专题04 球重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题04 球重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 球的结构特征辨析 题型二 球的截面的性质及计算 题型三 求球面距离 题型四 直线与球、平面与球的位置关系 题型五 球的体积的有关计算 题型六 球的表面积的有关计算 知识点01：球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 知识点02：球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 知识点03：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 知识点04：地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点05：球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 知识点06：球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【经典例题一 球的结构特征辨析】 【例1】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经飞至B地东经，且A，B两地纬度都为．若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）由球面上一点引三条彼此组成角α的相等弦，如果球的半径为R，求弦长． 【经典例题二 球的截面的性质及计算】 【例2】（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高一·全国·单元测试）过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．1 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【经典例题三 求球面距离】 【例3】（2023·重庆·一模） 已知半径为的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    3．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【经典例题四 直线与球、平面与球的位置关系】 【例4】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知一小球与三棱锥三个相互垂直的侧面都相切，若此球面上存在一点到这三个侧面的距离分别为5，4，5，则这个小球的最大半径是（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球的直径，且，则点到平面的距离为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【经典例题五 球的体积的有关计算】 【例5】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）. 【经典例题六 球的表面积的有关计算】 【例6】（23-24高三下·上海松江·阶段练习）体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积分别为、、，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为． 以上所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 3．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 1．（22-23高二上·上海嘉定·期中）下列说法中正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为 2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4．（23-24高二·全国·期中）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个公共点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内､小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则该球的半径为(    ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 6．（23-24高一下·天津北辰·期中）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为 ，球的体积为 . 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 8．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 . 10．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为的圆柱内有球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，直线与球的球面交于两点，则线段的长度为 ． 11．（24-25高二上·上海·课前预习）球面是否还有类似“圆”的定义？ 12．（23-24高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 13．（23-24高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 14．（23-24高二·全国·课后作业）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，求球O的体积. 15．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 球重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 球的结构特征辨析 题型二 球的截面的性质及计算 题型三 求球面距离 题型四 直线与球、平面与球的位置关系 题型五 球的体积的有关计算 题型六 球的表面积的有关计算 知识点01：球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 知识点02：球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 知识点03：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 知识点04：地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点05：球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 知识点06：球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【经典例题一 球的结构特征辨析】 【例1】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经飞至B地东经，且A，B两地纬度都为．若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出A，B两地对于地球球心所成的角，再求出弧长作答. 【详解】依题意，A，B两地对于地球球心所成的角， 所以该飞机飞行的最短路程为. 故选：C 1．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 只要该四面体外接球在正方体内部即可满足题意，该四面体的棱长的最大时外接球是正方体的内切球，由此计算即可． 【详解】设正四面体棱长为，外接球球心是，外接球半径为，如图，是底面三角形的外心，则，， 由得，解得， 该四面体可以在正方体内任意转动，由四面体外接球最大是正方体的内切球， 所以最大时，，， 故选：B． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出，结合参数方程即可求解. 【详解】由， 均在半径为2的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图，    设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，， ， 考虑到是三角形边长,故，其范围是． 