4.2 对数（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

4．2 对数 课程标准 学习目标 1、了解对数的概念． 2、会进行对数式与指数式的互化． 3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程． 4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识 1、数学抽象：对数运算性质的符号表示 2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系 3、数学运算：对数运算性质的运用 4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题 知识点01 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点02 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 【即学即练2】＝（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－5 知识点03 对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【即学即练3】化简求值： . 题型一：对数的定义 【典例1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 题型二：指数式与对数式互化及其应用 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【变式2-5】（2024·高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：利用对数恒等式化简求值 【典例3-1】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 【方法技巧与总结】 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式3-1】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 【变式3-2】（2024·贵州·遵义四中高一期末）______． 题型四：积、商、幂的对数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）求值：（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例4-2】（2024·高一·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【变式4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】（多选题）（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高一·全国·随堂练习） . 【变式4-5】（2024·高一·全国·单元测试）计算：的值是 ． 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 【典例5-1】（2024·高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）方程＝的解是（    ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 【方法技巧与总结】 直接利用定义法或者换元法 【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【变式5-2】（2024·高一·上海·期末）方程的解 . 【变式5-3】（2024·高一·上海闵行·期末）方程的解是 . 【变式5-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【变式5-5】（2024·高一·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 题型六：对数运算法则的应用 【典例6-1】（2024·高一·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【典例6-2】（2024·高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【方法技巧与总结】 （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 【变式6-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-2】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）化简求值（需要写出计算过程） (1). (2). 【变式6-3】（2024·高二·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【变式6-4】求下列各式的值： (1)； (2)（a、b、c均为不等于1的正数）； (3)； (4). 题型七：换底公式的运用 【典例7-1】（2024·高一·江苏常州·期中） . 【典例7-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知，则 . 【方法技巧与总结】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【变式7-1】（2024·高一·浙江宁波·期末）化简求值： . 【变式7-2】（2024·高一·浙江·期中）化简 . 【变式7-3】（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 【变式7-4】（2024·高一·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 题型八：由已知对数求解未知对数式 【典例8-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 【典例8-2】（2024·高一·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【方法技巧与总结】 利用对数运算法则的应用进行转换. 【变式8-1】（2024·高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，求.（用表示） 【变式8-3】（2024·高一·上海静安·期中）若，用表示 【变式8-4】（2024·高一·上海·课后作业）已知，试用a，b分别表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 【变式8-5】（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知，用a，b表示； （2）已知，用a，b表示. 题型九：证明常见的对数恒等式 【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【典例9-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【方法技巧与总结】 利用换底公式和作差法进行证明. 【变式9-1】（2024·高一·全国·课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 【变式9-2】（2024·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：. 理由如下：设，，所以，， 所以，由对数的定义得:，又因为， 所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 1．（2024·高一·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 2．（2024·高一·重庆·期末）已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 3．（2024·高一·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·广西·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A．4 B．10 C．12 D．16 6．（2024·高一·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 8．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 9．（多选题）（2024·高一·湖南·期末）下列各项不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·河南新乡·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 13．（2024·高一·福建龙岩·期末）已知，则 ． 14．（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 15．（2024·高一·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 16．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求. 17．（2024·高一·全国·专题练习）（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 18．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．2 对数 课程标准 学习目标 1、了解对数的概念． 2、会进行对数式与指数式的互化． 3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程． 4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识 1、数学抽象：对数运算性质的符号表示 2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系 3、数学运算：对数运算性质的运用 4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题 知识点01 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 知识点02 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 【即学即练2】＝（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－5 【答案】C 【解析】原式. 故选：C 知识点03 对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【即学即练3】化简求值： . 【答案】/0.75 【解析】 . 故答案为： 题型一：对数的定义 【典例1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 【典例1-2】（2024·高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【变式1-4】（2024·高一·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】且 故选：B 题型二：指数式与对数式互化及其应用 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【解析】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 【变式2-2】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式2-3】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 【变式2-5】（2024·高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） （2） （3） （4） 题型三：利用对数恒等式化简求值 【典例3-1】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C 【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 【解析】（1）; （2）. 【方法技巧与总结】 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式3-1】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 【答案】2 【解析】. 故答案为：2． 【变式3-2】（2024·贵州·遵义四中高一期末）______． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 题型四：积、商、幂的对数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）求值：（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】． 故选：C 【典例4-2】（2024·高一·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，即． 故先：B. 【方法技巧与总结】 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【变式4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 【变式4-2】（多选题）（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 即，故，故A正确； 因为，， 所以成立，故C正确； ， 故，故B错误； 成立，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-4】（2024·高一·全国·随堂练习） . 【答案】2 【解析】,. 故答案为：2 【变式4-5】（2024·高一·全国·单元测试）计算：的值是 ． 【答案】5 【解析】原式 . 故答案为：5. 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 【典例5-1】（2024·高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）方程＝的解是（    ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 【答案】A 【解析】由题得. 故选：A 【方法技巧与总结】 直接利用定义法或者换元法 【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【解析】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 【变式5-2】（2024·高一·上海·期末）方程的解 . 【答案】11 【解析】因为，所以，解得， 故答案为：11. 【变式5-3】（2024·高一·上海闵行·期末）方程的解是 . 【答案】 【解析】令， 由，得， 解得或（舍去）， 所以，解得. 故答案为： 【变式5-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【解析】设，则方程的两根为、， 由韦达定理得，， 即. 【变式5-5】（2024·高一·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 【解析】（1） 所以应满足 由对数的运算性质可将方程化为 或. 因为 （2） 所以应满足 根据对数的运算性质, 则原方程可化为 经检验,符合题意 题型六：对数运算法则的应用 【典例6-1】（2024·高一·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【典例6-2】（2024·高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）. （2）. （3）. （4） . 【方法技巧与总结】 （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 【变式6-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式6-2】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）化简求值（需要写出计算过程） (1). (2). 【解析】（1）原式 （2）原式 【变式6-3】（2024·高二·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 【变式6-4】求下列各式的值： (1)； (2)（a、b、c均为不等于1的正数）； (3)； (4). 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型七：换底公式的运用 【典例7-1】（2024·高一·江苏常州·期中） . 【答案】 【解析】 . 故答案为：3 【典例7-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】2 【解析】， ， ， 则. 故答案为：2 【方法技巧与总结】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【变式7-1】（2024·高一·浙江宁波·期末）化简求值： . 【答案】/0.75 【解析】 . 故答案为： 【变式7-2】（2024·高一·浙江·期中）化简 . 【答案】 【解析】原式 . 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 【答案】 【解析】由都是非零常数，设，则， 所以 故答案为： 【变式7-4】（2024·高一·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 【答案】1 【解析】因为，则，可得， 所以. 故答案为：1. 题型八：由已知对数求解未知对数式 【典例8-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 【解析】因为，所以． 所以 ． 【典例8-2】（2024·高一·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【解析】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 【方法技巧与总结】 利用对数运算法则的应用进行转换. 【变式8-1】（2024·高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【解析】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，求.（用表示） 【解析】因为，所以， 所以. 【变式8-3】（2024·高一·上海静安·期中）若，用表示 【解析】由题意，， 所以. 【变式8-4】（2024·高一·上海·课后作业）已知，试用a，b分别表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）； （2）； （3）      . 【变式8-5】（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知，用a，b表示； （2）已知，用a，b表示. 【解析】（1）． （2），， 又， ． 题型九：证明常见的对数恒等式 【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【解析】证明：（1）. 故. （2）， 【典例9-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【解析】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【方法技巧与总结】 利用换底公式和作差法进行证明. 【变式9-1】（2024·高一·全国·课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 【解析】（1）由换底公式得，， 因此． （2）由换底公式得，． 【变式9-2】（2024·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：. 理由如下：设，，所以，， 所以，由对数的定义得:，又因为， 所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【解析】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，， 所以，由对数的定义得， 又因， 所以； （3） 故答案为：2. 1．（2024·高一·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【解析】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 2．（2024·高一·重庆·期末）已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 【答案】B 【解析】因，则，又， 则或. 则或，结合，得或. A选项，当时，；当时，，故A错误； B选项，当时，；当时，，故B正确； C选项，当时，；当时，，故C错误； D选项，当时，；当时，，故D错误. 故选：B 3．（2024·高一·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 所以，. 对于A，，A正确. 对于B，，B正确. 对于C，，C错误. 对于D，，， ,所以，D正确. 故选：C. 4．（2024·高三·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：，故A正确； 对B：由，则，故，故B正确； 对C：由， 故， 当且仅当时等号成立，由，故等号不成立， 即，故C正确； 对D：当、时，符合题意， 但此时，故D错误. 故选：D. 5．（2024·高一·广西·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A．4 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由，可得. ，又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 6．（2024·高一·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴ . 故选：C． 7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， . 故选：D. 8．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 【答案】B 【解析】， 所以，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 9．（多选题）（2024·高一·湖南·期末）下列各项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，由对数的运算性质可知B错误； 对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误； 对于D，.故D正确. 故选：ABC. 10．（多选题）（2024·高一·河南新乡·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可得，A正确. 对于B，因为,，所以，当且仅当时，等号成立，B正确. 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误. 对于D，，D正确. 故选：ABD 11．（多选题）（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，，，且， 由，A正确； 由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即， 当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得， 与，矛盾，所以，B正确； ， 所以，， 所以，所以，C正确，D错误． 故选：ABC 12．（2024·高一·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 【答案】 【解析】因为 所以，， 两式相减可得：，解得：， . 故答案为： 13．（2024·高一·福建龙岩·期末）已知，则 ． 【答案】5 【解析】设，则，，， 故. 故答案为：5 14．（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 【答案】 【解析】由，得，又， 所以. 故答案为： 15．（2024·高一·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【解析】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 16．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求. 【解析】（1）原式； （2）， ， ， ， ， 原式. 17．（2024·高一·全国·专题练习）（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）因为， 所以. 18．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【解析】（1） . （2）, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$