4.3 用一元一次方程解决问题（知识精讲+易错点拨+13个考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第4章《一元一次方程》】 4.3 用一元一次方程解决问题 （知识精讲+易错点拨+13个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 2 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 4 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 4 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 5 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 6 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 8 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 9 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 11 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 12 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 14 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 15 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 16 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 高频易错知识点拨 易错知识点01：设立未知数时的错误 在设立未知数时，学生可能会选择错误的量作为未知数，或者未能明确未知数的具体含义，导致后续步骤出现错误。 易错知识点02：列方程时的错误 在根据实际问题列方程时，学生可能会错误地理解问题中的关系，或者未能准确地将实际问题转化为数学问题，导致列出的方程不正确。 易错知识点03：解方程时的错误 在解方程的过程中，学生可能会因为计算错误、移项错误、合并同类项错误等原因，得到错误的解。 易错知识点04：对解的实际意义理解不足 学生可能只关注于数学上的解，而忽略了这个解在实际问题中的意义。例如，在解决实际问题时，得到的解可能是负数，但在实际情况下这个负数可能没有实际意义。 易错知识点05：忽视单位或量纲的一致性 在设立未知数和列方程时，学生可能会忽视单位或量纲的一致性，导致得到的解在实际问题中没有意义。 易错知识点06：忽视问题的实际背景 在解决问题时，学生可能会忽视问题的实际背景，只关注数学计算，导致得到的解在实际问题中不合理或没有意义。 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（2022·四川达州·模拟预测）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【举一反三练1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【行程问题】甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程与跑步时间之间的关系如图所示，据图解答下列问题： (1)甲长跑训练时的速度是________． (2)当跑到第15分钟时，两人相距________米． (3)两人相距500米时，他们跑了________分钟． 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）某车间有名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓个或螺母个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 【举一反三练2】（22-23七年级上·广西钦州·阶段练习）某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程． (1)甲、乙还需要合作多少天完成？ (2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数． 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲题】（22-23七年级上·安徽合肥·期末）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西桂林·开学考试）玲玲在，两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．周末玲玲上街，恰好赶上商家促销，超市所有的商品打八折销售，超市全场购物满元返元购物券（单价不足元不返券，购物券全场通用并当天抵扣），但她只带了元钱，若两家都可以选择，在哪一家购买比较省钱？为什么？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元． (1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？ (2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？ 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人都要比赛一场．到现在为止，小明已经比赛了4场，甲赛了3场，乙赛了2场，丁赛了1场，那么丙赛了( )场． 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）某学校举行数学竞赛，共有12道题，规定每做对1题得9分，做错题倒扣3分，而且不能不做．王刚得了84分，他做错了几道题？ 【精讲题】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·全国·单元测试）把个正整数，，，，…，按如图方式排列成如图所示的数的方阵． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则从小到大依次是 ， ， ； (2)当（1）中被框住的个数之和等于时，的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的个数，使它们的和等于或等于？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置．公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的． (1)设第一次改装的出租车为辆，试用含的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费． (2)若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？ (3)若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余款的贷款年利率为，问：第几年公司需还款6万元？ 【举一反三练2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？ (1)设小和尚有x人，请根据题意列方程； (2)设大和尚有y人，请根据题意列方程； (3)请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？ 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）分段计费某地居民生活用电基本价格是每千瓦时a元，若每月用电量超过120千瓦时，则超出部分按每千瓦时b元计费．