第4章 指数与对数章末题型归纳总结-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第4章 指数与对数章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：指数的运算 题型二：对数的运算 题型三：换底公式的运用 题型四：证明恒等式 题型五：指数、对数方程 题型六：指数、对数实际应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：指数的运算 【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. 【典例1-2】（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【变式1-1】（2024·高一·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【变式1-2】（2024·高一·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【变式1-3】（2024·高一·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【变式1-4】（2024·高一·全国·单元测试）计算：． 【变式1-5】（2024·高一·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 题型二：对数的运算 【典例2-1】（2024·高一·全国·课堂例题）（1）已知，计算和的值； （2）已知，，求的值． 【典例2-2】（2024·高一·西藏山南·期中）求值：． 【变式2-1】（2024·高一·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【变式2-2】（2024·高一·新疆喀什·期末）求值： (1)； (2). (3) 【变式2-3】（2024·高一·上海·单元测试）计算：． 【变式2-4】（2024·高一·上海·单元测试）求的值． 【变式2-5】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：换底公式的运用 【典例3-1】（2024·高一·上海·单元测试）计算： ． 【典例3-2】（2024·高一·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【变式3-1】（2024·高一·云南昆明·期中）若，则 . 【变式3-2】（2024·高一·江苏苏州·开学考试）已知，则 ． 【变式3-3】（2024·高一·北京·开学考试）已知，且，，则 ． 【变式3-4】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【变式3-5】（2024·高一·西藏山南·期中）已知，且，求的值． 题型四：证明恒等式 【典例4-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【典例4-2】（2024·高一·湖南岳阳·期末）（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）（1）证明对数换底公式：当时，（其中且，且）； （2）证明：是无理数. 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【变式4-3】（2024·高一·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）设，且，求证： 【变式4-5】（2024·全国·一模）（1）已知，，，证明：； （2）已知，，，且，若恒成立，求实数k的最大值. 【变式4-6】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求证：. 【变式4-7】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 题型五：指数、对数方程 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【典例5-2】（2024·高一·河南信阳·期末）方程的解是（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【变式5-2】（2024·上海静安·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·上海·单元测试）已知方程的两个实数根为、，则的值是 ． 【变式5-4】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）方程的解为 【变式5-5】（2024·高一·广东江门·阶段练习）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是 . 题型六：指数、对数实际应用 【典例6-1】（2024·高一·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【典例6-2】（2024·高一·广西柳州·期中）假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了，大约经过（    ）天，甲的“日水平值”是乙的10倍．（参考数据，） A．77 B．92 C．100 D．123 【变式6-1】（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 【变式6-3】（2024·高一·上海·单元测试）我国近十年国民经济生产总值平均每年增长，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（    ）． A．7年 B．8年 C．9年 D．11年 【变式6-4】（2024·高二·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【变式6-5】（2024·高一·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（    ） A．5% B．3% C．2% D．1% 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例7-1】从2，3，4，5这四个数中选两个数作为的底数和真数，则的情况有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【典例7-2】下列说法正确的个数是（    ）①16的4次方根是2；②的运算结果是；③当n为大于1的奇数时，对任意都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】的值是（    ） A．0 B． C．0或 D． 【变式7-2】如果x，，且，那么的值为__________． 【变式7-3】已知，，则__________ ②转化与化归思想 【典例8-1】已知，，，那么式子__________． 【典例8-2】若，，且，则的最小值为__________． 【变式8-1】已知，，求__________． 【变式8-2】第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳测定法测定树木样品中碳衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳含量，n为树龄单位：年，通过测定发现某古树样品中碳含量为，则该古树的树龄约为__________万年．精确到附： ③函数与方程思想 【典例9-1】探测某片森林知道，可采伐的木材有10万立方米．设森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过__________年，可采伐的木材增加到40万立方米．参考数据：，，最后近似计算按照收尾法进行 【典例9-2】已知，且，则__________． 