常见方程及不等式的解法 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 常见方程及不等式的解法 重点题型·归类精讲 题型一 一元一次方程 【例1-1】 (1) (2) (3) 【变式1】 (1)； (2) 题型二 二元一次方程组 【例2-1】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】解方程组： (1)； (2)． 题型三 一元二次方程 【例3-1】解方程： (1)； (2)． 【例1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型四 一元一次不等式（组） 【例4-1】（2024年真题改编）函数需要满足，问的解集为 【例4-2】（2017年真题改编）函数需要满足，问的解集为（ ） 【例4-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】解不等式组． 【变式1】利用不等式的性质解不等式：． 【变式2】利用不等式的性质解不等式：． 题型五 一元二次不等式 【例5-1】（2022年真题改编）已知函数需要满足，请问的解集为（ ） A． B． C． D． 【例5-2】（2021年真题改编）函数需要满足，请问的解集为（ ） 【例5-3】（2021年真题）不等式的解集是 ． 【例5-4】（2020年真题改编）函数的定义域需要满足，请问的解集为（ ） 【例5-5】（2016年真题）不等式的解集是__ 【变式1】（2007年真题）已知，不等式的解集是___ 【变式2】解下列不等式 （1） （2）. （3） （4） （5） （6） 题型六 分式不等式 【例6-1】（2018年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【例6-2】（2017年真题节选）已知函数 (1)若，求的取值范围 【例6-3】（2015年真题）不等式的解集是___ 【例6-4】（2014年真题改编）函数需要满足，则的解集为 【变式1】（2011年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【变式2】（2008年真题）不等式的解集是___ 【变式3】解下列不等式： （1）； （2） （3）. （4）； （5）； （6）． 题型七 绝对值不等式 【例7-1】（2022年真题）不等式的解集是 ． 【变式1】（1）（2）；（3）； 题型八 根式不等式 【例8-1】（2014年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【例8-2】（2012年真题）不等式的解集是___ 【例8-3】（2004年真题）解不等式： 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集是 ． 题型九 指数不等式 【例9-1】（2019年真题），则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【例9-2】（2016年真题改编）函数需要满足，的解集为（ ） 【例9-3】（2003年真题）已知，那么 A、 B、 C、 D、或 【变式1】（2003年真题）解不等式 【变式2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型十 对数不等式 【例10-1】（2020年真题）不等式的解集为__ _ 【例10-2】（2009年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【例10-3】（2006年真题改编）函数需要满足，则的解集为（ ） A、 B、 C、 D、 【变式1】（2013年真题）不等式的解集为 A、 B、 C、 D、 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 课后模拟·巩固练习 1、解方程（组） (1) (2) 2、解方程 (1) (2) 3、解方程 (1) (2) 4、解下列二元一次方程组： (1) (2) 5、解方程组：． 6、（1）解方程组 （2）解不等式 7、解下列方程或方程组： (1)； (2)． 8、解下列方程组： (1)； (2)． 9、解下列方程 (1) (2) (3) (4) 10、利用不等式的性质解不等式：． 11、解不等式：． 12、解不等式． 13、解不等式（组） (1)； (2)； (3)． 14、解不等式：． 15、解下列一元一次不等式和一元一次不等式组． (1)； (2) 16、解不等式 (1)； (2)； (3)． 17、（2010年真题改编）函数需要满足，则的解集为（ ） A、 B、 C、 D、 18、（2010年真题）有下列三个不等式： ①，②，③ 其中 A、①和②的解集相等 B、②和③的解集相等 C、①和③的解集相等 D、①，②，③的解集各不相等 19、（2007年真题）已知集合，集合则 A、 B、 C、 D、 20、（2006年真题）不等式的解集是___ 21、（2003年真题改编）函数需要满足，则的解集为 22、解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 23、解下列不等式： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； （6）. （7）. （8）. （9）. （10）. 24、解下列不等式 （1）； （2）.（3）； （4）.（5） 25、解下列不等式 （1） （2） （3） （4） (5)； (6). 26、解不等式：． 27、解不等式：． 28、解不等式:. 29、已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 30、设集合，．则（    ） A． B． C． D． 31、设集合，，则（    ） A． B． C． D． 32、若集合，，则（    ） A． B． C． D． 33、已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 34、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 35、若集合，，则（　　） A． B． C． D． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$常见方程及不等式的解法 重点题型·归类精讲 题型一 一元一次方程 【例1-1】 (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】 【2025届体育单招数学零基础讲义】 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (1)解： ， ， ； (2)， ， ， (3)， ， ， 【变式1】 (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，可得： 去括号，可得： 移项，合并同类项，可得： 系数化为1，可得：． 题型二 二元一次方程组 【例2-1】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：，∴原方程组的解为，故选：D． 【变式1】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】 （1）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：，将代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 题型三 一元二次方程 【例3-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】 （1）解：，， 则，即， 则，，； （2）解：， ，则， 解得：，． 【例1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，；(2)，． 【详解】 （1）解：整理得， ， 解得：，； （2）解：整理得， 配方得，即， ， ，． 【变式1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)，(2)，(3)，(4)无实数根(5)，(6) 【详解】 （1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，； （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，，， ， 原方程无实数根； （5）解：， ， 或 ，； （6）解：， ， ， ． 题型四 一元一次不等式（组） 【例4-1】（2024年真题改编）函数需要满足，问的解集为 【答案】或 【解析】本题考查定义域。对数函数真数大于 【例4-2】（2017年真题改编）函数需要满足，问的解集为（ ） 【答案】C 【解析】根号下大于等于0，分母不能为 【例4-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，则，∴，∴，故选：A． 【例4-3】解不等式组． 【答案】无解，在数轴上表示见解析 【详解】解：， 解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式组无解， 【变式1】利用不等式的性质解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号，得，不等式两边加上2，得， 不等式两边减去，得，不等式两边乘以，得． 【变式2】利用不等式的性质解不等式：． 【答案】 【详解】两边同加，得，不等式两边同减去8，得，不等式两边同除以，得． 题型五 一元二次不等式 【例5-1】（2022年真题改编）已知函数需要满足，请问的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对数函数真数大于0、根号下大于等于0,即。 【例5-2】（2021年真题改编）函数需要满足，请问的解集为（ ） 【答案】A 【解析】。选A 【例5-3】（2021年真题）不等式的解集是 ． 【答案】或 【解析】 求不等式解集，往两边取，或 【例5-4】（2020年真题改编）函数的定义域需要满足，请问的解集为（ ） 【答案】C 【解析】定义域为的范围，根号下不能为负数，即 (十字相乘或者求根公式求解按2次、1次、常数顺序排列) 或(大于往两边取、小于往中间取) 【例5-5】（2016年真题）不等式的解集是__ 【答案】 【解析】 【变式1】（2007年真题）已知，不等式的解集是___ 【答案】 【解析】时，，解集为 【变式2】解下列不等式 （1） （2）. （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）（2）（3） （4）或；（5）；（6）不等式无解 【解析】 （1），所以不等式的解集为. 故答案为： （2）原不等式可化为，由于， 方程的两根为，，∴不等式的解集为. （3）所以不等式的解集为. （4）不等式可化为，∴不等式的解是或. （5）不等式可化为，∴不等式的解是. （6）不等式可化为．∴不等式无解 题型六 分式不等式 【例6-1】（2018年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 (解不等式大于取两边、小于取中间，前提前面系数为正) 大于取两边或(分母不为) 【例6-2】（2017年真题节选）已知函数 (1)若，求的取值范围 ，若，则，且，即的取值范围是 【例6-3】（2015年真题）不等式的解集是___ 【答案】 【解析】与同号，或利用开口向下、求轴上方的部分 【例6-4】（2014年真题改编）函数需要满足，则的解集为 【答案】 【解析】对数函数真数大于，所以两者同号，即 【变式1】（2011年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】与异号，或利用开口向上、求轴下方的部分 【变式2】（2008年真题）不等式的解集是___ 【答案】 【解析】不等式小于0，分子分母异号，异号得负，， 故，即 【变式3】解下列不等式： （1）； （2） （3）. （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）（3）或. （4）（5）（6） 【解析】 （1）等价于，解得， 解集为. （2）由题意，不等式可解得或，所以不等式的解集为. （3）∵，∴，∴，即. 