专题03 幂、指数与对数（七大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题03 幂、指数与对数（七大题型+优选提升题） 有理指数幂、根式 1．（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 4．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 6．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 7．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，，化简： . 8．（21-22高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，化简 . 指数式与对数式互化 10．（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 11．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 13．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知，那么=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 对数及其运算性质 15．（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 16．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 17．（20-21高一上·上海徐汇·期中）设，则下列运算中正确的是（  ） A．； B．； C．； D．. 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 换底公式，指数幂、对数综合运算 21．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，试用、表示 ． 23．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 ． 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，则a，b表示 ． 25．（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 26．（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： .（其中，） 27．（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 指数幂与对数的综合应用 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则的值为 ． 29．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 30．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若，则m的值为 ． 31．（22-23高一上·上海宝山·期中）给出下列四个命题： （1）当时，； （2）当且时，； （3）设是方程的两个根，则； （4）设，若关于的方程的解集为，则且． 其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 最值、取值范围问题 32．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 33．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 34．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 35．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 题型07 实际应用、解答综合题 36．（23-24高三上·上海浦东新·期中）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 37．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 38．（20-21高一上·上海静安·期中）若，用表示 39．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 40．（20-21高一上·上海浦东新·期中）（1）已知，且，求实数的值； （2）已知，，试用、表示，. 41．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 42．（20-21高一上·上海宝山·期中）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据） （1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ （2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？ 43．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 一、填空题 1．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知，且，若，，则 ． 2．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 5．（21-22高三上·浙江·期中）设，若，则 ． 6．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知是不为1的正数，且，则 的值为 二、单选题 7．（20-21高一上·上海黄浦·期中）已知都是正实数，且，下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高一上·上海闵行·期中）设和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9．（20-21高一上·上海奉贤·期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 10．（20-21高一上·上海浦东新·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 幂、指数与对数（七大题型+优选提升题） 有理指数幂、根式 1．（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【答案】 【分析】根式与分数指数幂的互化得到答案. 【解析】 故答案为： 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】12 【分析】根据指数幂的运算，即可得答案. 【解析】由题意得， 故答案为：12 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【解析】. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【解析】. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂互化及运算性质即可求解. 【解析】. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【解析】. 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【解析】实数，， 所以. 故答案为：. 8．（21-22高一上·河北沧州·阶段练习）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误. 【解析】对于A，，所以，错误； 对于B，因为，所以，则，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误． 故选：C． 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，化简 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【解析】因为，， 所以 ， 故答案为：. 指数式与对数式互化 10．（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由指对互化的公式求解即可. 【解析】将两边同时取以2为底的对数，则， 所以， 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【解析】由可得， 所以. 故答案为：16 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【解析】因为，则，所以，. 故答案为：. 13．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知，那么=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x. 【解析】因为，所以，则x=2. 故选：B. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 【答案】e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【解析】解：， 所以． 故答案为：e． 对数及其运算性质 15．（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C 【分析】利用首数与尾数的概念求解即可. 【解析】 ，首数为，尾数为 故选：C． 16．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】100 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【解析】，故，解得. 故答案为：100 17．（20-21高一上·上海徐汇·期中）设，则下列运算中正确的是（  ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，可得AB错；根据对数的运算性质，可得C正确，D错. 【解析】由题中条件， 则，故AB错； 根据对数的运算法则，可得，即C正确； ，故D错. 故选：C. 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，可得AB错；根据对数的运算性质，可得C正确，D错. 【解析】由题中条件， 则，故A错； 则，故B错； 根据对数的运算法则，可得，即C正确； ，故D错. 故选：C. 19．（24-25高一上·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【解析】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可. 【解析】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤. 故选：D. 换底公式，指数幂、对数综合运算 21．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【解析】， 故答案为：． 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，试用、表示 ． 【答案】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解析】因为，所以， 则. 故答案为： 23．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解． 【解析】，，， ， 故答案为：． 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，则a，b表示 ． 【答案】 【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可. 【解析】由，得， 则. 故答案为：. 25．（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质计算可得. 【解析】因为，所以. 故答案为： 26．（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： .（其中，） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质化简可得结果. 【解析】因为，，则. 故答案为：. 27．（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 【答案】 【分析】直接由分数指数幂以及根式互相转换计算即可. 【解析】由题意. 故答案为：. 指数幂与对数的综合应用 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由指数式和对数式的互化，可将和表示出来，然后根据换底公式表示出和，代入，根据对数的运算性质计算即可. 【解析】因为，所以，， 所以，，所以. 故答案为：1 29．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果. 【解析】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 30．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】将两边平方后可求m的值. 【解析】因为，则且， 故，故， 故答案为： 31．（22-23高一上·上海宝山·期中）给出下列四个命题： （1）当时，； （2）当且时，； （3）设是方程的两个根，则； （4）设，若关于的方程的解集为，则且． 其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用指数运算判断（1）；利用对数的定义及运算法则判断（2）；利用韦达定理计算判断（3）；利用一元一次方程解集情况判断（4）作答. 【解析】当时，，（1）正确； 当且时，由给定等式及知，，则成立，（2）正确； 是方程的两个根，则，因此，（3）正确； ，关于的方程的解集为，因0乘任何实数均为0，则且，（4）正确， 所以真命题的个数是4. 故选：D 题型06 最值、取值范围问题 32．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得，即可求目标式的最小值，注意取值条件. 【解析】由题设，又， 当且仅当，即时等号成立，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 33．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质结合对数的运算性质分析求解. 【解析】因为，，可知， 则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 34．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的性质计算的关系式，利用基本不等式计算即可. 【解析】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 35．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由基本不等式结合对数的运算，即可得到结果. 【解析】因为， 且， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 题型07 实际应用、解答综合题 36．（23-24高三上·上海浦东新·期中）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 【答案】22 【分析】利用已知条件结合对数的运算性质求出即可． 【解析】设级时能量为，级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以. 故答案为：. 37．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【答案】 【分析】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解. 【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：. 二、解答题 38．（20-21高一上·上海静安·期中）若，用表示 【答案】 【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解. 【解析】由题意，， 所以. 39．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出； （2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解． 【解析】（1）已知，， 则，故 （2）设，为方程的两个根，则，易知， . 40．（20-21高一上·上海浦东新·期中）（1）已知，且，求实数的值； （2）已知，，试用、表示，. 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）根据条件可得出，从而可得出，进而可得出的值； （2）根据对数的换底公式和对数的运算即可用，表示出和． 【解析】解：（1）， ，， ， 且， ； （2），， ， ． 41．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【解析】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 42．（20-21高一上·上海宝山·期中）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据） （1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ （2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？ 【答案】（1）466；（2）3倍. 【解析】（1）将，代入函数解析式，计算得到答案． （2）根据题意得到方程组，两式相减化简即可求出答案． 【解析】（1）将，代入函数，得：， 即， 所以， 所以． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得： ， 两式相减可得：， 所以，即， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 43．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【解析】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 一、填空题 1．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知，且，若，，则 ． 2．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 5．（21-22高三上·浙江·期中）设，若，则 ． 6．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知是不为1的正数，且，则 的值为 二、单选题 7．（20-21高一上·上海黄浦·期中）已知都是正实数，且，下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高一上·上海闵行·期中）设和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9．（20-21高一上·上海奉贤·期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 10．（20-21高一上·上海浦东新·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 一、填空题 1．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质可得，结合已知即可求结果. 【解析】由且，则，则， 所以， 而，，则， 所以，故. 故答案为： 2．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【解析】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 【答案】 【分析】由题意，结合韦达定理代入运算即可. 【解析】由题意，， 由韦达定理，， ， 即，即， 故，即. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 【答案】2 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【解析】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 5．（21-22高三上·浙江·期中）设，若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算化简已知条件可得，再利用对数的运算性质化简所求代数式即可求解. 【解析】由， 可化为， 即， 即， 则， 所以 ， 故答案为：. 6．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知是不为1的正数，且，则 的值为 【答案】 【解析】根据对数运算公式，可以将转化，得到，，的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【解析】由， 可得，，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题． 二、单选题 7．（20-21高一上·上海黄浦·期中）已知都是正实数，且，下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】采用举例方式分析ACD，根据指数幂的运算法则判断B，由此分析出结果. 【解析】A．当时，，故错误； B．根据指数幂的运算性质可知：同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B正确； C．当，时，，故错误； D．当时，，故错误， 故选：B. 8．（20-21高一上·上海闵行·期中）设和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用换底公式先求解出、的结果，然后利用换底公式将变形为，根据、的结果求解出的结果，则的值可求. 【解析】因为，所以 ，所以，所以， 又因为， 且，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将变形为，再根据方程根之间的关系求解出结果. 三、解答题 9．（20-21高一上·上海奉贤·期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）当时，，整理后将指数式化为对数式即可求解； （2）由题意求得的表达式，令，然后分类和讨论即可求证； （3）将，分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论. 【解析】（1）当时，，即，所以， （2）设，因为，所以，且， 当时，，不成立； 当时，，由可得， 因为，，，所以不成立， 综上所述：当时，是不存在的； （3）由可得， 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂， 所以，即时符合题意，此时， 所以只有一对正整数对使得等式成立. 10．（20-21高一上·上海浦东新·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【分析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【解析】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 【点睛】关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键. 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