压轴专题03 球截面，球心距，外接球，内切球问题（5类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020必修第三册）

压轴专题03 球截面，球面距，外接球，内切球问题 目录 1 3 一．球截面问题 3 二．球面距问题 4 三．内切球独立轴截面法 5 四．内切球等体积法 5 五．外接球问题 6 7 1.球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 2.球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 3.内切球独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 ①在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 ②在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 ③利用相似性求出内切球半径. 4.墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体） ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． ③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 5.单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 一．球截面问题 例题1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 例题2．（23-24高三上·上海·开学考试）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 ． 对点训练 1．（23-24高二上·上海普陀·期末）正的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面的距离为1,点D是线段BC的中点,过D作球O的截面,则截面面积的最小值为 . 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．    二．球面距问题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 例题2．（23-24高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 对点训练 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）设地球的半径为R，在北纬圏上的两地A､B的经度差为，则A，B两地的球面距离为 . 三．内切球独立轴截面法 例题1．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 例题2．（2024·上海静安·一模）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为 . 对点训练 1．（2023·上海长宁）在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为 ． 四．内切球等体积法 例题1．（22-23高三上·浙江丽水·期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·上海普陀·期中）棱长为6的正四面体的内切球（球心在四面体内部，与各面均相切）的体积为 . 对点训练 1．（2024·四川攀枝花·三模）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，给出下列结论：①平面；②平面；③圆锥的侧面积为；④三棱锥的内切球表面积为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）在平面几何中,若一个边形存在内切圆,将内切圆的圆心与边形顶点连接,可将此边形分割成个等高的三角形，边形的周长为,面积为,内切圆的半径为 ,那么，类比此方法，若一多面体的体积为,全面积为,且此多面体存在内切球,则此内切球的表面积为 . 五．外接球问题 例题1．（22-23高三上·上海·阶段练习）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，直线AC1与平面BCC1B1所成角的大小是30°，则该四棱柱的外接球表面积大小是 . 例题2．（22-23高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 对点训练 1．（2023·上海长宁·一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 2．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是 ． 1．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    3．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 4．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 5．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 7．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为 . 8．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为 . 9．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 . 10．（2022·上海·模拟预测）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题03 球截面，球面距，外接球，内切球问题 目录 1 3 一．球截面问题 3 二．球面距问题 7 三．内切球独立轴截面法 10 四．内切球等体积法 15 五．外接球问题 19 22 1.球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 2.球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 3.内切球独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 ①在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 ②在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 ③利用相似性求出内切球半径. 4.墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体） ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． ③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 5.单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 一．球截面问题 例题1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 方法总结：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 例题2．（23-24高三上·上海·开学考试）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 ． 【答案】 【分析】根据祖暅原理构造一个圆柱挖去一个圆锥的模型即可. 【详解】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得， 设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离（也可在下方，此时）如图1所示，    则瓷碗的截面圆半径，面积为， 图2中,在以过球心的截面圆为底面圆，以为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥， 易知，故圆环面积也为， 即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理，（备注：瓷碗是图3中上方倒扣的部分） 当时，如图4所示：    此时： 由祖暅原理得：图3中与之间部分几何体的体积： 圆柱的体积圆锥的体积， 所以瓷碗的体积（注：半球体积） 故答案为：. 