小明家8月份用电115千瓦时，交电费69元；9月份用电140千瓦时，交电费94元． (1)求a、b的值． (2)若小明家12月份所交付的电费为83元，问：他家12月份的用电量为多少千瓦时？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【举一反三练1】（2024七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·河南·开学考试）在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精含量分别占、和，已知三酒精溶液的总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量，三缸溶液混合，酒精含量将达到，那么丙缸中纯酒精的量是 千克． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南商丘·期末）小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满 150 元，减24元；消费满300元，减48 元……以此类推 B套餐 1份盖饭杯饮料 28 C套餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次点好． 已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B套餐；（用含 x的代数式表示） (2)若他们点餐优惠后共花费264元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南郑州·开学考试）某校召开春季运动会，甲、乙两班学生到超市买某品牌矿泉水．超市的销售方法如下：购买不超过30瓶，按零售价销售，每瓶3元；购买超过30瓶但不超过50瓶，按零售价的八折销售；购买超过50瓶，按零售价的六折销售．甲班分两天两次共购买矿泉水70瓶（第二天多于第一天）共付183元，而乙班则一次购买70瓶． (1)甲、乙两班哪个班花钱多？多花多少元？ (2)甲班第一天、第二天分别购买多少瓶？ 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（     ） A．2024 B．2023 C．674 D．673 2．（22-23七年级上·四川达州·期末）超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某市推行农村合作医疗制度后，农民每年每人只需拿出 120元钱就可以享受的合作医疗如下表： 住院费 不超过元部分 元 元 元元 元元 超过元 报销率 某人住院费报销了805元，则花费了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25七年级上·河南南阳·开学考试）用小棒按照下图方式摆图形． （1）摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，摆个六边形，需要( )根小棒． （2）有101根小棒，可以摆( )个这样的六边形． 5．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲、乙、丙三人参加一次考试，甲、乙两人平均分比三人平均分多分，乙、丙两人平均分比三人平均分少分，已知乙得了94分，那么丙得了 分． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一批水果用了四天卖完，第一天卖出千克，第二天卖出余下的，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有 千克． 8． （21-22七年级上·全国·单元测试）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过，按元收费，超过的部分按元收费，王老师家月份平均水费为元，王老师家月份用水多少立方米？ 9．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 11．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 14．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）著名的古希腊数学家刁藩都的生平历史几乎没有记载保留下来，后人仅从他很特别的墓志铭中略为知道一些，他的墓志铭是这样写的：“过路人，这里埋着刁藩都的骨灰，下面的数目可以告诉您，他的寿命究竟有多长：他生命的六分之一是幸福的童年．他生命的十二分之一，长起了细细的胡须．刁藩都结了婚，可是还不曾有孩子，这样度过一生的七分之一．再过五年，他得了头胎儿子，感到幸福．可是这孩子在这世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半．打从儿子死后，这老头在深深的悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯．请问您，刁藩都活到多少岁才和死神见面？（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 15．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）在一个长24分米，宽9分米，高8分米的长方体容器中加入4分米深的水，然后放一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了 分米． 17．（22-23七年级上·山西吕梁·期末）按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）某商场以每件720元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，该商场卖出这两件衣服共盈利 元． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 20．（19-20七年级上·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 21．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是750毫升．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）．问：瓶内现有饮料多少毫升？ 22． （24-25七年级上·四川成都·开学考试）一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 23．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第4章《一元一次方程》】 4.3 用一元一次方程解决问题 （知识精讲+易错点拨+13个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 2 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 5 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 7 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 9 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 11 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 12 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 16 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 18 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 22 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 25 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 27 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 29 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 32 中等题真题汇编练 35 培优题真题汇编练 42 新知精讲梳理 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 高频易错知识点拨 易错知识点01：设立未知数时的错误 在设立未知数时，学生可能会选择错误的量作为未知数，或者未能明确未知数的具体含义，导致后续步骤出现错误。 