【变式9-1】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时才能开车．精确到1小时，参考数据：， 【变式9-2】为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：现在加密密钥为，明文密文密文明文如上所示，明文“4”通过加密后得到“3”再发送，接受方通过解密钥解密得明文“4”，问若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：指数的运算 题型二：对数的运算 题型三：换底公式的运用 题型四：证明恒等式 题型五：指数、对数方程 题型六：指数、对数实际应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：指数的运算 【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. 【解析】（1）； （2）因为， 所以，由，可得； 将两边平方，即，即，则. 【典例1-2】（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【解析】（1）. （2）①因为，所以， 又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且， 所以，所以. 【变式1-1】（2024·高一·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 【变式1-2】（2024·高一·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【解析】（1）易知， 所以 （2）显然， 所以. 【变式1-3】（2024·高一·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【解析】（1）原式. （2）由，而， 则，故. 【变式1-4】（2024·高一·全国·单元测试）计算：． 【解析】原式 ． 【变式1-5】（2024·高一·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1 【解析】根据题意，， 又，所以， 则. 故答案为：1. 题型二：对数的运算 【典例2-1】（2024·高一·全国·课堂例题）（1）已知，计算和的值； （2）已知，，求的值． 【解析】（1）∵， ∴； ． （2）（方法一） ． （方法二） 【典例2-2】（2024·高一·西藏山南·期中）求值：． 【解析】 ． 【变式2-1】（2024·高一·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【解析】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 【变式2-2】（2024·高一·新疆喀什·期末）求值： (1)； (2). (3) 【解析】（1） （2） （3） 【变式2-3】（2024·高一·上海·单元测试）计算：． 【解析】原式 ． 【变式2-4】（2024·高一·上海·单元测试）求的值． 【解析】 ． 【变式2-5】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 题型三：换底公式的运用 【典例3-1】（2024·高一·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【解析】. 故答案为：1 【典例3-2】（2024·高一·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【解析】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 【变式3-1】（2024·高一·云南昆明·期中）若，则 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 【变式3-2】（2024·高一·江苏苏州·开学考试）已知，则 ． 【答案】1 【解析】，则，， ． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·高一·北京·开学考试）已知，且，，则 ． 【答案】4 【解析】，且，即， 设，则， ，解得或（舍去），即， ， ， ， ，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 【变式3-4】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【解析】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 【变式3-5】（2024·高一·西藏山南·期中）已知，且，求的值． 【解析】由可得，， 由， 所以．因为，所以． 题型四：证明恒等式 【典例4-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【解析】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【典例4-2】（2024·高一·湖南岳阳·期末）（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【解析】（1），，， 又，，所以； （2）证明：设，则且，，， ，，， ，. 【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）（1）证明对数换底公式：当时，（其中且，且）； （2）证明：是无理数. 【解析】（1）证明：令，所以， 所以． （2）证明：用反证法证明． 假设是有理数．设，其中与是互素的正整数． 于是． 两边平方，得． 所以是3的倍数，即也是3的倍数． 不妨设，得，即，所以是3的倍数，即也是3的倍数． 于是与有公因数3，这与与是互素的正整数矛盾． 所以假设不成立，是无理数﹒ 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【解析】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 【变式4-3】（2024·高一·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 【解析】（1）证明：令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）设，且，求证： 【解析】设，，则，，. 因为，所以， 即. 所以，即. 【变式4-5】（2024·全国·一模）（1）已知，，，证明：； （2）已知，，，且，若恒成立，求实数k的最大值. 【解析】（1）证明：由，，得，即， 同理，， 以上三式相加，得 （当且仅当时取等号）， 故成立. （2）= =， 根据（1），得 = 所以，，故实数k的最大值为3. 【变式4-6】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求证：. 【解析】令， 则，，， 所以. 【变式4-7】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【解析】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 题型五：指数、对数方程 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【解析】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【典例5-2】（2024·高一·河南信阳·期末）方程的解是（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【解析】因为，则，所以，即，经检验符合题意， 所以方程的解是16. 故选：B 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【解析】∵，∴，∴. 故选：D. 