此不等式等价于且x－≠0，解得或， ∴原不等式的解集为或. （4）移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得． （5）将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为． （6）由，得，即，或， 得或，得或，即不等式的解集为． 题型七 绝对值不等式 【例7-1】（2022年真题）不等式的解集是 ． 【答案】或 【解析】解得解得 【变式1】（1）（2）；（3）； 【答案】（1）(2)（3） 【解析】（1）因为所以或，或，所以不等式的解集为（2）或，解得或，所以不等式的解集为；（3），解得，所以不等式的解集为； 题型八 根式不等式 【例8-1】（2014年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】首先，根号下大于等于0，即或： 其次，两边同时平方， 【例8-2】（2012年真题）不等式的解集是___ 【答案】 【解析】首先，根号下大于等于0，即; ①，两边同时平方， 所以②，，所以综上： 【例8-3】（2004年真题）解不等式： 解：根号下大于等于，函数的定义域为 ①当、即时两边同时平方得： 故②当时， 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，需满足，解得，所以不等式的解集为.故选：C. 【变式2】不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】要使不等式有意义，则有，解得：. 当时，不等式恒成立；当时，不等式可化为，解得：，所以，因为，所以，综上：原不等式的解集为， 题型九 指数不等式 【例9-1】（2019年真题），则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【答案】A. 【解析】 【例9-2】（2016年真题改编）函数需要满足，的解集为（ ） 【答案】 【解析】的3次方等于8，所以 【例9-3】（2003年真题）已知，那么 A、 B、 C、 D、或 【答案】B 【解析】， 【变式1】（2003年真题）解不等式 解： 【变式2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，即，所以，所以，，∴，；故选：D 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以，即所以因为所以故选：C 题型十 对数不等式 【例10-1】（2020年真题）不等式的解集为__ _ 【答案】 【解析】解不等式首先解方程，然后根据函数单调性求解所以的解集为 【例10-2】（2009年真题）不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】对数函数的真数，即，解得或，，故选D 【例10-3】（2006年真题改编）函数需要满足，则的解集为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】根号下大于等于所以或，故选 【变式1】（2013年真题）不等式的解集为 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】为增函数，，解得或;真数大于且，解得，所以不等式解集为 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或，所以，则，由，即，所以，解得，所以，所以.故选：C 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，解得，所以． 由解得，即，所以.故选：B． 课后模拟·巩固练习 1、解方程（组） (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为： （2）解： 将①整理可得：③ 将③代入②，可得：， 解得：，将代入①， 解得， 故此方程组的解为：； 2、解方程 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解：， ， ， ． （2）解：，， 即， ， ， ， ， ． 3、解方程 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解： 整理得：， 解得：， （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得： 4、解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解：， 将①代入②，得， 解得：， 将代入①，得， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 5、解方程组：． 【答案】 【详解】解：，，得，解得，把代入①，得，解得， 6、（1）解方程组 （2）解不等式 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1） 得： 得：把代入得： ∴该方程的解为 （2） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 7、解下列方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】 （1）解： 代入得：，解得：， 将代入得：， 原方程组的解为：； （2）解： ， 或． 8、解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】 （1）解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． （2）， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 9、解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】 （1） 解得：； （2） ， ； （3） ； （4） 解得：． 10、利用不等式的性质解不等式：． 