专题02 锥体重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题02 锥体重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 棱锥的结构特征和分类 题型二 正棱锥及其有关计算 题型三 棱锥的展开图 题型四 棱锥中截面的有关计算 题型五 圆锥的结构特征辨析 题型六 圆锥中截面的有关计算 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 棱锥表面积的有关计算 题型十 圆锥表面积的有关计算 知识点01：棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 知识点02：圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点03：棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 知识点04：锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 知识点05：锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【经典例题一 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 1．（23-24高三上·北京·强基计划）考虑三维空间中任意给定的空间四边形，A，B，C，D是四个顶点，四条线段依次首尾相接，将点A的内角定义为射线和射线的夹角，其补角为角A的外角，其他顶点定义类似，考虑这种空间四边形的外角和x，则有（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）如果一个四面体共有三个面是直角三角形，我们称这个四面体的“直度”为，如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个n面体的直度为．显然一个n面体的直度不大于1．试回答以下问题： (1)直度为的四面体是否只有一种？ (2)是否存在直度为1的四面体？ (3)试想一个五面体，使它的直度尽可能地大． 【经典例题二 正棱锥及其有关计算】 【例2】（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 2．（23-24高一下·江西九江·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．如图“三角垛”共三层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径均为1且两两相切，则该“三角垛”的高度为 ．    3．（23-24高一·全国·课后作业）一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？（请写出有可能） 【经典例题三 棱锥的展开图】 【例3】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 1．（23-24高一下·福建漳州·期末）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东东营·期末）用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是 ． 3．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【经典例题四 棱锥中截面的有关计算】 【例4】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 2．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【经典例题五 圆锥的结构特征辨析】 【例5】（23-24高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【经典例题六 圆锥中截面的有关计算】 【例6】（22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（23-24高二上·河北廊坊·阶段练习）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南·阶段练习）一个圆锥母线与底面所成的角的正切值为，母线长为，用过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 . 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【经典例题七 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例7】（2024·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.      (1)求圆柱侧面积的最大值； (2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线交于点，一只蚂蚁从点处出发沿圆锥侧面爬行一周到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 【经典例题八 锥体体积的有关计】 【例8】（23-24高二上·上海·单元测试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)（    ）    A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）三棱锥中，E，F分别为的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶2 2．（24-25高二·上海·课堂例题）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此三棱锥的体积是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）用一个平面去截正方体，得到一个三棱锥，截得的三棱锥中，除了截面外另三个面的面积分别为、、．求这个三棱锥的体积． 【经典例题九 棱锥表面积的有关计算】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四面体的各棱长均为，则它的表面积为 . 3．（22-23高一下·贵州·阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 【经典例题十 圆锥表面积的有关计算】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为直角三角形的圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为 ． 3．（23-24高一下·河南开封·期中）如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）． (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值． 1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·海南海口·模拟预测）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮 尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒 尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑． 如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可 近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（     ）      A． B． C． D． 5．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川成都·二模）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个 7．（22-23高一·全国·课后作业）华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 8．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    9．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 10．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ． 11．（2024高二·全国·专题练习）圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，求过两条母线的最大截面的面积． 12．（23-24高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 13．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 14．（23-24高一下·广东潮州·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 15．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锥体重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 棱锥的结构特征和分类 题型二 正棱锥及其有关计算 题型三 棱锥的展开图 题型四 棱锥中截面的有关计算 题型五 圆锥的结构特征辨析 题型六 圆锥中截面的有关计算 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 棱锥表面积的有关计算 题型十 圆锥表面积的有关计算 知识点01：棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 知识点02：圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点03：棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 知识点04：锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 知识点05：锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【经典例题一 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出即得. 【详解】在四棱锥中，连接交于，连，则为的中点，如图，    正方形中，，， 在与中，，则≌， 于是， 由余弦定理得， 所以的周长为. 故选：C 1．（23-24高三上·北京·强基计划）考虑三维空间中任意给定的空间四边形，A，B，C，D是四个顶点，四条线段依次首尾相接，将点A的内角定义为射线和射线的夹角，其补角为角A的外角，其他顶点定义类似，考虑这种空间四边形的外角和x，则有（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】首先外角和与内角和之和为，再根据各角的不等关系可证内角和不大于，外角和不小于． 【详解】对于空间四边形，外角和与内角和之和为，因此考虑内角和与的大小关系． 取A，B，C，D为正四面体的四个顶点，则内角和为， 因此选项AC都错误， 接下来证明内角和不大于． 事实上，有 从而 ， 因此内角和不大于，外角和不小于． 故选：B. 2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围. 【详解】第一种情况，两边在一个三角形内时：    假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设 则，即， 所以，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，取中点，连接， 则，由两边之和大于第三边可知：，解得：，故.    综上，. 故答案为：. 3．（2024高二·全国·专题练习）如果一个四面体共有三个面是直角三角形，我们称这个四面体的“直度”为，如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个n面体的直度为．显然一个n面体的直度不大于1．试回答以下问题： (1)直度为的四面体是否只有一种？ (2)是否存在直度为1的四面体？ (3)试想一个五面体，使它的直度尽可能地大． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意构造、归纳图形，用新方法研究问题的定义，又要寻找适合定义的数学模型，进而判断结论； （2）根据直度为1构造、归纳四面体，进而判断结论； （3）根据五面体用新方法研究问题的定义，进而判断结论； 【详解】（1）正方体一角的四面体ABCD是一个直度为的四面体．如图1所示．    另一种直度为的四面体可用以下方法来构造，如图2，设平面四边形ABCD中，，，，但．    沿对角线AC把△ADC折起，使，此时，∴四面体ABCD的直度为． （2） 如图3，四面体ABCD由一个长方体截得，其直度为1（用三垂线定理不难证明其四个面均为直角三角形）    （3） 如图4中的五面体PABCD，它是由一个立方体截得的，其直度为．这是直度最大的五面体．    【经典例题二 正棱锥及其有关计算】 【例2】（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四个球的球心设为一个三棱锥的四个顶点，求出三棱锥的高再加上大球、小球的半径即可. 【详解】如图所示：    设下层三个半径为1的球的球心分别为，，， 上层较小的球的球心为，则是边长为2的等边三角形， ，过作平面的垂线，交平面于点， 则是的重心，则有， 所以， 所以上层小球的最高点到桌面的距离为：. 故选：A. 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】D 【分析】对于选项A，考虑正四面体.对于B，C，D选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形. 【详解】对于选项A，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A； 对于选项B，考虑如图所示的正四棱锥. 满足， 为底面正方形中心，EO平面ABCD. 因底面为正方形，故， 则，，，两两全等，得. 故存在满足条件的正四棱锥，排除B； 对于选项C，考虑如图所示的五棱锥. 满足， O为底面正五边形中心，FO平面ABCDE. 因底面为正五边形，故， 则，，，，两两全等.得. 故存在满足条件的正五棱锥，排除C； 对于选项D，考虑如图所示的正六棱锥. 满足， O为底面正六边形中心.GO平面ABCDEF. 但注意到OA=AB，，则有. 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·江西九江·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．如图“三角垛”共三层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径均为1且两两相切，则该“三角垛”的高度为 ．    【答案】 【分析】依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体的棱长为，则该“三角垛”的高度为正四面体的高，求出正四面体的高，即可得解. 【详解】依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体的棱长为， 则该“三角垛”的高度为正四面体的高， 如图正四面体棱长为，设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点， 连接，则为底面上的高，，， 所以，所以“三角垛”的高度为.    故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？（请写出有可能） 【答案】三、四、五 【分析】设正棱锥侧棱的棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c，根据正棱锥的侧棱在底面内的射影为c，再比较b和c的大小即可判断该正棱锥是否存在． 【详解】设正棱锥侧棱的棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c， 则正棱锥的侧棱在底面内的射影为c， 当，，时，都有，此时都有可能成立，即正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥； 当时，有，此时只有，即正棱锥不可能是六棱锥； 当时，都有，此时只有，即正棱锥不可能是n（）棱锥， 综上，正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥，且不可能超过五棱锥． 【经典例题三 棱锥的展开图】 【例3】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 平面平面平面平面. 如图，设点关于平面对称的点为，连接，， 则四边形为平行四边形且. 连接（当且仅当三点共线时取等号）. 取的中点，连接， 则平面平面. 在中，由余弦定理，得， ，的最小值为. 故选：A. 1．（23-24高一下·福建漳州·期末）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】空间四边形中为定值，故只需求折线段的最小值，通过翻折的办法转化为平面问题，然后通过作对称点的办法解决. 【详解】 由于为定值，故只需求折线段的最小值，将侧面翻折到和底面重合，得到的形状如下，于是转化成平面问题，折线段的最值可通过作对称点的方式处理，作关于的对称点，连接和交于，交于，由于，显然为的中位线，则，由和相似可得，说明这样的符合题意，故，于是空间四边形的周长的最小值为. 故选：C 2．（23-24高一下·山东东营·期末）用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是 ． 【答案】 【分析】作出图形，在棱长为的正四棱锥中，设、分别为、的中点，连接、、，计算出、、的长，设正方形纸片的边长为，可得出，即可求得的最小值. 【详解】如下图所示，在棱长为的正四棱锥中，        设、分别为、的中点，连接、、， 因为是边长为的等边三角形，则，且， 同理可得， 因为四边形是边长为的正方形，且、分别为、的中点， 所以，且，所以，四边形为平行四边形，故， 设正方形纸片的边长为，如上图所示，则， 解得. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【答案】见详解 【分析】展开三棱锥，利用两点之间线段最短结合三角形的全等与相似计算即可. 【详解】    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 【经典例题四 棱锥中截面的有关计算】 【例4】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 2．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【答案】作图见解析，. 【分析】设E是SC的中点，根据线面平行性质定理确定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面积公式可得. 【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，    因为为平行四边形，所以是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，的面积即为所求. 易知， 所以， 由，知， 又为正三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以. 【经典例题五 圆锥的结构特征辨析】 【例5】（23-24高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，， 所以，则. 故选：D 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】 根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【详解】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 【经典例题六 圆锥中截面的有关计算】 【例6】（22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由其侧面展开图的中心角可求得底面圆的半径为，当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，从而可得结论. 【详解】设底面圆的半径为，，解得，由圆锥母线长为2，可得圆锥轴截面的顶角为， 当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，此时. 故选：C. 1．（23-24高二上·河北廊坊·阶段练习）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的大小圆锥底面半径、母线之间的关系，可得答案. 【详解】由题意，作圆锥的轴截面，如下图： 则，易知，则， 则截得圆台之前的圆锥侧面积为， 截圆台之后的小圆锥的侧面积为， 则圆台的侧面积为， 故选：D. 2．（23-24高二上·云南·阶段练习）一个圆锥母线与底面所成的角的正切值为，母线长为，用过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 . 【答案】5 【分析】求出的长，得出所截面积的表达式，即可求出所得截面面积的最大值. 【详解】由题意，设圆锥的顶点为S，底面圆心为O， 过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB，E为AB的中点，    则， 由，得， ∵圆锥母线长为，结合勾股定理解得，，，， ∴ ， ∵，， ∴当，时，取得最大值为5. 故答案为：5. 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 【经典例题七 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例7】（2024·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，可得到圆锥底面半径和侧面展开图的扇形弧长，根据两者关系可得，利用三角函数的单调性，结合选项验证即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长， 因此，即 又因为，故， 所以关于单调递增， 验证选项可知当时，符合题意． 故选：D 1．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径. 【详解】如图为半圆锥的侧面展开图， 连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长， 设展开图的扇形的圆心角为， 根据题意得， 在中，，所以， 所以扇形弧长为， 所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    【答案】50 【分析】将圆锥沿剪开得到扇形，根据圆锥的相关长度得出扇形的相关长度，根据展开图，求解即可得出答案. 【详解】    如图，将圆锥沿剪开， 则圆锥的母线即扇形的半径， 圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为， 所以圆心角，即. 又，， 所以，. 所以，这段铁路的长度为公里. 故答案为：50. 3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.      (1)求圆柱侧面积的最大值； (2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线交于点，一只蚂蚁从点处出发沿圆锥侧面爬行一周到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）作出圆锥的半轴截面图求得圆锥的高，设圆柱的高为，底面半径为，则，进而得圆柱的侧面积表达式，即可求得最大值. （2）由题意可得点为的中点，圆锥的侧面展开图为扇形，求出扇形的圆心角，在展开图中即可求出最短距离. 【详解】（1）作出圆锥的半轴截面图，如图1，由题意得圆锥的高为， 设圆柱的高为，底面半径为， 则，即， 则圆柱的侧面积， 当时，取得最大值.    （2）由（1）可得圆柱底面半径为1，，由相似性质可得点为的中点， 设圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，则，即， 当蚂蚁爬行的距离最短时，则爬行的距离即展开图2中的长，即， 所以最短距离为. 【经典例题八 锥体体积的有关计】 【例8】（23-24高二上·上海·单元测试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)（    ）    A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒 【答案】B 【分析】对于A、B项，由圆锥的体积公式计算即可；对于C、D项，根据细沙的体积计算即可. 【详解】A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径， 所以体积，即A正确； B项，沙漏的体积，即B错误； C项，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知， ，所以，即C正确； D项，由上计算可得细沙的体积为， 沙漏每秒钟漏下的沙， 所以一个沙时为(秒)，即D正确． 故选：B 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）三棱锥中，E，F分别为的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶2 【答案】A 【分析】作出简图，平面AEF将三棱锥分为三棱锥和四棱锥，由A到三棱锥和四棱锥的距离相等，所以体积比即，由相似三角形求出面积比. 【详解】如图， 因为E，F分别为PB，PC的中点，所以，且， 所以，设点A到平面PBC的距离为d， 则. 故选：A. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此三棱锥的体积是 ． 【答案】 【分析】过做垂直平面，求出，代入三棱锥公式即可求解. 【详解】由题意知侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9， 所以，因为是等边三角形， 所以可得，，所以， . 故答案为： 【点睛】 3．（23-24高二·上海·课堂例题）用一个平面去截正方体，得到一个三棱锥，截得的三棱锥中，除了截面外另三个面的面积分别为、、．求这个三棱锥的体积． 【答案】 【分析】由正方体性质利用垂直关系，利用两两垂直的侧棱表示面积与体积，用整体表示体积可得. 【详解】如图，设从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥， 不妨设， 则，则 .    【经典例题九 棱锥表面积的有关计算】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，再根据题意列出方程，即可求得，从而得到结果. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为， 则底面面积为， 侧面积为， 且表面积是底面积的5倍， 则侧面积是底面积的4倍，即， 化简可得，即. 所以. 故选：A 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四面体的各棱长均为，则它的表面积为 . 【答案】 【分析】结合三棱锥表面积法则，利用等边三角形面积公式求解即可. 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍. 因为是正三角形，其边长为，所以. 因此，四面体的表面积. 故答案为：. 3．（22-23高一下·贵州·阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)，； 【分析】（1）作，垂足分别为M，N，然后在中利用三角函数定义可得； （2）用正方形面积减去4个全等的等腰三角形面积可得. 【详解】（1）作，垂足分别为M，N， 由题可知，M，N分别为EF，AB的中点， 所以在中，，， 所以， 易知，在中， 所以， 即 （2）在中，易知， 所以， 又正方形ABCD的面积为， 所以正四棱锥的表面积记 因为，所以， 所以 【经典例题十 圆锥表面积的有关计算】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为直角三角形的圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面积公式表示出侧面积，得出答案. 【详解】 设该圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以该圆锥的母线长为，则，得，则圆锥的高， 故选:D． 1．（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得底面半径，再利用圆锥表面积公式计算即可得. 【详解】圆锥的底面半径为， 由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得， 即圆锥的底面半径， 则. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件，列出关于底面半径和母线长的方程组，解方程组可得. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l．如图：为圆锥的轴截面 所以 由①得③． 由得④． 将③代入④，得或， 所以或． 故答案为：或. 3．（23-24高一下·河南开封·期中）如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）． (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为 【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值. 【详解】（1）圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为． （2）设圆柱的底面半径为r， 如图可得，即， 得． 所以圆柱的侧面积． 所以当时，S取得最大值． 即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为． 1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图所示，为圆锥的轴截面， 设圆锥的底面半径为， 若，所得截面面积最大值为， ，不符合题意； 若， 此时所得截面面积的最大值，符合题意， 此时有，所以， 又，所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 3．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何体的空间结构特征，求解其表面积即可. 【详解】正方体的棱长为2，根据图形，取正方体一条棱的中点，连接， 则，且，所以， 因为侧面为等边三角形，所以. 所以该八面体的表面积. 故选：B.    4．（2023·海南海口·模拟预测）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮 尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒 尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑． 如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可 近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果. 【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正六边形的边长为， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为， 所以侧棱长为， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为. 故选：D 5．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值． 【详解】依题意，半径为，山高为，则母线， 底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图， 显然， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段， 由直角三角形射影定理知，即，解得， 所以公路上坡路段长为． 故选：D 6．（2023·四川成都·二模）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个 【答案】4 【分析】把四棱锥放在正方体中，分析得到答案. 【详解】四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多是4个，即，，，， 故答案为：4. 7．（22-23高一·全国·课后作业）华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 【答案】20 【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点， 连接、，则，， 因为，所以， 因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米， 由可得， 所以， 则塔高约为米， 故答案为：20. 8．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 【详解】如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 9．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 【答案】 【分析】先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案. 【详解】把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 依题意：小虫爬行的最短路程为. 因为母线长， 所以在中． 则由弧长公式得：． 设圆锥底面圆的半径为r. 则，解得 故答案为： 10．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的高，即得答案. 【详解】如图1，过⊙F圆心F作于E，于G， 则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则， 小圆周长为，扇形弧长为， ∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， ∵正方形铁皮边长为，， ，∴； 在图2中，， 由勾股定理得，圆锥的高，    故答案为：. 11．（2024高二·全国·专题练习）圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，求过两条母线的最大截面的面积． 【答案】答案见解析 【分析】过圆锥的顶点的截面为等腰三角形，选顶角为自变量，建立目标函数，再求最值. 【详解】如图，    轴截面中，，过母线的截面为等腰三角形，设它的顶角为， 则其面积为． 当时为增函数，当时为减函数， 注意到过两条母线的所有截面中以轴截面的顶角为最大． （1）当时，最大截面为轴截面，其最大面积为． （2）当，时，截面积最大，． 12．（23-24高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由题意可得，从而可判断出轴截面是等边三角形，进而可求得答案. 【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r． 由侧面展开图恰好是一个半圆知， 所以轴截面是等边三角形， 故母线与底面直径所成角的大小是． 13．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    14．（23-24高一下·广东潮州·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意圆锥底面圆为棱柱底面正三角形的内切圆，利用等面积法列式求解即可； （2）分别求出正三棱柱的表面积，圆锥的底面面积和侧面积，即可求解表面积. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆， 利用等面积法得，解得， （2）因为正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为， 所以倒圆锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 15．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解. 【详解】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积 . （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面， 平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$