范解答】解：∵， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 【答案】 【思路引导】本题考查了垂线的性质、对顶角性质，掌握垂线性质、对顶角相等是解题的关键． 根据题意可知，， ，由垂线定义可得，进而得到，再根据对顶角定义可得，即可得出的度数，最后再计算即可得出答案． 【规范解答】解：， 即 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【规范解答】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，于点O，经过点O，，则 ．    【答案】/50度 【思路引导】本题主要考查对顶角相等及垂线的意义，熟练掌握对顶角相等及垂线的意义是解题的关键；由题意易得，然后根据对顶角相等可进行求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【思路引导】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为 ． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【思路引导】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 培优拔高 1.如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了方向角，角平分线的定义，垂直的定义，熟悉掌握角度的运算是解题的关键． 根据，，是的平分线，求出的度数，即可判断A和B，再求出的度数，通过垂直的定义求出即可判断C和D． 【规范解答】解：∵，，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴射线的方向为北偏东或东偏北，故A和B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向为西偏南或南偏西，故C错误，D正确； 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 3．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的计算，角的和差计算，垂直的定义，邻补角等知识点． 先由垂直，则，再由角平分线得到，最后根据邻补角求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 4．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【思路引导】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【规范解答】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【考点剖析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 5．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【思路引导】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】/度 【思路引导】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【规范解答】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，平分，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． 先根据角平分线的定义可得，根据邻补角的定义求出的度数，再根据即可得． 【规范解答】解：∵平分，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【思路引导】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【规范解答】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 9．（24-25七年级上·四川成都·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【思路引导】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 10．（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $