专题02 简单几何体（八大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题02 简单几何体（八大题型+优选提升题） 简单几何体的结构特征 1．（23-24高二上·上海黄浦·期中）给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 3．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 求表面积、体积 4．（23-24高二上·上海·期中）已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于 . 5．（23-24高二下·上海·期中）若将一个边长为1的正方形围成一个圆柱，则该圆柱的体积为 . 6．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 8．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 9．（23-24高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 10．（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 11．（23-24高二上·上海闵行·期中）设一个圆锥底面的半径和一个球的半径相等，已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则球的表面积等于 . 12．（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 13．（23-24高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 根据表面积或体积求其他量 14．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 15．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为 ． 16．（23-24高二上·上海·期中）已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 . 17．（22-23高二上·上海长宁·期中）已知三棱锥的侧棱长均为3，，，，则顶点到底面的距离为 . 18．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图为平行四边形，取所在直线为x轴，所在直线为y轴．若在直观图中，则 ． 斜二测画法 20．（23-24高二上·上海崇明·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是（    ） A． B． C． D．4 21．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 截面综合 22．（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 23．（23-24高二上·上海·期中）若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 24．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 25．（22-23高二上·上海普陀·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 26．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 28．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    29．（23-24高三下·上海浦东新·期中）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .    题型06 多面体、旋转体及其应用 30．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    31．（23-24高三上·上海杨浦·期中）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为（    ） A．1 B． C．3 D． 32．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    33．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    34．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 36．（23-24高二上·上海徐汇·期中）设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为 . 37．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 38．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 题型07 最值、取值范围问题 39．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 40．（22-23高二下·上海黄浦·期中）正方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积的水，已知，若将该密封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则的取值范围为 . 41．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 42．（23-24高二下·上海·期中）已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是 . 题型08 解答综合题 43．（23-24高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 44．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 45．（23-24高二上·上海·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 46．（23-24高二下·上海·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点. (1)若，求点到平面的距离； (2)当是中点时，求以为直径的球被平面所截的截面面积. 47．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期中）在空间中有三点满足，，在空间中取两个点（不计顺序），使得这5点可以组成正四棱锥，这两点的选法数是 ． 2．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个底面半径都为b，高都为a(a>b)的半椭球（左侧图）和一个圆柱中切去圆锥形成的几何体（右侧图）（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心），将他们放置在同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，其中，= ．图中圆柱体（右侧）的底面半径b为1，高a为6，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    二、单选题 4．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点M，N，设，给出下列三个结论：①四边形一定为菱形；②若四边形的面积为，，则有最大值；③若四棱锥的体积为，，则为常值函数.其中正确结论有多少个?（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（22-23高二上·上海黄浦·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 三、解答题 6．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 简单几何体（八大题型+优选提升题） 简单几何体的结构特征 1．（23-24高二上·上海黄浦·期中）给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】D 【分析】 举例即可说明ABC项，根据棱柱的结构特征及概念，即可判断D项. 【解析】对于A，如图，在正方体中，    三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确. 对于B，如图，在三棱锥中，，，，    由，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 同理可得，平面平面，平面平面，故B正确. 对于C，如图，平面平面，平面平面，平面平面，    所以平面，易知，则平面，故C正确. 对于D，根据棱柱的定义可得，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【解析】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 3．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 【答案】B 【分析】根据长方体的结构特征及平面的基本性质，想象一个平面截长方体所得截面的可能情况即可得答案. 【解析】由长方体任意相对的两个平面都平行，用一个平面截取长方体时，相对的两个平面所得的线段必平行，即截面必为平行四边形； 若截面与任意侧面都不垂直时，所得截面不可能出现直角，故不一定为矩形； 所以四边形的形状为平行四边形. 故选：B 求表面积、体积 4．（23-24高二上·上海·期中）已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于 . 【答案】 【分析】设圆锥的高为，母线长为，利用圆锥的体积公式可求得该圆锥的高，进而可求得圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求得该圆锥的侧面积. 【解析】设圆锥的高为，母线长为， 因为该圆锥的底面直径为，则该圆锥的体积为，可得， 所以，该圆锥的母线长为， 所以，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海·期中）若将一个边长为1的正方形围成一个圆柱，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意可得圆柱的底面半径为与高，再代入圆柱的体积公式即可得解 【解析】设圆柱的底面半径为，高为， 则根据题意可得：，，， 这个圆柱的体积为， 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得. 【解析】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，再由圆锥的高为，利用面积公式即可得解. 【解析】设圆锥的底面半径为， 则展开图扇形的弧长为，半径为母线长， 所以，， 所以圆锥的高为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【解析】由圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，得该圆台的体积. 故答案为： 9．（23-24高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高即可计算得解. 【解析】令圆锥的母线长，高为， 由圆锥的底面半径为2，侧面积为，得，解得，则， 所以圆锥的体积. 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积. 【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：， 设圆锥的底面半径是r，高为， 则得到，解得：， 这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海闵行·期中）设一个圆锥底面的半径和一个球的半径相等，已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则球的表面积等于 . 【答案】 【分析】先依据题给条件求得圆锥底面的半径，再利用球的表面积公式即可求得该球的表面积. 【解析】设圆锥底面的半径为r， 由圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆可得， ，解之得， 则球的半径为1，则球的表面积等于 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】取的中点为，连接，得到，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【解析】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 因为正四棱锥的底面边长为，取的中点为，连接，则， 又因为高与斜高夹角为，即， 在直角中，可得，解得， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出球体的半径，可求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式可求得该正方体的体积. 【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则，可得， 因为，解得， 所以，这个正方体的体积为. 故选：C. 根据表面积或体积求其他量 14．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【解析】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 15．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，再根据圆锥的表面积公式求出，再利用勾股定理即可得解. 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由于圆锥侧面展开图是一个半圆， 故有， 即圆锥母线长为， 又圆锥的表面积为， 解得，所以， 所以圆锥的高为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·上海·期中）已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，即可进行求解. 【解析】设点到平面的距离为 因为两两垂直，且， 所以，，，， 在中，，所以 所以 所以 解得：. 故答案为： 17．（22-23高二上·上海长宁·期中）已知三棱锥的侧棱长均为3，，，，则顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先利用线面垂直的判定定理得到平面，利用几何关系得到，，然后通过即可求得答案 【解析】 因为，，平面，， 所以平面， 由题意可得， 所以在和中，， 因为，所以是等边三角形，所以，， 所以在中，， 因为，所以， 所以， 设到底面的距离为， 所以即，所以， 故答案为： 18．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】由题意可得线面平行，所求线面距可以转化为求点到面的距离，利用等体积法计算即可得． 【解析】连接、交于点，则为中点，又E为中点， 故，又平面，平面， 故平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 则， 在中，，， 边上的高，所以， 设三棱锥的高为， 所以，利用等体积法， 得，解得. 故答案为：1. 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图为平行四边形，取所在直线为x轴，所在直线为y轴．若在直观图中，则 ． 【答案】2 【分析】画出正方形的直观图，是平行四边形，根据画法规则即可求解. 【解析】如图所示， 斜二测画法画边长为2的正方形的直观图，是平行四边形， 且； 由于四边形为正方形，所以， 故答案为：2 斜二测画法 20．（23-24高二上·上海崇明·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【解析】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，边上的高， 所以的面积是. 故选：D 21．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 【答案】8 【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积即得. 【解析】在坐标系中作出直观图对应的原图形，它是直角梯形，如图. 易得，，， 故原梯形的面积为：， 故答案为：8. 截面综合 22．（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】 根据经线和纬线及大圆的定义判断. 【解析】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆， 故①③④正确，②错误. 故选：C 23．（23-24高二上·上海·期中）若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 【答案】 【分析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径，根据题意结合球的性质分析求解. 【解析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径， 由题意可得，解得， 所以平面截球所得圆面面积为. 故答案为：. 24．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【解析】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 25．（22-23高二上·上海普陀·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 【答案】 【分析】由展开图的圆心角和半径可求出圆锥底面圆的周长和半径，从而求出圆锥的高，即可求得轴截面的面积. 【解析】因为圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆， 所以扇形弧长，即圆锥底面圆的周长为， 则圆锥底面圆半径， 圆锥直观图如图所示： 易知：，，则， 所以轴截面的面积. 故答案为： 26．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论. 【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为， 因为，所以， 又，所以， 当两截面在球心的同侧时，， 解得，球的表面积为； 当两截面在球心的同侧时，，无解； 综上，所求球的表面积为. 故答案为：. 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【解析】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 28．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【解析】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 29．（23-24高三下·上海浦东新·期中）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .    【答案】 【分析】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，求该圆锥的侧面积即可. 【解析】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 所以面积为. 故答案为：.   . 题型06 多面体、旋转体及其应用 30．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    【答案】50 【分析】将圆锥沿剪开得到扇形，根据圆锥的相关长度得出扇形的相关长度，根据展开图，求解即可得出答案. 【解析】    如图，将圆锥沿剪开， 则圆锥的母线即扇形的半径， 圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为， 所以圆心角，即. 又，， 所以，. 所以，这段铁路的长度为公里. 故答案为：50. 31．（23-24高三上·上海杨浦·期中）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据锥体的体积公式计算可得. 【解析】绕边长为的直角边旋转得到圆锥的半径，高， 所以圆锥的体积； 绕边长为的直角边旋转得到圆锥的半径，高， 所以圆锥的体积； 所以. 故选：B 32．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    【答案】 【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解. 【解析】过作于点， 由于，，，， 所以，进而，故 因此，又，所以四边形为直角梯形， 所以折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转体为：以绕形成的圆锥和以梯形绕着形成的圆台，挖去以绕形成的小圆锥，如图示：, 故表面积为, 故答案为：    33．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    【答案】 【分析】连接，即可证明平面，则为与平面所成的角，进而求得，即可得四棱锥的体积. 【解析】如图，在直三棱柱中， ∵，则，即，又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成的角，即， ∵，∴， 又，∴. ∴.    故答案为：. 34．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设半球的半径为R，连接AC,BD交于点O，连接SO，利用四棱锥的体积公式求出半径R，再代入半球的表面积公式即可求解. 【解析】 依题意，设半球的半径为R，连接AC,BD交于点O，连接SO，如图所示： 则有,易得, , , 半球的表面积. 故选：B. 35．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得底面圆的半径以及圆锥的母线长，再由多面体的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为： 36．（23-24高二上·上海徐汇·期中）设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到圆锥的公共部分为同底的圆锥和，结合圆柱和圆锥的体积公式，即可求解. 【解析】如图所示，根据题意，以是以为顶点，为底面的圆锥体， 则圆锥的公共部分为同底的圆锥和 设圆锥底面圆的半径为，高为，可得， 由，且根据几何体的对称性，可得， 即公共部分的圆锥的底面圆的半径为，且每个小圆锥的高为, 所以公共部分的体积为. 故答案为：.    37．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 38．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【解析】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 题型07 最值、取值范围问题 39．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 计算出圆锥的底面半径，设圆锥轴截面的顶角为，结合余弦定理可知为钝角，则两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得， 由余弦定理可得，则为钝角， 故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 40．（22-23高二下·上海黄浦·期中）正方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积的水，已知，若将该密封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案. 【解析】水量较少，水面恰好为正方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为正方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为. 故答案为：. 41．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【解析】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 42．（23-24高二下·上海·期中）已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当拼成一个三棱柱时，有两种情况；拼成一个四棱柱时，有四种情况，分别求出其全面积比较大小，解关于的不等式即可. 【解析】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，， 设棱、、的中点分别为、、. 原三棱柱的全面积（）. 由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②： 图①的全面积（）， 图②的全面积（）， 当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥： 图③的全面积（）， 图④的全面积（）， 图⑤的全面积（）， 图⑥的全面积（）， 由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（）， 则（），解得：， 故a的取值范围是. 故答案为：. 题型08 解答综合题 43．（23-24高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，首先证明为四棱锥的高，利用解三角形知识求出的长度，然后利用棱锥的体积公式即可求解. （2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出. 【解析】（1）如图所示：    过点作于点， 已知直三棱柱，则平面， 又平面， 则， 又因为，且平面， 所以平面，则为四棱锥的高， 又，， 可得， 则， 所以， 且， 所以四棱锥的体积为：. （2）如图所示：    取的中点，连接，则， 又平面，平面，则， 而，且平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 在中， ， 所以，得. 即直线与平面所成的角的大小为. 44．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 【答案】(1) (2)4710克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【解析】（1） 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 45．（23-24高二上·上海·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解； （2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解. 【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，可得，且， 所以笼具的体积. （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 故笼具的表面积． 故制造50个这样的笼具总造价为：元， 答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元． 46．（23-24高二下·上海·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点. (1)若，求点到平面的距离； (2)当是中点时，求以为直径的球被平面所截的截面面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作的垂线，垂足为，则和平行，因为平面，所以平面，点到平面的距离即为，由可得答案； （2）利用等体积法求解点到平面的距离为，即可求解截面圆的半径，进而由圆的面积公式即可求解. 【解析】（1）因为平面，平面，， 所以，， 又，，、平面， 所以平面， 因为，所以, 所以，， 则， 过作的垂线，垂足为，则和平行， 因为平面，所以平面， 即为所求距离，，，解得：． （2）设到平面的距离为，则, 即, 即， 又球的半径为， 故球截平面所得的截面为圆，且圆的半径为 故截面圆的面积为． 47．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）三棱锥体积最大时为到的距离最大时，最大为半径，然后根据表面积公式求出表面积. （3）反向延长至，是得，则为的最小值. 【解析】（1）   证明：由题意面，面， 则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，面，面， 所以平面 （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径1， 此时，，， 因为， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的表面积. （3）如图，将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上， 因为，，，， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期中）在空间中有三点满足，，在空间中取两个点（不计顺序），使得这5点可以组成正四棱锥，这两点的选法数是 ． 【答案】3 【分析】先证明所求的正四棱锥的侧棱长均为，底面是边长为的正方形或对角线长为的正方形，然后分两种情况讨论，进而得到所求的正四棱锥的个数，即两点的选法数. 【解析】正四棱锥的底面是正方形，其四条边相等且四个角都是直角；四条侧棱的长度也都相等. 这表明，在一个正四棱锥中，两顶点之间的距离只有三种可能的取值：侧棱长，底面边长，底面对角线长. 同时，侧棱长一定大于底面对角线长的一半. 假设点是底面中的一个顶点，则在四棱锥中，点总共引出一条侧棱，一条底面对角线，两条底面的边. 现在点引出了两条线段，且长度均为. 由于，所以不是直角，故不可能都是底面的边； 由于长度相等，而底面的对角线和底面的边的长度之比是，故不可能一个是底面的边，另一个是底面对角线； 由于长度相等，正四棱锥的侧棱都相等，而由知不是等边三角形，故不可能一个是底面的边或底面对角线，另一个是侧棱. 因此，我们排除了所有可能性，这导致矛盾，故点不是底面中的一个顶点. 故我们所要构成的正四棱锥只有以下两种可能： ①底面边长为，侧棱长均为； ②底面对角线长为，侧棱长均为. 如果是可能性①，我们需要再选择两个点，使得四个点构成边长为的正方形， 且，这时，我们需要考虑的就是四个点构成的正方形的情况数目. 由于不计顺序，故我们不妨设四个点构成的四边形是. 如上图所示，设为的中点，正方形的中心为， 则点的位置和正方形的位置能够互相确定对方， 所以我们只需要考虑点的可能情况数目. 因为点是的中点，，所以， 因为， 所以，因为，面，面， 所以面， 故都在直线在点处的法平面内. 首先，，，， 而与此同时，有，. 从而，点要满足的条件是：在一个包含的平面内，且，. 由于， 故这样的点总共有2个，所以满足条件的正方形总共有2个. 这表明，对于可能性①，满足条件的正四棱锥总共有2个； 如果是可能性②，我们需要再选择两个点，使得四个点构成边长为的正方形，且. 如上图所示，设为的中点，平面的过点的垂线为， 则为正方形的中心. 此时，由于垂直于平面，在平面内，故. 而，，在平面内相交于，故垂直于平面. 由垂直于平面，点在直线上，故在直线上. 而，故在不计顺序的情况下，点至多有一种选择. 由于，故底面对角线长为，侧棱长均为的正四棱锥是存在的. 这表明，对于可能性②，满足条件的正四棱锥总共有1个. 综上，满足条件的正四棱锥总共有3个. 故答案为：3. 2．（23-24高二上·上海·期中）如图，一个底面半径都为b，高都为a(a>b)的半椭球（左侧图）和一个圆柱中切去圆锥形成的几何体（右侧图）（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心），将他们放置在同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，其中，= ．图中圆柱体（右侧）的底面半径b为1，高a为6，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ． 【答案】 【分析】画出圆锥的截面图，由可求出；再利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论． 【解析】画出圆锥的截面图，如下图所示， 易知，，由可得： ，即，则， 所以， 根据题意，， 所以半椭球体的体积为， 由题意知：，， 所以半椭球体的体积为：． 故答案为：；． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】（1）（3）（4） 【分析】由三棱锥的性质可得（1）；先证面面平行，找到点的轨迹为，再求长度即可判断（2）；证明即可判断（3）；利用等体积法求出球心到截面的距离，再求交线长度即可判断（4）. 【解析】   对于（1），以相同顶点命名的三棱锥体积相同，故三棱锥的体积等于的体积，因为点到上底面的距离等于棱长，故（1）正确； 对于（2），取的中点分别为，连接， 由图像可知，， 又因为， ，当点在上时， 因为正方体棱长为，的中点分别为 所以， 故（2）错误； 对于（3），以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 且，且都在平面内， 所以， 所以点的轨迹是线段，故（3）正确； 对于（4），为正三角形，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由等体积法，可得 解得， 故以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 故（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4） 【点睛】本题为立体几何压轴题，（1）直接求即可；（2）面面平行得到线面平行，再用勾股定理求长度；（3）为线面垂直找轨迹，（4）等体积法求交线的长度；分析量比较大，属于较难题型. 二、单选题 4．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点M，N，设，给出下列三个结论：①四边形一定为菱形；②若四边形的面积为，，则有最大值；③若四棱锥的体积为，，则为常值函数.其中正确结论有多少个?（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据面面平行的性质定理得出四边形为平行四边形.进而根据线面垂直的判定定理以及性质定理证明，即可得出①；根据①的结论，得出四边形的面积，只需考虑即可，观察图形，即可判断②；将四棱锥分割为三棱锥与三棱锥，进而根据线面垂直的判断定理，以及线面平行的性质，即可得出三棱锥的高为常数，即可得出③. 【解析】 对于①，如图1，连接. 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，. 同理可得，. 所以，四边形为平行四边形. 根据正方体的性质可知，，平面， 又平面，所以. 因为平面，平面，， 所以，平面. 又平面，所以. 因为分别是的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，，所以四边形为菱形，故①正确； 对于②，由①知，四边形为菱形， 所以，四边形的面积为. 因为为定值，所以当最大时，面积最大. 由图可知，当或，即点与点或重合时，有最大值， 此时或. 所以，当，没有最大值，故②错误；      对于③，如图2，连接，则四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥. 根据正方体的性质可知，，平面， 又平面，所以. 因为平面，平面，， 所以，平面， 所以，点到平面，即平面的距离等于. 因为，平面，平面， 所以平面. 又，所以点到平面的距离即等于点到平面的距离. 同理可得，点到平面的距离也等于. 所以，到平面的距离之和为常数. 又的面积为一个常数， 所以，三棱锥与三棱锥的体积均为常数， 即四棱锥的体积一个常数，故③正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在求解不规则多面体的体积时，常采用分割的方法.将不规则多面体分割为若干个规则的多面体，逐个求解. 5．（22-23高二上·上海黄浦·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 【答案】D 【分析】连接，则平面，利用线面垂直的定义可知A正确；，利用线面平行的判定定理可知B正确；进而得到C正确；点到直线的距离不相等，可知D不正确，得出答案． 【解析】 解：连接，在正方体中，平面， 又，平面， 平面，选项A正确； ，即，平面， 平面，平面，选项B正确； 由平面， 得； 三棱锥的体积为定值，选项C正确； 点到直线的距离不相等， 的面积与的面积不相等， 故D错误． 故选：D 三、解答题 6．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【解析】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$