专题1.7空间直线与平面56道压轴题型专训（14大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.7空间直线与平面56道压轴题型专训（14大题型） 题型一 空间中的点(线)共面问题 题型二 平面的基本性质的有关计算 题型三 求异面直线所成的角 题型四 由异面直线所成的角求其它量 题型五 证明线面平行 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 求点面距离 题型九 线面垂直证明线线平行 题型十 求线面角 题型十一 面面平行证明线面平行 题型十二 求二面角 题型十三 面面垂直证线面垂直 题型十四 求异面直线的距离 【经典例题一 空间中的点(线)共面问题】 1．（2023·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【详解】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: C. 2．（多选）（22-23高一下·安徽·期中）在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】 由于分别是的重心，所以分别延长交 于中点.因此正确. 因为，所以，因此. 直线相交，B正确. 因为是的重心，所以，因此，C不正确. 因为，所以.因此，D正确. 故选：ABD. 3．（2023·四川绵阳·三模）在棱长为2的正方体中，已知点P为棱的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正方形ABCD内的点M始终在平面上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为 ． 【答案】 【分析】首先确定两种临界位置，即与重合或与重合，分别确定此时满足条件的点所在的位置，再确定点不在、两点时，所在的位置，即可得到满足条件的平面区域，即可得解； 【详解】解：因为在棱上运动，当与重合时，显然平面即为平面，又平面平面，所以点在上运动， 当点运动到点时，取的中点，连接、、，因为为的中点，所以， 又由正方体的性质可知，所以，所以、、、四点共面，所以平面平面，即在上运动， 若点不在、两点时，则可在上取一点，使得，则，所以、、、四点共面，所以平面平面，即在上运动， 所以点在四边形区域（包括边界）运动，又， 故所有满足条件的点构成的区域的面积为 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 【经典例题二 平面的基本性质的有关计算】 5．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 6．（多选）（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解. 【详解】作出图形如图所示． 延长至Q，使得，连接MQ，NQ， 记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P， 取的中点，连结，，所以，即，且， 所以四边形是平行四边形，得，且 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 得，， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 则截面为五边形为， 则，， 因为，所以，所以，， 同理：，， ，，， 故所得截面的周长为. 故选：ACD 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为 .    【答案】 【分析】首先说明，故只需求出的长度即可. 【详解】    取中点，由立方体的性质知，，， ， 所以， 则，故所求为. 故答案为：. 8．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 【经典例题三 求异面直线所成的角】 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点为，连接，则得，即异面直线AM和CN 所成角或其补角，求出相关边长，借助于，利用余弦定理即可求得. 【详解】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 10．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为30° D．四边形的面积为 【答案】BD 【分析】根据即可由异面直线的定义判断A B；根据得到为异面直线所成角可判断C；根据题设条件依次求出所需的量再直接计算求解即可D. 【详解】对于AB，连接，取中点，连接， 由正方体结构性质可知，即四边形是平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以直线与不是平行直线，直线与是异面直线，故A错误，B正确； 对于C，连接，为直线与所成的角， 而，故，可得直线与所成的角，故C错误； 对于D，，四边形为等腰梯形， 因为正方体的棱长为2， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以，故D正确； 故选：BD 11．（23-24高二上·天津滨海新·期末）正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】在正方体右侧作出一个全等的正方体，从而得到与所成角，再利用余弦定理即可得解. 【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图，    易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到与所成角的平面角，解决方法是在正方体右侧作出一个全等的正方体，由此得解. 12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 【经典例题四 由异面直线所成的角求其它量】 13．（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【分析】由旋转对应角相等，以及极限思想可知，要想只需要证明.设由正弦定理求出.由，得到的取值范围. 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 14．（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】BD 【分析】根据异面直线所成角的定义得到或，然后利用余弦定理求即可. 【详解】    取中点，连接，， 因为，分别为，的中点，，， 所以，，，， 所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或， 当时，根据余弦定理得，，解得； 当时，根据余弦定理得，，解得. 故答案为：BD. 15．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为 . 【答案】12或 【分析】根据题意，画出相应示意图，且，，，则，，分两种情况求对应线段AB的长. 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 16．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过直角三角形和等边三角形的性质，求出，即可证明. （2）取中点，连接,将异面直线与所成角变为与所成的角，利用余弦定理即可求解. （3）根据第二问的求解过程，表示出EF，即可求解. 【详解】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接，由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 【经典例题五 证明线面平行】 17．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 18．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（   ） A．//平面 B．