易错知识点02：列方程时的错误 在根据实际问题列方程时，学生可能会错误地理解问题中的关系，或者未能准确地将实际问题转化为数学问题，导致列出的方程不正确。 易错知识点03：解方程时的错误 在解方程的过程中，学生可能会因为计算错误、移项错误、合并同类项错误等原因，得到错误的解。 易错知识点04：对解的实际意义理解不足 学生可能只关注于数学上的解，而忽略了这个解在实际问题中的意义。例如，在解决实际问题时，得到的解可能是负数，但在实际情况下这个负数可能没有实际意义。 易错知识点05：忽视单位或量纲的一致性 在设立未知数和列方程时，学生可能会忽视单位或量纲的一致性，导致得到的解在实际问题中没有意义。 易错知识点06：忽视问题的实际背景 在解决问题时，学生可能会忽视问题的实际背景，只关注数学计算，导致得到的解在实际问题中不合理或没有意义。 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（2022·四川达州·模拟预测）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【答案】(1)后队追上前队需要2小时 (2)20千米 (3)前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设后队追上前队需要x小时，根据路程速度时间列方程求解即可； （2）根据（1）所求结合路程速度时间进行求解即可； （3）分当后队没有出发时，两队相距2千米时，当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，当后队超过前队时，两队相距2千米时，三种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：设后队追上前队需要x小时， 由题意得，， 解得， 答：后队追上前队需要2小时； （2）解：千米， 答；后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米； （3）解：设前队出发t小时时，两队相距2千米 当后队没有出发时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 综上所述，前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米． 【举一反三练1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40 (2) 【思路点拨】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【规范解答】（1）解：M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【行程问题】甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程与跑步时间之间的关系如图所示，据图解答下列问题： (1)甲长跑训练时的速度是________． (2)当跑到第15分钟时，两人相距________米． (3)两人相距500米时，他们跑了________分钟． 【答案】(1)250米/分钟 (2) (3)10或分钟 【思路点拨】（1）运用路程除以时间等于速度，即可作答． （2）先算出第15分钟时的甲的路程，再结合图中第15分钟时乙的路程，列式计算，即可作答． （3）分类讨论，甲在前乙在后或者甲在后乙在前，然后列式计算，即可作答． 本题考查了行程问题(一元一次方程的应用)，有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握路程，时间，速度三者之间关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：依题意，（米/分钟） 故答案为：250米/分钟 （2）解：甲跑的路程：（米） 此时图中的乙跑的路程：（米） ∴（米） ∴当跑到第15分钟时，两人相距750米； 故答案为：； （3）解：结合图中信息，时间在15分钟内，则（米/分钟） 时间在15分钟到20分钟内，（米/分钟） 设他们跑了分钟两人相距500米时， ∴从起点跑向终点过程，时间在15分钟内，甲在前乙在后， 则 解得 ∴从起点跑向终点过程，15分钟到20分钟内，甲在后乙在前， 则 解得 综上：两人相距500米时，他们跑了10或分钟 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【规范解答】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）某车间有名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓个或螺母个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 【答案】生产螺栓有人，则生产螺母的有人． 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．先设分配人生产螺栓，则有人生产螺母，根据人生产的螺栓数人生产螺母数，由等量关系列出方程即可． 【规范解答】解：设生产螺栓有人，则生产螺母的有人。 解得， ∴， 答：生产螺栓有人，则生产螺母的有人． 【举一反三练2】（22-23七年级上·广西钦州·阶段练习）某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意得，， 解得， ， 答：应分配人生产桌面，人生产桌腿． 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【答案】3天 【思路点拨】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙队各自完成的工作量是解题的关键． 将工程的工作量看作“1”，则工程的工作量为，设甲乙丙三队完成、两项工程用了天，则，求得，设丙队与甲队合做了天，则，解方程求出的值即可． 【规范解答】解：设甲乙丙三队完成、两项工程用了天， 根据题意得， 解得， 设丙队与甲队合做了天， 根据题意得， 解得， 答：丙队与甲队合做了3天． 【举一反三练1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？ 【答案】修好这条公路一共需要75天完成． 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出方程成为解题的关键． 由题意可知甲、乙两工程队的工作效率分别为，设修好这条公路共需要y天，根据工作总量是单位“1”列出方程即可求解． 【规范解答】解：设修好这条公路共需要y天， 由题意可得：，解得：． 答：修好这条公路一共需要75天完成． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程． (1)甲、乙还需要合作多少天完成？ (2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数． 