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）由球面上一点引三条彼此组成角α的相等弦，如果球的半径为R，求弦长． 【答案】 【分析】 先根据题意做出图形，结合正三棱锥的性质确定球心及半径；再利用几何关系即可求解. 【详解】如图，三条弦PA，PB，PC构成一个底面为的正棱锥，K为的中心.    过PA的中点M作于O， 那么MO和PK的交点O就是外接球的球心，OP＝R． 设（角参数）， 作于D，连结PD， 则在和中， 有. 在中，有， 则. 所以， ∴． 【经典例题二 球的截面的性质及计算】 【例2】（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 1．（23-24高一·全国·单元测试）过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案. 【详解】作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心， 则截面，AM在截面内，即有， 故,所以 , 即到该截面的距离是2， 故选：C 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 【经典例题三 求球面距离】 【例3】（2023·重庆·一模） 已知半径为的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧长公式得出，由周长得出的外接圆的半径，再由正弦定理得出. 【详解】如图示，是球面上的三点，设球心为，连结. 任意两点间的球面距离都等于，则，则均为正三角形，所以，所以为边长为的正三角形．依题意有，过三点的小圆周长为，则其半径为，由正弦定理可得，所以 故选：B 1．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接. 设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 【经典例题四 直线与球、平面与球的位置关系】 【例4】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意先求得取最小值时对应的正四面体的高，进而可得棱长． 【详解】先证明如下引理： 如下图所示，设正四面体棱长为，于点，平面，交于于点， 所以，显然点为重心， 所以，由勾股定理得， 所以正四面体的高等于其棱长的倍； 则点也为正四面体的外接球球心，设外接球球心为， 则在中，，， 由勾股定理得，，则； 如图，10个半径为1的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个， 当取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 设第三层最中间小球与底面线切于点，为正四面体的高， 且都在同一直线上， 则该正四面体的棱长为， 可求得其高，，， 所以正四面体的高， 则可求得其棱长的最小值为， 故选：D． 1．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知一小球与三棱锥三个相互垂直的侧面都相切，若此球面上存在一点到这三个侧面的距离分别为5，4，5，则这个小球的最大半径是（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【分析】把三棱锥的三个侧面扩展成以（是三棱锥的顶点，是内切球的球心）为对角线的正方体，正方体的棱长为内切球半径，由列方程求解． 【详解】由三棱锥的三个侧互相垂直，记三棱锥的这个顶点为，球心记为，球心到三个侧面的距离相等，把这三个侧面扩展，构成以为对角线的正方体，如图， 点到三棱锥三个侧面的距离分别为，，， 设内切球半径为，即图中形成的正方体的棱长为， 由图形可知，化简得， 解得或．其中是图中情形，是在图中正方体外部的情形． 故选：D． 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球的直径，且，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据球与几何体的组合体的几何性质，利用垂直关系，即可求解. 【详解】设球心为 , 过三点的小圆的圆心为, 则平面, 延长 交球于点, 则平面. 高. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【答案】2或6 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离，由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离 【详解】解：记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为；记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为， 则，即，， 所以，， 由于两平行平面可能在球心同侧也可能在球心异侧， 因此两平行平面间的距离或． 【经典例题五 球的体积的有关计算】 【例5】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正四面体的特征求其高及体积，进而求球的体积即可. 【详解】 如图，正四面体，设其棱长为2， 设的中心为，连接，延长交于， 则平面且， 故正四面体的高为且， 所以. 设球的半径为，则， 则球的体积为， 故体积比为 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，由题意可得求得，从而可求出母线长，然后利用余弦定理可求得答案 【详解】几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为， 因为圆锥的体积恰好等于半球的体积， 所以，得， 所以， 设圆锥的轴截面的顶角为，则 ， 故选：C. 2．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 【答案】 【分析】求出的外心，利用球心到所在平面的距离为球半径的四分之一，求出球的半径，即可求出球的体积． 【详解】由题意，，，，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到所在平面的距离为球半径的， 所以，解得，则. ∴球的体积为. 故答案为：. 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）. 【答案】 【分析】先求出球的半径，即可求出球的体积. 【详解】如图所示： 设球的半径为R,由勾股定理知, ,解得. 所以该球的体积为 【经典例题六 球的表面积的有关计算】 【例6】（23-24高三下·上海松江·阶段练习）体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积分别为、、，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出正方体, 球, 及圆柱的体积, 通过相等,即可得到棱长, 球半径, 及圆柱半径和母线长, 求出三者的表面积即可得到大小关系 【详解】设球的半径为, 正方体的棱长为, 圆柱的底面半径是, 所以球的体积为:, 正方体的体积为: , 圆柱的体积为:; 故,所以， ，,; 因为， 因为 所以 综上， 故选: D 1．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为． 以上所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①； 利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②； 首先表示四面体SOPQ外接球的半径，再判断有无最值. 【详解】①如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ，当时，的面积最大，最大值是，故①错误； ②， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； ③设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得， ，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.    故选：B 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 【答案】/ 【分析】由表面积公式结合列出方程组求出，结合球的体积公式即可求解. 【详解】由题意知， 所以， . 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 【答案】 【分析】设截面圆半径为r，球半径为R，利用勾股定理逆定理可判断为直角三角形，从而可求出，再结合球心到该截面的距离为球半径的一半，利用勾股定理列方程可求出，从而可求出球的表面积. 