//平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】AD 【分析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】在正方体中，，因此与平面平行或在平面内， 又平面，所以不在平面内，从而//平面，A正确，C错误， 又，分别是棱，的中点，则，因此，所以在平面内，从而B错，D正确． 故选：AD． 19．（22-23高一下·山西晋中·期中）如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用平面的基本性质作出截面，然后求解面积即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，， 并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面，因为，， 所以，所以四边形为菱形，且，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力. 20．（25-26高二上·山东德州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理判定. 【详解】取的中点，连接． 因为为的中点，所以且， 因为底面为正方形，为中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以直线平面． 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 21．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】    连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 22．（多选）（24-25高三上·山西大同·期末）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 【答案】AC 【分析】利用补形思想，在正方体的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确定，结合P点位置所有选项都可直接验证. 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体的左侧 补一个全等的正方体，并平移到， 则平面为过且与平行的平面， 显然平面交于点， 为的中点，故对，错； 由于直线与 所成角为，且， 故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC. 23．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为 . 【答案】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 24．（22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 25．（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【详解】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为 平面 ，平面平面 ，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 26．（多选）（2023·湖南·二模）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（    ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形 C．长度的最大值是 D．长度的最小值是 【答案】BC 【分析】作出过且与平面平行的平面与正方体表面的交线即可判断A、B；用向量法表示出，再用二次函数的知识求解. 【详解】如图，   所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确； 以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    其中，分别是的中点， 则直线的方程为所以不妨设线段上的点， 点，则， 所以当时，；当时，．故C正确，D错误． 故选：BC． 27．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 28．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 【经典例题八 求点面距离】 29．（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，均在平面外，则棱的中点到平面的距离的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，考虑特殊位置即可得出结论. 【详解】如图21， 当平面时，且棱与平面所成的角时，到平面的距离最大， 设中点为，过分别作，，过作交于，    则，所以， 又，为中点，所以， 则，，所以， 此时， 如图22，当平面在下方，且与平面所成的角为时，到平面的距离最小， 同理可得，， 为中点，所以，则，， ,    所以点到平面的距离的取值范围为. 故选：C. 30．（多选）（2025·全国·模拟预测）设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（    ） A．点到平面的距离 B．点到平面的距离 C．点到平面的距离的 D．点到平面的距离的 【答案】ACD 【分析】根据长方体中线面关系,把点到面的距离转化为平行直线到面的距离,判断选项的正误. 【详解】连，取中点，由点为棱的中点，可得，易证平面， 点到平面的距离相等，又线段的中点在平面上， 所以点到平面的距离相等； 因为，所以点到平面的距离相等，而，， 且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的； 过作交于，延长至点，使得，延长至点， 使得，则三点共线，，且，所以， ，且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， 即点到平面的距离等于点到平面的距离的. 故选：ACD 31．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，点E是线段DC上的一点，且，将沿BE向上折起，得到四棱锥，如图2所示，则点到平面的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先在等腰梯形中证明，从而可得平面，在平面内过作，垂足为，利用等积法可求点到平面的距离的最大值. 【详解】在等腰梯形中，过作，垂足为，则 由题设，故，故重合，且， 故， 故在四棱锥中，， 而平面，故平面， 设，在平面内过作，垂足为， 连接， 因为平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 而平面，故， 而，故， 又，故， 而， 故 故，当且仅当取等号 . 故到平面的距离最大且最大值为. 故答案为：. 32．（25-26高二上·山东日照·开学考试）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．    (1)求证：平面平面； (2)求的值； (3)记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得即可证明从而得证； （2）根据，利用等体积法计算可得； （3）设是面与的交线，过点作平面使得，设，即可得到，设，同上方法可得，即可求出，从而得证. 【详解】（1）因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，所以， 又，所以 ， 又，所以平面； （2）设，连接，则平面， 设点到平面的距离为， 因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为， 底面正方形的面积为，又， 依题意可得，所以 ，即，解得； （3）设平面与的交线为，， 过点作平面使得，（即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接则，又，所以, 又所以， 又平面与的交线为，，所以，所以）， 设， 所以，所以， 同理可得，所以， 设，同上方法可得， 所以， 而，所以， 又与侧面所成的角分别为，则 而， 所以.    【经典例题九 线面垂直证明线线平行】 33．（2022高一·全国·专题练习）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质得出AC∥BD，结合三角形相似得出BD. 【详解】因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．连接OD， 所以．因为OA＝AB，所以．因为AC＝1，所以BD＝2． 故选：A． 34．（22-23高三·河南·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，点E，F分别为边BC和AD上的定点，，，，将，分别沿着AE，CF向平行四边形所在平面的同一侧翻折至与处，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证明平面，取的中点，过点作，证明平面，根据线面垂直性质定理证明，根据线面平行性质定理证明，解三角形求. 【详解】过点作，垂足为， 因为， 所以， 所以，所以，又， 因为平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，平面，， 所以平面， 由已知，， 取的中点，连接， 则，，平面， 所以平面， 过点作， 因为平面，平面， 所以，平面，， 所以平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 设，则， 由已知，所以为等边三角形， 所以， 在中，，，， 所以， 在中，，， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以， 解得或， 由已知小于点到直线的距离，所以， 故， 故选：C. 【点睛】本题通过平面图形的翻折考查直线与平面的位置关系，平面图形的翻折问题解决的关键在于分析翻折前后的位置关系的变化和线段长度和角度的是否变化. 35．（2023·安徽·高考真题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是： ①3；    ②4；   ③5；   ④6；   ⑤7 以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号） 【答案】①③④⑤ 【分析】先利用梯形的中位线定理得到中点到平面的距离，再利用三角形中位线定理得到各点到平面的距离，进而可得答案. 【详解】根据题意，如图，，为的中点，，到平面的距离分别为1、2、4，即， 因为，所以，故四边形是梯形， 又，，所以，又为的中点， 由梯形的中位线定理得， 又因为，，所以，又为的中点， 所以在中，由三角形中位线定理得，即到平面的距离为6； 同理：的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为5； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为3； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为7； 而为中的一点，故到平面的距离可能. 故答案为：①③④⑤． 36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】 由于垂直下底面圆， 故， 平面，平面， 所以平面， 又，所以， 平面，平面， 所以平面 平面， 所以平面平面 【经典例题十 求线面角】 37．（2024·北京·模拟预测）如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，作平面,垂足为，点作平面，垂足为，则可求，进而可求解. 【详解】取中点，连接，    当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大， 此时，因为平面，平面， 所以平面平面， 过作平面，垂足为， 则为正三角形的重心， 设正四面体的边长为1，则, 因为直线BC与平面所成角为即,且， 所以, 所以点到平面的距离等于， 过点作平面，垂足为， 则， ∴在中，，即直线与平面所成角的正弦值等于. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是分析出当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大. 38．（多选）（2024·江苏镇江·三模）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，，则点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为，再分、、三种情况讨论，从而确定的位置，即可得到的范围，即可判断A、B；根据正四棱柱的性质可知为直线与平面所成的角，即可得到，从而判断C；（或补角）即为直线与所成的角，再由锐角三角函数求出的范围，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，， 易知，，，，五点共面，且为线段的中点. 因为平面，且平面平面， 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面平面， 所以点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为. 当时，即为棱的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，，此时在矩形外，故在棱柱外部，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，. 且由平面几何知识易得在内，所以在棱柱内部，符合题意. 综上所述，，所以，A选项错误. 因为，所以B选项正确. 在正四棱柱中，平面与平面平行， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，则为直线与平面所成的角， 所以. 所以在中，. 因为，，，，， 所以，C选项正确. 在正四棱柱中，. 所以（或补角）即为直线与所成的角且，，， 则在等腰中，取棱的中点为，， 因为，，，， 所以，而，所以D选项错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题关键是确定的取值范围，将点关于面对称的点，转化为点关于线对称问题，另外一个就是准确的找到线面角，线线角. 39．（2025高三·全国·专题练习）正四面体放置在平面上，在平面内，为中点，当四面体绕旋转时，与平面所成角的余弦值范围是 ． 【答案】． 【分析】当旋转到时，．此时余弦值最大；取中点，连接，取中点，连接，所以，所以当四面体绕旋转时，与平面所成角即为四面体绕旋转时，与平面所成角，若到平面距离最大时，最小，此时，求出此时值即可. 【详解】设与平面所成的角为，当旋转到时，．此时余弦值最大； 取中点，连接，取中点，连接， 所以， 所以当四面体绕旋转时，与平面所成角即为四面体绕旋转时，与平面所成角， 当四面体绕旋转时， 若到平面距离最大时，最小， 此时，，设正四面体棱长为2,则, 此时， 因旋转过程连续，故． 故答案为：． 40．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，若为底面内任意一点，设与平面所成角为与平面所成角为与平面所成角为，证明：．      【答案】证明见解析 【分析】过点作相关的辅助线找到线面角，利用直角三角形中的三角函数关系来表示角的正弦值，再结合空间几何体的结构特征和相关量的关系证明得出结论. 【详解】证明：过点作平面交于点， 作平面交于点， 作平面交于点， 连接，如图所示：    则由题意得， 在中， 有， 所以， 因为三棱锥的侧棱两两垂直， 由， 所以， 又 ， 由等体积法得：， 所以， 由题意如图所示，    由图可知为以为相邻棱构成的长方体的体对角线， 故有：， 所以， 所以. 【经典例题十一 面面平行证明线面平行】 41．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点， 因为为的中点， 所以, 又平面，平面， 所以平面， 过点作，交于,则易知平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面. 又平面, 所以平面. 因为, 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为， 所以, , 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形为平行四边形即可. 42．（23-24高一上·安徽亳州·期末）如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为 【答案】B 【分析】由已知，选项A，可根据平面平面，利用面面平行的性质推导出平面；选项B，可利用等体积法，去计算；选项C，连接，作交AD于G，连接FG，根据可知，从而确定点F在的中垂线上，当点F与点K重合时，；选项D，根据，结合，分别计算线段的长度的最大值和最小值即可. 【详解】选项A，因为平面平面，平面，所以平面，该选项正确； 选项B，，该选项错误； 选项C，如图1，连接，作交AD于G，连接FG． 因为平面，所以为与平面所成的角． 因为EG⊥平面，所以∠EFG为EF与平面所成的角． 因为，EF与平面所成角的大小相等，所以，则，又因为，所以，则点F在的中垂线上，即点F在线段HⅠ上运动，如图2．当点F与点K重合时，，该选项正确； 选项D，因为，E为棱BC上靠近C的三等分点，所以，AG＝4，则．因为，所以．当点F在点Ⅰ或点H处时，线段的长度取到最大值，最大值为；当点F在点K处时，线段的长度取到最小值，最小值为．所以线段的长度的取值范围为，该选项正确． 故选：B. 43．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【详解】 如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又， 在中，由余弦定理得 ， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：对于立体几何中动点问题，关键是确定动点的轨迹，主要是确定面面平行，得到线面平行. 44．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行证明面面平行，再应用面面平行性质得出线面平行 【详解】证明：设的中点为，连接， 为的中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形的中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 【经典例题十二 求二面角】 45．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，初步确定点所在的位置.举特例说明与的大小关系不确定，排除AB；再按点在不同位置时，研究与，与的大小，即可得出结论. 【详解】如图，取长方体的下底面的各边中点,,,，上底面的中心为，下底面的中心为. 平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为， 过作于，作于，则，. 所以，等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 在和中，，为公共边，为共同的中点， ，的大小由与，所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大. 显然与和所成的角的大小关系不确定： 当在靠近时与直线所成的角较小，与直线所成的角则接近于，此时. 同样当接近于时，故A、B错误； 与的大小关系实际上是看在的左侧还是右侧. 若在左侧，则； 若在右侧，则； 若是在上，则. 同样，在的前面，则； 在上，则； 在的后面，则， 所以当在内时，，， ，. 因为，所以. 因为，所以. 因此，， 根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论. 故选：C 46．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正方形放于两个全等正方体的公共面上，根据旋转的情况结合正方体的结构特征，计算所求二面角. 【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上， 正方形ABCD和正方形的位置如图所示， 连接，如图所示， 平面与平面平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角， 平面，平面，， 正方形中，， 平面，，平面， 同理平面， 平面与平面所成的锐二面角，等于直线AP与AN所成的角， 由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为. 故选：C. 47．（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，若为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设直线与平面所成的角分别为，二面角的大小为，则按从大到小排序为 ． 【答案】 【分析】设点在平面的投影为点，根据线面角定义得到，，作交于点，根据二面角的平面角定义得到，接着设、、得到、、，再根据条件依次探究三个正切值大小关系即可得解. 【详解】根据题意，画出几何图形如图所示，    设点在平面的投影为点，则面， 连接，则即直线与平面所成的角，即， 连接，则即直线与平面所成的角，即， 因为面，所以， 作交于点，连接，因为、平面，， 所以平面，因为平面， 所以，所以即二面角的大小，即， 设，，，则，，，且均为锐角， 在中，，所以，即，所以； 在中，，，， 所以，，，所以， 所以， 作于点，，， 所以，即， 又，所以，作交于点，所以四边形是矩形， ，所以， 所以， 易知，所以，即， 所以，即；， 在矩形中，作且交于点， 延长交于点，如图所示，   ，，所以， ，又，所以， ，所以， 即，时，， 所以，所以，即， 综上所述，. 故答案为：. 48．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，，，证明：（利用均值不等式）．    【答案】证明见解析 【分析】如图连结，由等体积法得，又，可得，可证为二面角的平面角，则，同理，，化简结合均值不等式可证. 【详解】如图连结， 根据题意，三棱锥中， 面，所以面， 又面，则， 由，即，所以， 又 ， 所以， 而面，则， 又面，面，所以， 面， 所以面，面，则， 所以为二面角的平面角， ， 同理，， 则， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以.    【经典例题十三 面面垂直证线面垂直】 49．（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边BC的距离，然后在几何体中作出点O到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答. 【详解】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形， 取AB，CD的中点M，N，连接MN，则， 因为，所以， 因为，所以四边形是矩形， 因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD， 从而四边形的面积， 当且仅当，即时取等号， 此时， 如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面， 所以，又， ，，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 显然平面平面，在平面内过作于， 从而平面，即OR长即为点到平面的距离， 在中，，， 所以， 所以点O到平面的距离是. 故选：C 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 50．（23-24高二下·河南商丘·期末）在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为中点，由题意可得，可证平面平面，作，垂足为，则与平面所成角为，勾股定理求各边的边长，证得，由，求值即可. 