对点训练 1．（23-24高二上·上海普陀·期末）正的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面的距离为1,点D是线段BC的中点,过D作球O的截面,则截面面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设正的中心为，连结、、、．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出．而经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 【详解】解：设正的中心为，连结、、、， 是正的中心，、、三点都在球面上， 平面，结合平面，可得， 球的半径，球心到平面的距离为1，得， △中，． 又为的中点，△中，． △中，． 过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小， 当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径，可得截面面积为． 故答案为． 【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题． 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．    【答案】 【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围． 【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图    易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即，所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图：    则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 【点睛】方法点睛：选择填空题中，遇到求函数的最小值问题，常见的方法有： 1.转化为二次函数的值域问题求解； 2.利用基本（均值）不等式求最值； 3.通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； 4.利用导数分析函数单调性，求函数的最值. 二．球面距问题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接. 设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 例题2．（23-24高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法,求得点到平面的距离，然后计算即可. （2）先计算该长方体的外接球的半径，然后使用余弦定理得到，并得到，根据弧长公式计算即可. 【详解】（1），点到平面的距离为2 所以为等腰三角形，点到的距离为 所以，设点到平面的距离为 由，所以 又设DE与平面所成角为， 所以,所以 （2）该长方体的外接球的球心为正方体的中心, 外接球的半径为 ，所以 所以 所以所求结果为 方法总结：球面距离问题重点在于①球半径②过两点大圆的圆心角。 对点训练 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 【答案】673 【分析】设地球球心为点，上海、台北分别为点，计算出的大小，进而可求解. 【详解】因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上. 在这个大圆上，设地球球心为点，上海、台北分别为点， 由上海、台北的经纬度可知,地球半径为（千米）， 所以（千米）. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）设地球的半径为R，在北纬圏上的两地A､B的经度差为，则A，B两地的球面距离为 . 【答案】 【分析】在纬度圏上求得弦长，然后求出弦所对球心角，最后由弧长公式得球面距离． 【详解】如图，是球心，是北纬圏的圆心，则，， ， ， 所以，则， 所以A，B两地的球面距离即为在大圆上劣弧长为． 故答案为：． 三．内切球独立轴截面法 例题1．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【分析】证明平面，从而得点的轨迹为平面与球的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球半径利用球的体积公式计算可得． 【详解】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面，得点的轨迹为平面与球的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解． 例题2．（2024·上海静安·一模）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为 . 【答案】 【分析】根据正三棱锥的性质结合图形，利用比例关系求出内切圆的半径，再求出侧面切点所在圆的半径，即可求出 【详解】如图，    设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为， 为等边三角形， , ,, , , , 即 , ，解得， , 由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故, 由余弦定理可得， 所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据正棱锥性质、正三角形的性质，利用相似三角形，求出内切球的半径，是解决问题的关键，属于中档题. 方法总结：独立轴截面法是解决内切球问题的一个重要方法，将三维问题转化到二维问题，然后在平面中求出半径。 对点训练 1．（2023·上海长宁）在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为 ． 【答案】 【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解. 【详解】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：    由题意，由知， 由圆的切线长性质可知，所以， 所以， 所以该四棱台的内切球的半径为， 下面画出正四棱台， 连接,，交于点,连接,，交于点，如图，    由可得,，， 设外接球的半径为，，则， 由得，解得， 于是，则. 所以. 故答案为：. 四．内切球等体积法 例题1．（22-23高三上·浙江丽水·期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解. 【详解】不妨设菱形的边长为，，， 外接球半径为，内切球半径为， 取中点为，连接， 因为，所以， 当平面平面时，平面平面， 平面，所以平面， 此时四面体的高最大为， 因为，所以 所以， ， 令解得， 令解得， 所以在单调递增，单调递减， 所以当时最大，最大体积为， 此时， 以四面体的顶点构造长方体，长宽高为， 则有解得，所以， 所以外接球的表面积为， 又因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以，所以内切球的表面积为， 所以内切球和外接球表面积之比为， 故选:C. 例题2．（23-24高三上·上海普陀·期中）棱长为6的正四面体的内切球（球心在四面体内部，与各面均相切）的体积为 . 【答案】 【分析】先根据正四面体体积求内切球半径，再根据球体积公式求结果. 【详解】设内切球半径为，正四面体底面积为，高为 则 因此内切球体积为 故答案为 【点睛】本题考查正四面体体积以及球体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 方法总结：等体积法是内切球问题的重要方法之一，也是常用方法，内切球问题，关键在于求半径。 对点训练 1．（2024·四川攀枝花·三模）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，给出下列结论：①平面；②平面；③圆锥的侧面积为；④三棱锥的内切球表面积为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正弦定理求得圆锥的底面半径，从而求的圆锥的高，再计算出圆锥的侧面积即可判断③；采用反证的方法可判断①；根据线面垂直的判定定理可判定平面判断②，求出三棱锥的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，即可判断④. 