【详解】设截面圆半径为r，球半径为R，在中，，，， ， ∴是直角三角形，∴，∴， ∵球心到该截面的距离为球半径的一半， ∴， ∴， ∴ 1．（22-23高二上·上海嘉定·期中）下列说法中正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为 【答案】D 【分析】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体；圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体；正六边形中心到顶点的距离等于边长；球心与截面圆圆心的连线垂直于截面. 【详解】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体，所以A错，三棱锥不仅各面是三角形，还要除底面外其余各面都有公共顶点； 圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体，以斜边为轴旋转不是圆锥，所以B错； 正六边形中心到顶点的距离等于边长，所以正六棱锥侧棱一定大于底面边长，所以C错； 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，球O半径为2，到平面距离为1，则截面圆半径，截面圆面积为，D正确. 故选：D. 2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据四面体的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果. 【详解】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】假设平面，得到，假设不垂直，假设不成立，①错误，取中点，连接，，得到②正确，得到答案. 【详解】对①：假设平面，平面，则， 则，，故不垂直，假设不成立，①错误； 对②：取中点，连接，为线段的中点，则， 则在以为球心，半径为的球上，②正确； 故选：D 4．（23-24高二·全国·期中）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个公共点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内､小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知小球半径是大球的一半，建立大球体积、小球体积和阴影部分的体积的关系，可推出的大小关系. 【详解】设大球的半径为，则小球的半径为， 可知，， 所以，因为，所以， 所以，又因为四个小球的体积和为， 所以，故B正确. 故选：B 5．（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则该球的半径为(    ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】A 【分析】作出球的正视图，根据已知条件构造直角三角形，列关于球半径R的方程求解即可． 【详解】如图为球的一个正视图，AB长度等于正方体棱长，AB中点为M，则MB＝4， 球面恰好接触水面时测得水深为， cm， 设球的半径为R，则CM＝R－2，CB＝R， ∴在Rt△BCM中，，解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·天津北辰·期中）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为 ，球的体积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在中，由，得，则， 外接圆半径，设球半径为，依题意，， 即，， 所以球的表面积，体积. 故答案为：； 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 【答案】673 【分析】设地球球心为点，上海、台北分别为点，计算出的大小，进而可求解. 【详解】因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上. 在这个大圆上，设地球球心为点，上海、台北分别为点， 由上海、台北的经纬度可知,地球半径为（千米）， 所以（千米）. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 【答案】. 【分析】利用球与正四棱柱的特征求轨迹长度即可. 【详解】 如图所示，以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱的表面交线为四段弧， 分别在平面上， 易知，， ， 所以交线长为. 故答案为： 9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 . 【答案】 【分析】根据相切得到，，然后利用勾股定理计算长度得到半径，最后求体积即可. 【详解】 取半球的球心为，三个小球的球心分别为， 则有，取的重心，则可有， 在中易求得， 则有， 则半球的半径， 半球的容积. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据相切得到，，然后求半径即可. 10．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为的圆柱内有球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，直线与球的球面交于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】取中点，由等腰三角形三线合一可得；由线面垂直的判定与性质可证得，利用勾股定理可推导求得，又，可知为中点，由此可得. 【详解】，，取中点，连接， ，为中点，； ，，，平面， 平面，又平面，； ，， ，， ，也是中点，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查旋转体中的线段长度的求解问题，解题关键是能够熟练应用圆柱和球的结构中的长度相等的线段之间的关系，结合垂直关系，利用勾股定理来进行求解. 11．（24-25高二上·上海·课前预习）球面是否还有类似“圆”的定义？ 【答案】有，空间内到球心距离相等的所有点构成一个球面． 【分析】根据圆的定义和球的特征定义即可. 【详解】圆的定义为：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点构成的集合叫作圆，这个定点叫做圆的圆心； 类似的，球面可以定义为：在空间中，到定点的距离等于定长的点构成的集合叫作球面，这个定点叫做球心. 12．（23-24高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 【答案】 【分析】先得北纬纬圆半径，再由弧长公式即可得结果. 【详解】地球的半径为，在北纬纬圆半径为， 由于两点的经度差是， 所以这两点间的纬线的长为：. 13．（23-24高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【答案】． 【分析】记正三角形所在小圆的圆心为，根据球的半径为2，球心到平面的距离为1，求得OE的长度，再由过点的截面与垂直时，截面面积最小求解. 【详解】记正三角形所在小圆的圆心为， 因为球的半径为2，球心到平面的距离为1， 则，，． 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面小圆半径，面积． 即截面面积的最小值为． 14．（23-24高二·全国·课后作业）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，求球O的体积. 【答案】 【分析】先判断出点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，求出R=6，即可求出球的体积. 【详解】要使三棱锥的体积最大，只需当点C位于垂直于面AOB的直径端点. 设球O的半径为R,此时,解得：R=6. 所以球O的体积为:. 故答案为: 15．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球的半径与正四棱锥棱长关系，求出球的半径，进而求出半球的体积. （2）根据几何体的特征，求出半球的表面积，求出棱锥的侧面积和底面积，即可求得几何体的表面积. 【详解】（1）连接交点为，设球的半径为， 由题意可知，则， 四棱锥的体积为，解得， 则该半球的体积为；    （2）由题意知， 所得几何体的表面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$