【详解】中，， 由余弦定理，有， 为中点，连接， 由，有， ，平面，则有平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，作，垂足为， 平面，得平面，则与平面所成角为， ，，则有，得， 则. 故选：A. 【点睛】方法点睛： 利用已知条件证得平面平面，结合面面垂直的性质由得平面，则与平面所成角为，证明为直角三角形，可求. 51．（22-23高一下·贵州黔西·期末）如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是 .    【答案】 【分析】先利用面面垂直的性质定理推得平面，从而利用线面垂直的判定定理推得为点到平面的距离，再利用线面平行的判定与性质定理推得，从而利用等面积法求出的长，即为所求. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，如图，    因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， ，，平面，平面， 所以点到平面的距离为， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，， 则，又，， ，，， 由等面积法可得. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推得为点到平面的距离，二是利用线面平行的性质定理推得，从而得解. 52．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，. (1)求证：点为线段的中点； (2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面. (3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）过作垂足为，依题可推出平面，进而得.又因得出为中点，再结合梯形中是等腰梯形且，得到N为中点. （2）由（1）知是二面角平面角，作，通过线段关系证四边形是平行四边形，得出，确定是直线与所成角（或补角），利用三角函数值和余弦定理求，进而判断二面角情况. （3）利用在底面投影，找出直线与平面所成角，分为钝角、锐角、直角讨论相关线段长度，得出表达式，将其看作半圆上点与定点连线斜率，根据直线与半圆相切情况确定取值范围. 【详解】（1）过作交于点，连接. ，，平面，. ，为的中点. 在梯形中，，∴梯形为等腰梯形. 又，为线段的中点. （2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接. 在等腰梯形中，，. .又，∴四边形为平行四边形， . 为直线与所成角（或补角）， ，. 在中，，. 由余弦定理得：，得： ，解得，或（舍）， 在中，，，，. . 二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角， 平面平面. （3）设在底面的投影分别为，，N到平面的距离为， 则，则为直线与平面所成角，. ，，. 为钝角时，在的外部，， ， . 当为锐角时，在的内部， ，. . 当为直角时，也符合， 综上，. 设是（上半圆，不包括与轴的交点）上任意一点， 则可看作是半圆上一点与点连线的斜率. 直线与半圆相切时，直线的斜率最小值为. 与连线的斜率的取值范围为， 的取值范围为. 【经典例题十四 求异面直线的距离】 53．（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点到平面的距离即可. 【详解】 如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交面于点， 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即， 因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，的距离， 由题意知，，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离， 设点到平面的距离为，则，， 在直角三角形中，，，所以，，，， 直角梯形中，，，， 因为，，所以，，，， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离. 54．（23-24高二上·浙江·开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可. 【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小， 当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，    ，设面的法向量为， 则，则，令，则，即， 所以BC到面的距离为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，    此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，      此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为； 故，此时， 易得特殊截面，，， 比较所得. 故选：C. 55．（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 56．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    【答案】 【分析】取的中点G，连接EG、FG，则可证得∥平面，则异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离，再转化为点B与平面的距离，连接，，设，则可得BM为点B到平面的距离，然后求解即可. 【详解】解：取的中点G，连接EG、FG，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离， 即点B与平面的距离． 连接，，设． 因为∥，，所以． 因为平面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，平面 所以平面，即BM为点B到平面的距离． 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为．        学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7空间直线与平面56道压轴题型专训（14大题型） 题型一 空间中的点(线)共面问题 题型二 平面的基本性质的有关计算 题型三 求异面直线所成的角 题型四 由异面直线所成的角求其它量 题型五 证明线面平行 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 求点面距离 题型九 线面垂直证明线线平行 题型十 求线面角 题型十一 面面平行证明线面平行 题型十二 求二面角 题型十三 面面垂直证线面垂直 题型十四 求异面直线的距离 【经典例题一 空间中的点(线)共面问题】 1．（2023·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 2．（多选）（22-23高一下·安徽·期中）在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 3．（2023·四川绵阳·三模）在棱长为2的正方体中，已知点P为棱的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正方形ABCD内的点M始终在平面上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【经典例题二 平面的基本性质的有关计算】 5．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为 .    8．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【经典例题三 求异面直线所成的角】 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为30° D．四边形的面积为 11．（23-24高二上·天津滨海新·期末）正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ．    