【答案】(1)甲、乙还需要合作30天完成 (2)甲队工作20天 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设甲、乙还需要合作天完成，根据“甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即可求解； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为，根据“支付工程队总费用元”列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲、乙还需要合作天完成， 由题意得，， 解得：， 答：甲、乙还需要合作18天完成； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为， 由题意得，， 解得：， 答：甲队工作20天． 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲题】（22-23七年级上·安徽合肥·期末）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西桂林·开学考试）玲玲在，两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．周末玲玲上街，恰好赶上商家促销，超市所有的商品打八折销售，超市全场购物满元返元购物券（单价不足元不返券，购物券全场通用并当天抵扣），但她只带了元钱，若两家都可以选择，在哪一家购买比较省钱？为什么？ 【答案】超市省钱，理由见解析 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，设书包单价元，则随身听元．根据随身听和书包单价之和是元列方程，解方程求出书包单价和随身听的单价，再分别计算两个超市的费用，比较即可． 【规范解答】解：在超市购买比较省钱．理由如下： 设书包单价元，则随身听元． 元 超市：（元） 超市：（张）（元） （元） （元） 在超市购买比较省钱． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元． (1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？ (2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？ 【答案】(1)甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元 (2)乙种商品每件的进价是800元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题是关键是： （1）设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元．再根据等量关系“参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元，”建立方程，即可解题； （2）设乙种商品每件的进价是m元，根据“这次促销活动中乙种商品仍可获利” 建立方程，即可解题． 【规范解答】（1）解：设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元； （2）解：设乙种商品每件的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 答：乙种商品每件的进价是800元． 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【规范解答】解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：，即这个队胜了5场． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人都要比赛一场．到现在为止，小明已经比赛了4场，甲赛了3场，乙赛了2场，丁赛了1场，那么丙赛了( )场． 【答案】2 【思路点拨】本题考查数据分析推理，每两人要比赛一场，每个人最多比赛4场，据此分析推断即可． 【规范解答】小明赛了4场，则小雨分别跟甲、乙、丙、丁各赛一场 所以丁赛了1场就是跟小明比赛的， 从而甲赛了3场是跟小明、乙、丙比赛的 又因为乙赛了2场： 综上所述，丙赛了2场，分别是跟小明和甲比赛的 答：丙赛了2场 故答案为：2． 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）某学校举行数学竞赛，共有12道题，规定每做对1题得9分，做错题倒扣3分，而且不能不做．王刚得了84分，他做错了几道题？ 【答案】他做错了2道题 【思路点拨】此题重点考查一元一次方程的应用，设他做错了x道题，则做对了道题，他的实际得分可表示为分，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【规范解答】解：设他做错了x道题， 根据题意得， 解得， 答：他做错了2道题． 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 【举一反三练1】（22-23七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)1000，960 (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外10盒乒乓球在乙店购买即可． 【规范解答】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为元， 在乙店购买球拍和球的总费用为元， 故答案为：1000，960； （2）设学校计划购买乒乓球盒， 由题意得： 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需元， 在乙店购买另外10盒乒乓球需元， 总费用为元， 答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【规范解答】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·全国·单元测试）把个正整数，，，，…，按如图方式排列成如图所示的数的方阵． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则从小到大依次是 ， ， ； (2)当（1）中被框住的个数之和等于时，的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的个数，使它们的和等于或等于？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)不能，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【规范解答】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第行第个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于，则 ， 解得， 因为它不是整数，不符合题意， 因而不能． 假设能框住这样的个数，它们的和等于，则 ， 解得， 因为是第行最后一个数， 所以，，，不在同一个正方形框内， 所以不符合题意， 因而不能． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 【答案】(1)11 (2)“标准数”为68． 【思路点拨】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、新定义问题的求解等知识与方法，正确地理解定义并且用代数式表示出原数和新数是解题的关键． （1）将92对调个位数字与十位数字得到的新两位数是29，根据定义，，则； （2）“标准数”的十位数字是，个位数字是，则原两位数是，新两位数是，根据原两位数与新两位数的和一定是11的倍数列方程求出的值，再求出的值，即可求出“标准数”． 【规范解答】（1）解：当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数29， ， ， ， 故答案为：11； （2）解：根据题意得， 解得， ， 标准数为68． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为，根据第三个数比第一个数与第五个数的和的多18列出方程求解即可． 【规范解答】解：设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为， 由题意得，， 解得， 所以这五个偶数分别为， 所以这五个偶数的和为， 答：这五个偶数的和为． 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)36 (2)①，；②；③5秒或7秒 (3)单位长度秒或2单位长度秒 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中的等量关系熟练应用方程解决问题是解题的关键． （1）根据数轴直接计算即可； （2）①根据运动规律直接用代数式表示即可； ②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可； ③分点在点左右两侧两种情况，列方程计算即可； （3）根据和在点和点两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可． 【规范解答】（1）解：由数轴知，、两点间的距离为， 故答案为：36； （2）①由题知点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，； ②当、两点相遇时，， 解得， 即点在数轴上对应的数是， 故答案为：； ③由题意，在左侧时，得， 解得， 在右侧时，， 解得， 、相距6个单位长度时的值为5秒或7秒； （3）①当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：， 此时点的运动速度为：单位长度秒， ②当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：36， 此时点的运动速度为：单位长度秒， 综上，点的运动速度为单位长度秒或2单位长度秒． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或27 【思路点拨】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键． （1）根据平角的概念求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意分还没追上和追上后两种情况讨论，然后分别列出一元一次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得； （3）解：当还没追上时，， 解得； 当追上后，， 解得； 综上所述，或27． 【举一反三练2】（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 【答案】(1)①，理由见解析；②； (2)． 【思路点拨】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可； （2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可． 【规范解答】（1）解：①， ∵， ∴； ②设，则， ∴， ∴，， ∴； （2）∵分别平分与， ∴， ∴． 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【答案】656人 【思路点拨】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【规范解答】解：设这个工厂原有男工x人， 根据题意得：， 解得， 答：这个工厂原有男工656人． 【举一反三练1】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置．公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的． (1)设第一次改装的出租车为辆，试用含的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费． (2)若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？ (3)若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余款的贷款年利率为，问：第几年公司需还款6万元？ 【答案】(1)改装后的车辆每天的燃料费为元 (2)该公司两次共改装了40辆出租车 (3)第12年公司需还款6万元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． （1）根据已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，列出代数式即可求解； （2）可设该公司两次共改装了辆出租车，根据公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，列出方程求解即可； （3）设第年公司需还款7万元，先计算出改装的总费用为84万，第一年还款14万后还剩70万，根据每年比上一年少5万列方程，然后解方程即可． 【规范解答】（1）解： （元） 答：改装后的车辆每天的燃料费为元． （2）解：设该公司两次共改装了辆出租车，根据题意，得 ， ， 答：该公司两次共改装了40辆出租车． （3）解：（万元） （万元） 设第年公司需还款6万元，根据题意，得 ， 解得． 答：第12年公司需还款6万元． 【举一反三练2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？ (1)设小和尚有x人，请根据题意列方程； (2)设大和尚有y人，请根据题意列方程； (3)请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？ 【答案】(1) (2) (3)大和尚25人，小和尚75人 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设小和尚有x人，则大和尚有人，再根据大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头列出方程即可； （2）设大和尚有y人，则小和尚有人，再根据大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头列出方程即可； （3）分别解（1）和（2）所列方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 由题意得，； （2）解：设大和尚有y人，则小和尚有人， 由题意得，； （3）解：解方程得， ∴； 解方程得， ∴； 答：大和尚25人，小和尚75人． 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）分段计费某地居民生活用电基本价格是每千瓦时a元，若每月用电量超过120千瓦时，则超出部分按每千瓦时b元计费．小明家8月份用电115千瓦时，交电费69元；9月份用电140千瓦时，交电费94元． (1)求a、b的值． (2)若小明家12月份所交付的电费为83元，问：他家12月份的用电量为多少千瓦时？ 【答案】(1)， (2)130千瓦时 【思路点拨】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据8、9月份的用电量及所交电费可得出一元一次方程，解出即可； （2）先判断出是否超过千瓦时，然后列方程计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，，解得： ，解得：． （2）用电量为120度时需要交电费72元，， 设该用户7月份用电量为x千瓦时，则， 由题意得，， 解得：， 答：若12月份所交付的电费为83元，该用户用电量为130千瓦时． 