【变式5-2】（2024·上海静安·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得. 故选：A 【变式5-3】（2024·高一·上海·单元测试）已知方程的两个实数根为、，则的值是 ． 【答案】36 【解析】、是方程的两个实数根 所以， 则． 故答案为：36 【变式5-4】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）方程的解为 【答案】1 【解析】方程可化为， 即， 设， 原方程可化为，即， 解得或（舍去）， 即， 故答案为：1. 【变式5-5】（2024·高一·广东江门·阶段练习）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是 . 【答案】或 【解析】令，则方程转化为，即. 由题意，甲写错了常数b，得到的根为或， 由韦达定理. 乙写错了常数c，得到的根为或，由韦达定理. 故原方程为，即，故 解得或. 故答案为：或 题型六：指数、对数实际应用 【典例6-1】（2024·高一·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【解析】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 【典例6-2】（2024·高一·广西柳州·期中）假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了，大约经过（    ）天，甲的“日水平值”是乙的10倍．（参考数据，） A．77 B．92 C．100 D．123 【答案】A 【解析】设甲和乙刚开始的“日水平值”为1 ， 则经过天后，甲的“日水平值”为 ， 乙的“日水平值”为， 由题意可得， 即 ， 两边取常用对数得， 即， 所以， 所以 故选：A. 【变式6-1】（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以． 故选：C． 【变式6-2】（2024·高一·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 【答案】D 【解析】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年， 则由题意得，即， 所以，， 所以， 即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年. 故选：D 【变式6-3】（2024·高一·上海·单元测试）我国近十年国民经济生产总值平均每年增长，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（    ）． A．7年 B．8年 C．9年 D．11年 【答案】D 【解析】设经过年国民经济生产总值是现在的两倍，现在的国民经济生产总值为， 则由题意得，即， 则，得， 所以约经过11年国民经济生产总值是现在的两倍. 故选：D． 【变式6-4】（2024·高二·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【答案】C 【解析】依题意，得， 化简得，解得. 设这块面包总共经过分钟，温度降为30°， 则，化简得， 解得， 故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°， 故选：C. 【变式6-5】（2024·高一·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（    ） A．5% B．3% C．2% D．1% 【答案】D 【解析】依题意，当时，，则，解得，即， 因此，再过滤4小时有害物质的残留量， 即当时， 所以有害物质的残留量为原来的． 故选：D 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例7-1】从2，3，4，5这四个数中选两个数作为的底数和真数，则的情况有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】B  【解析】解：若，则，4，5，共3种； 若，则，5，共2种； 若，则，共1种； 则的情况有6种； 故选 【典例7-2】下列说法正确的个数是（    ）①16的4次方根是2；②的运算结果是；③当n为大于1的奇数时，对任意都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B  【解析】①16的4次方根是，故错误； ②的运算结果是2，故错误； ③当n为大于1的奇数时，对任意都有意义，正确； ④当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义，正确． 故说法正确的个数是2， 故选 【变式7-1】的值是（    ） A．0 B． C．0或 D． 【答案】C  【解析】解：当时，， 当时，， 故选 【变式7-2】如果x，，且，那么的值为__________． 【答案】0或2  【解析】解：， 当时，，即； 同理当时，，即； 当，时， ， ，① ， ，② ①式②式得， ， 综上所述，或 故答案为0或 【变式7-3】已知，，则__________ 【答案】4  【解析】解：由已知得， ，， 由可知，则或 若，则，此时，则 若，则，此时，则 综上， 故答案为 ②转化与化归思想 【典例8-1】已知，，，那么式子__________． 【答案】1  【解析】解：由已知， ， ， 故答案为 【典例8-2】若，，且，则的最小值为__________． 【答案】  【解析】解：因为， 所以 ，所以，即 所以 当且仅当，即，此时时取等号 所以最小值为 【变式8-1】已知，，求__________． 【答案】2  【解析】解：由，， 可得 ， 故答案为 【变式8-2】第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳测定法测定树木样品中碳衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳含量，n为树龄单位：年，通过测定发现某古树样品中碳含量为，则该古树的树龄约为__________万年．精确到附： 【答案】  【解析】解：由题意可得：， 整理得 故答案为： ③函数与方程思想 【典例9-1】探测某片森林知道，可采伐的木材有10万立方米．设森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过__________年，可采伐的木材增加到40万立方米．参考数据：，，最后近似计算按照收尾法进行 【答案】19  【解析】解：设经过n年可采伐本材达到40万立方米， 则有，即， 故有， 即经过19年，可采伐的木材增加到40万立方米， 故答案为： 【典例9-2】已知，且，则__________． 【答案】4  【解析】解：设， 所以，解得 依题意： 故答案为： 【变式9-1】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时才能开车．精确到1小时，参考数据：， 【答案】5  【解析】解：设x小时后，血液中的酒精含量不超过， 则有， 即， ， ， 则可得5小时后，可以开车． 故答案为 【变式9-2】为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：现在加密密钥为，明文密文密文明文如上所示，明文“4”通过加密后得到“3”再发送，接受方通过解密钥解密得明文“4”，问若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文是__________． 【答案】12  【解析】解：加密密钥为， 由其加密、解密原理可知，当时，，从而； 不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b， 则有，从而有 即解密后得明文为 故答案为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$