【答案】 【详解】解：不等式两边都乘以6，得．去括号，得．不等式两边都加2，得．不等式两边都减去，得．不等式两边除以，得． 11、解不等式：． 【答案】 【详解】解：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，得． 12、解不等式． 【答案】 【详解】解：去分母，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，． 13、解不等式（组） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】 （1）解： ； （2） ；； （3） 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 14、解不等式：． 【答案】 【详解】解：去分母得：，去括号得，，移项得，， 合并同类项得，，系数化为1得，． 15、解下列一元一次不等式和一元一次不等式组． (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 16、解不等式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，(2)，(3)， 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，∴． 17、（2010年真题改编）函数需要满足，则的解集为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】根号下大于等于0，分母不等于0，即，所以函数的定义域为，故选C 18、（2010年真题）有下列三个不等式： ①，②，③ 其中 A、①和②的解集相等 B、②和③的解集相等 C、①和③的解集相等 D、①，②，③的解集各不相等 【答案】D 【解析】①或 ②，定义域，因为为减函数，所以，解得或，故③，故选D 19、（2007年真题）已知集合，集合则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】; ，故选C 20、（2006年真题）不等式的解集是___ 【答案】或 【解析】， 或 21、（2003年真题改编）函数需要满足，则的解集为 【答案】 【解析】对数函数真数大于 22、解下列方程： （1）（2）（3）（4） （5）（6）（7） 【答案】（1）（2）（3）（4） （5），（6）（7）， 【解析】（1），移项，得，二次项系数化为1，得， 配方，得，即，开平方，得，解得； （2），，， （3），整理，得，， （4）或解得： ，， （5） （6），解得：． （7） ∴x+2=0或x-4=0∴， 23、解下列不等式： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； （6）. （7）. （8）. （9）. （10）. 【答案】（1）；（2）；（3）或. （4）或；（5）；（6）或. （7）或；（8）；（9）或；（10）； 【解析】（1）由题意，不等式，可化为， 所以不不等式的解集为； （2）由题意，可得，所以不等式的解集为； （3）由不等式，可化为，即， 所以不等式的解集为或. （4）不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； （5）不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； 不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或. 原不等式等价于，解得不等式的解集为：或； （8）由于，并且开口向上，故原不等式的解集为空集； （9）原不等式等价于，即，解得不等式的解集为：或； （10）由，解得不等式的解集为：； 24、解下列不等式 （1）； （2）.（3）； （4）.（5） 【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）或 【解析】（1），，即，不等式的解集是. （2）或，解得或，所以不等式的解集为. （3）原不等式可化为.解不等式，得. （4）由得，解得，故原不等式的解集为. （5）由，可得或，解得或，解集为或； 25、解下列不等式 （1） （2） （3） （4）(5)； (6). 【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4） (5) 或； (6) 或. 【解析】（1）由题意，原不等式可化为，解得，所以解集为. （2）不等式可转化成不等式组，解得x≤－1或x>3， （3）解得或 （4） ，即 ， 解得： ，不等式的解集是. (5)即所以不等式的解集为：或； (6)即等价于且所以解集为：或. 26、解不等式：． 【答案】 【详解】由题设，即，当时，恒成立；当时，整理得，解得，所以；综上，，故解集为. 27、解不等式：． 【答案】. 【详解】由，得，或，①由，得， 所以，解得，②由，得，综上，不等式的解集为. 28、解不等式:. 【答案】 【详解】解：因为，所以，所以 ，即 . 解得：.所以不等式的解集为. 29、已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，即，所以，所以，所以，由，所以，所以，即，所以.故选：A 30、设集合，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，∴，故选：B． 31、设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以.故选：D. 32、若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，而，∴.故选：C. 33、已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C． 34、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，,则，或，则，或，故选：C. 35、若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式解得，则，，， ∴，故选：B $$