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【思路点拨】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． 【答案】(1)①　② (2)小明家七月份用水22 ，八月份用水28 【思路点拨】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）根据不超过时，直接利用单价乘以数量计算即可，根据超过，利用分段收费的单价与数量列式计算即可； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水，由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过．再根据总费用为208元，再建立方程求解即可. 【规范解答】（1）解：①当月用水量不超过时，应收水费元； ②当月用水量超过时，应收水费 元． 故答案为：； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水， 由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过． 根据题意，得， 解得， 则． 答：小明家七月份用水，八月份用水． 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【思路点拨】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【规范解答】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【规范解答】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 【举一反三练2】（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 【答案】(1)七年级（1）班有男生人、女生人； (2)男生共需要小时． 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）设七年级（1）班有男生有人，则女生有人，再利用全班共48人建立方程求解即可； （2）设男生共需要小时，再由各部分的工作量之和等于1建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设七年级（1）班有男生有人，则女生有人， ∴， 解得：； ∴， 答：七年级（1）班有男生人、女生人； （2）设男生共需要小时，则 ， 解得：； 答：男生共需要小时． 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． 【规范解答】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∵a必须为整数， ∴这5个数的和不能等于68． 【举一反三练1】（2024七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【答案】(1)方框中的9个数的和是中间的数的9倍 (2)右下角的数是58；过程见解析 【思路点拨】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． （1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）可设中间的数为x,根据（1）中规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）， ， 方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）设中间的数为，则其它8个数分别是：，依题意有 ， 解得， ． 右下角的数是58． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【思路点拨】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·河南·开学考试）在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精含量分别占、和，已知三酒精溶液的总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量，三缸溶液混合，酒精含量将达到，那么丙缸中纯酒精的量是 千克． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了百分数的应用，一元一次方程的应用；根据题意易得甲缸酒精溶液的量乙缸酒精溶液的量丙缸酒精溶液的量千克，从而可设丙缸中酒精溶液的量是千克，则乙缸中酒精溶液的量是千克，然后根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙，丙两缸酒精溶液的总量， 甲缸酒精溶液的量乙缸酒精溶液的量丙缸酒精溶液的量千克， 设丙缸中酒精溶液的量是千克，则乙缸中酒精溶液的量是千克， 由题意得：， 解得：， 丙缸中纯酒精的量千克， 丙缸中纯酒精的量是千克， 故答案为：12． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南商丘·期末）小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满 150 元，减24元；消费满300元，减48 元……以此类推 B套餐 1份盖饭杯饮料 28 C套餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次点好． 已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B套餐；（用含 x的代数式表示） (2)若他们点餐优惠后共花费264元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【答案】(1) (2)他们点了5份A套餐，1份B套餐，5份C套餐，或者他们点了2份A套餐，4份B套餐，5份C套餐 【思路点拨】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，分两种情况，分别列出一元一次方程，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：他们共点了份套餐； （2）解：根据题意得：他们点了份套餐，份套餐，5份套餐， 当消费满150元但不满300元时，， 解得：， ∴，，    ∴他们点了5份套餐，1份套餐，5份套餐       当消费满300元时，， 解得：， ∴，， ∴他们点了2份套餐，4份套餐，5份套餐，    所以他们点了5份套餐，1份套餐，5份套餐，或者他们点了2份套餐，4份套餐，5份套餐． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南郑州·开学考试）某校召开春季运动会，甲、乙两班学生到超市买某品牌矿泉水．超市的销售方法如下：购买不超过30瓶，按零售价销售，每瓶3元；购买超过30瓶但不超过50瓶，按零售价的八折销售；购买超过50瓶，按零售价的六折销售．甲班分两天两次共购买矿泉水70瓶（第二天多于第一天）共付183元，而乙班则一次购买70瓶． (1)甲、乙两班哪个班花钱多？多花多少元？ (2)甲班第一天、第二天分别购买多少瓶？ 【答案】(1)57元 (2)甲班第一天购买25瓶矿泉水，第二天购买45瓶矿泉水 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，难点在第二问，应抓住两个定量：总瓶数和总价钱．然后根据第一天买的瓶数少于第二天买的瓶数分情况进行分析． （1）乙班花费可按总价×60%计算，然后跟甲班的183元比较． （2）前一天买的瓶数少于后一天买的瓶数．总数为70瓶，应分情况讨论①前一天买的不超过30瓶，第二天买的超过50瓶． ②前一天买的不超过30瓶，第二天买的超过30瓶但不超过50瓶 ③两天购买的瓶数都是超过30瓶但不超过50瓶． 