12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【经典例题四 由异面直线所成的角求其它量】 13．（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 14．（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 15．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为 . 16．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【经典例题五 证明线面平行】17．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（   ） A．//平面 B．//平面 C．点在平面内 D．点在平面内 19．（22-23高一下·山西晋中·期中）如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 20．（25-26高二上·山东德州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 21．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 22．（多选）（24-25高三上·山西大同·期末）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 23．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为 . 24．（22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 25．（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）（2023·湖南·二模）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（    ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形 C．长度的最大值是 D．长度的最小值是 27．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 28．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【经典例题八 求点面距离】 29．（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，均在平面外，则棱的中点到平面的距离的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 30．（多选）（2025·全国·模拟预测）设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（    ） A．点到平面的距离 B．点到平面的距离 C．点到平面的距离的 D．点到平面的距离的 31．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，点E是线段DC上的一点，且，将沿BE向上折起，得到四棱锥，如图2所示，则点到平面的距离的最大值为 ． 32．（25-26高二上·山东日照·开学考试）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．    (1)求证：平面平面； (2)求的值； (3)记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 【经典例题九 线面垂直证明线线平行】 33．（2022高一·全国·专题练习）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 34．（22-23高三·河南·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，点E，F分别为边BC和AD上的定点，，，，将，分别沿着AE，CF向平行四边形所在平面的同一侧翻折至与处，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 35．（2023·安徽·高考真题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是： ①3；    ②4；   ③5；   ④6；   ⑤7 以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号） 36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【经典例题十 求线面角】 37．（2024·北京·模拟预测）如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 38．（多选）（2024·江苏镇江·三模）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）正四面体放置在平面上，在平面内，为中点，当四面体绕旋转时，与平面所成角的余弦值范围是 ． 40．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，若为底面内任意一点，设与平面所成角为与平面所成角为与平面所成角为，证明：．      【经典例题十一 面面平行证明线面平行】 41．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 42．（23-24高一上·安徽亳州·期末）如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为 43．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 44．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【经典例题十二 求二面角】 45．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 47．（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，若为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设直线与平面所成的角分别为，二面角的大小为，则按从大到小排序为 ． 48．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，，，证明：（利用均值不等式）．    【经典例题十三 面面垂直证线面垂直】 49．（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高二下·河南商丘·期末）在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 51．（22-23高一下·贵州黔西·期末）如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是 .    52．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，. (1)求证：点为线段的中点； (2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面. (3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围. 【经典例题十四 求异面直线的距离】 53．（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二上·浙江·开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为 56．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    学科网（北京）股份有限公司 $