【详解】由是底面圆的内接正三角形，， 设圆锥的底面半径为，则可得，即 ，则， 因为，故高， 所以圆锥的侧面积，故③正确； 假设平面，由于平面，平面平面， 故，则，而因为为底面圆的直径，， 又，且（矛盾），故、不可能平行， 故假设不成立，所以与平面不平行，故①错误； 因为为线段的中点，故， 则，，， 故，，均为直角三角形，即，， 又，平面，所以平面，故②正确； 又，， ， 设三棱锥的内切球的半径为，则， 即，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积，故④正确. 故选：C 2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）在平面几何中,若一个边形存在内切圆,将内切圆的圆心与边形顶点连接,可将此边形分割成个等高的三角形，边形的周长为,面积为,内切圆的半径为 ,那么，类比此方法，若一多面体的体积为,全面积为,且此多面体存在内切球,则此内切球的表面积为 . 【答案】 【分析】类比多边形内切圆求半径的方法，以内切球的球心为顶点，将多面体分割为棱锥，且它们的高都等于球的半径R，则，可求出半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】设内切球半径为R, 以内切球的球心为顶点，将多面体分割为棱锥，且它们的高都等于球的半径R， 所以， 解得, 所以球的表面积 故答案为 【点睛】本题主要考查了类比推理，棱锥的体积，球的表面积，属于中档题. 五．外接球问题 例题1．（22-23高三上·上海·阶段练习）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，直线AC1与平面BCC1B1所成角的大小是30°，则该四棱柱的外接球表面积大小是 . 【答案】 【分析】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接，则为直线AC1与平面BCC1B1所成角，结合题中的条件可得底面边长，进一步得到外接球的半径，得到答案. 【详解】连接，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面. 所以为直线与平面所成角，即. 设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为,则 所以在直角三角形中，. 则,所以. 又正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为，则半径. 所以球的表面积为：. 故答案为： 【点睛】本题考查正四棱柱的外接球的表面积和线面角，空间角解决的关键是作出相应的角，属于基础题． 例题2．（22-23高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法,求得点到平面的距离，然后计算即可. （2）先计算该长方体的外接球的半径，然后使用余弦定理得到，并得到，根据弧长公式计算即可. 【详解】（1），点到平面的距离为2 所以为等腰三角形，点到的距离为 所以，设点到平面的距离为 由，所以 又设DE与平面所成角为， 所以,所以 （2）该长方体的外接球的球心为正方体的中心, 外接球的半径为 ，所以 所以 所以所求结果为 方法总结：外接球问题方法较多，可通过补形为长方体，正方体求解，可利计算法求出球心的位置，外接球，求半径是核心。 对点训练 1．（2023·上海长宁·一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 【答案】 【分析】首先根据题意建立、的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】根据题意作图如下： 设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为. 故答案为：. 2．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，可得底面为直角三角形，设中点为，连接，则三棱锥外接球的球心在上，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】解：如图， ，，，，可得， 取的中点，则为三角形的外心，连接， ，为在底面三角形的射影， 设三棱锥的外接球的球心为，则在上， 设球的半径为，可得，解得， 球的表面积为． 故答案为：． 1．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 【答案】 【分析】求出的外心，利用球心到所在平面的距离为球半径的四分之一，求出球的半径，即可求出球的体积． 【详解】由题意，，，，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到所在平面的距离为球半径的， 所以，解得，则. ∴球的体积为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 3．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高， 设圆锥的内切球半径， 由，可得， 即，解之得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解之得. 则实数的最大值为2. 故答案为：2 4．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论. 【详解】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为， 因为，所以， 又，所以， 当两截面在球心的同侧时，， 解得，球的表面积为； 当两截面在球心的同侧时，，无解； 综上，所求球的表面积为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 【答案】. 【分析】利用球与正四棱柱的特征求轨迹长度即可. 【详解】 如图所示，以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱的表面交线为四段弧， 分别在平面上， 易知，， ， 所以交线长为. 故答案为： 7．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为 . 【答案】 【分析】球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得BC，再由正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离. 【详解】如图所示，设球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为， ∵球的表面积为，则球的半径满足，解得，即， 则，即为的外心， ∵，，，由余弦定理得， 由正弦定理得，外接圆半径， 故，即球心到平面的距离为. 故答案为： 8．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆M的面积求得圆的半径，再根据勾股定理即可得解. 【详解】解：设球O为R，则， 因为圆M的面积为，所以圆M的半径为， 根据勾股定理， 所以球O的体积为. 故答案为：. 9．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】先根据勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识得到当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，再算出截面圆半径的最小值，进而可得截面面积的最小值． 【详解】设正的中心为，连结， 因为是正的中心，、、三点都在球面上， 所以平面， 因为球的半径，且球心到平面的距离为2， 所以， 所以在中，， 又因为E为AB的中点，是等边三角形， 所以， 当截面与OE垂直时，该截面圆的半径最小， 所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积取得最小值． 此时截面圆的半径，可得截面面积为. 故答案为：. 10．（2022·上海·模拟预测）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为 . 【答案】 【分析】根据已知条件可求得，连接，可得线段，设截面圆为圆，可求出截面圆的半径，在中，利用余弦定理求出，进而可得，再利用扇形的面积减去的面积即可求解. 【详解】因为球的半径为，球面上两点，的最短距离为， 所以， 设经过，两点的平面截球所得的圆面为圆，则平面，且， 所以截面圆圆的半径， 连接，因为，，所以线段， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积， 即为： ， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$