等量关系为：第一天买的总价钱+第二天买的总价钱=183，结果不为整数，或不合题意的要舍去． 【规范解答】（1）解：甲班花费：183（元）； 乙班花费：（元） （元） 答：甲班花钱多，多花57元． （2）解：设甲班第一天购买x瓶矿泉水， 依题意可分为三种情况： ①前一天买的不超过30瓶，第二天买的超过50瓶， 依题意得： 解得：（不符题意，舍去） ②前一天买的不超过30瓶，第二天买的超过30瓶但不超过50瓶， 依题意得：， 解得：； ， ③两天购买的瓶数都是超过30瓶但不超过50瓶． 依题意得： 此方程无解， 综上可知，甲班第一天购买25瓶矿泉水，第二天购买45瓶矿泉水． 答：甲班第一天购买25瓶矿泉水，第二天购买45瓶矿泉水． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（     ） A．2024 B．2023 C．674 D．673 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了图形规律的变化，先根据图形得出阴影小正方形的变化规律，进而得出答案． 【规范解答】第一个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5个，； 第二个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，； 第三个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，； 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为， 解得． 故选：C． 2．（22-23七年级上·四川达州·期末）超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 盈利的一台的进价为元，利用利润率的意义列出方程，解得；再设亏本的一台的进价为元，同样列出方程，解得，即可求解． 【规范解答】解：设盈利的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 设亏本的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 因为（元）， 所以在这次买卖中超市亏了元． 故选：B． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某市推行农村合作医疗制度后，农民每年每人只需拿出 120元钱就可以享受的合作医疗如下表： 住院费 不超过元部分 元 元 元元 元元 超过元 报销率 某人住院费报销了805元，则花费了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用．解题时首先计算表中在各个住院的费用段报销的最大数额，从而确定这个人住院费的范围，然后根据报销的方法，列出方程解决即可． 【规范解答】解：报销金额为：元、元、元，元元元元，元元，所以花费总钱数小于元且大于元． 设可报销率为的住院费花去了元， ∴， 解得， ∴住院费报销了元，则花费的总钱数为：元． 故选． 4．（24-25七年级上·河南南阳·开学考试）用小棒按照下图方式摆图形． （1）摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，摆个六边形，需要( )根小棒． （2）有101根小棒，可以摆( )个这样的六边形． 【答案】 16 / 20 【思路点拨】本题考查找规律，一元一次方程的应用，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据题干图形得到需要的小棒规律，即可解题； （2）根据（1）中规律列出一元一次方程求解，即可解题． 【规范解答】解：（1）根据图形可知，摆1个六边形，需要根小棒， 摆2个六边形，需要根小棒， 摆3个六边形，需要根小棒， 依次类推， 摆个六边形，需要根小棒， 故答案为：，． （2）由题知，， 解得， 故答案为：20． 5．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲、乙、丙三人参加一次考试，甲、乙两人平均分比三人平均分多分，乙、丙两人平均分比三人平均分少分，已知乙得了94分，那么丙得了 分． 【答案】85 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设三人的平均分为x分，则甲的得分为分，丙的得分为分，再根据平均分的计算公式列出方程求解即可． 【规范解答】解：设三人的平均分为x分， 由题意得，， 解得， 所以， 所以丙得了85分， 故答案为：85． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查一元一次方程和实际应用，设乙出发天甲乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【规范解答】解：设乙出发天甲乙相遇， 根据题意得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一批水果用了四天卖完，第一天卖出千克，第二天卖出余下的，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有 千克． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，设这批水果有x千克，根据前两天卖出的水果是这批水果的一半列方程，并解方程即可． 【规范解答】解：设这批水果有x千克， 则 解得， 即这批水果有千克． 故答案为： 8．（21-22七年级上·全国·单元测试）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过，按元收费，超过的部分按元收费，王老师家月份平均水费为元，王老师家月份用水多少立方米？ 【答案】王老师家三月份用水20吨 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设王老师家三月份用水x吨，根据水费超出10吨的部分及水费=每吨均价×用水数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设王老师家三月份用水x吨， 依题意，得：， 解得：． 答：王老师家三月份用水20吨． 9．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【思路点拨】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 11．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件 【思路点拨】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）元，元， ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， ∵元， ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， 故答案为：48；80；亏损； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． 设买羊的人数为x人，根据羊的价格不变，列出方程即可． 【规范解答】解：设买羊的人数为x人， 根据题意，可列方程为， 故选：D． 13．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【思路点拨】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 14．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）著名的古希腊数学家刁藩都的生平历史几乎没有记载保留下来，后人仅从他很特别的墓志铭中略为知道一些，他的墓志铭是这样写的：“过路人，这里埋着刁藩都的骨灰，下面的数目可以告诉您，他的寿命究竟有多长：他生命的六分之一是幸福的童年．他生命的十二分之一，长起了细细的胡须．刁藩都结了婚，可是还不曾有孩子，这样度过一生的七分之一．再过五年，他得了头胎儿子，感到幸福．可是这孩子在这世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半．打从儿子死后，这老头在深深的悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯．请问您，刁藩都活到多少岁才和死神见面？（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设刁藩都活到岁才和死神见面，根据题意列出方程，然后求解即可，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． 【规范解答】解：设刁藩都活到岁才和死神见面， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 15．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【规范解答】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）在一个长24分米，宽9分米，高8分米的长方体容器中加入4分米深的水，然后放一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了 分米． 【答案】0.8 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据题意可知，正方体铁块没入水的体积水面上升的水的体积，然后列出方程，再求解即可．解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，注意铁块的高度大于水的高度，正方体铁块没入水的体积水面上升的水的体积，并不是铁块的体积水面上升的水的体积，这是一道易错题． 【规范解答】解：设水位上升了分米， 由题意可得：， 解得， 即水位上升了分米， 故答案为：0.8． 17．（22-23七年级上·山西吕梁·期末）按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 【答案】或或5 【思路点拨】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，弄清题中的程序框图是解本题的关键． 根据程序计算，即可得到满足题意得a的值． 【规范解答】解：若直接输出结果为16，则，解得； 若一次循环后输出结果为16，则，解得； 若两次循环后输出结果为16，则，解得； 若三次循环后输出结果为16，则，解得不符合题意； 综上，满足条件的正数a为或或5． 故答案为：或或5 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）某商场以每件720元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，该商场卖出这两件衣服共盈利 元． 【答案】40 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系进价利润率售价的运用，根据条件建立方程是解答的关键．设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元，由进价利润率售价建立方程求出其解即可． 【规范解答】解：设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元， 由题意，得 ，， 解得：，， ∴总共进价为元． ∵售价为：元． ∴元． ∴该商店卖出这两件衣服共盈利40元． 故答案为：40． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 【答案】750 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，设市到市相距千米，根据从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市，得到，两市相距千米，再根据到中午只行驶了上午原计划的三分之一，以及到傍晚汽车行驶了500千米，且再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设市到市相距千米，由题意，得：，两市相距千米， 根据题意，得：， 解得：， ∴， ∴，两市相距750千米； 故答案为：750． 20．（19-20七年级上·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)； (2)5； (3)． 【思路点拨】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据的距离和点A表示的数即可求出结论； （2）先求出的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论； （3）先求出的长，然后求出点P遇上点的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧 ∴点C表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点C表示的数为 ∴ 由题意可得 解得： 答：当时，P，R两点会相遇； （3）解：由题意可得： 点P遇上点的时间为：（秒） 此时点P与点Q的距离为 ∴P、Q的相遇时间为（秒） ∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度 答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度． 21．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是750毫升．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）．问：瓶内现有饮料多少毫升？ 【答案】瓶内现有饮料600毫升 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程．设瓶内溶液的体积为x毫升，则空余部分的体积为毫升，根据瓶子的容积为750毫升，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设瓶内溶液的体积为x毫升，则空余部分的体积为毫升，依题意， 得：， 解得：． 答：瓶内现有饮料600毫升． 22．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 【答案】乙在静水中的划船速度为每小时10千米 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离， 同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答． 【规范解答】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米， ， 解得：， 答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米． 23．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 【答案】(1)，，，见解析 (2)或2 (3)运动2秒后，点P 可以追上点Q 【思路点拨】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 故答案为：或2． （3）解：根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 又A起始数为，B起始数为， 根据题意，得， 解得． 【考点评析】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用之追及问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$