集合与常用逻辑用语 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 集合与常用逻辑用语知识点·梳理 1、元素与集合 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及其记法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或() 2、集合间的基本关系 文字语言 记法 子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素 (或) 真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素不属于A AB(或BA) 相等 、两个集合中的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合 3、集合的基本运算 文字语言 图形语言 记法 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 4、充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. p是q的充分不必要条件 记作p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 记作pq且q⇒p p是q的充分必要条件(简称充要条件) 记作p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 记作pq且qp 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示. （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示. 重点题型·归类精讲 题型一 集合中元素个数 【例1-1】（2023年真题）已知集合，集合，则中元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-2】（2022年真题）若集合，，则的元素共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-3】（2015年真题）若集合，则的元素共有 A、2个 B、3个 C、4个 D、无穷多个 【变式1】设集合，，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 集合的基本运算 【例2-1】集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024年真题）已知集合，，则（ ） A、 B、 C、 D、 【例2-3】（2021年真题）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【例2-4】（2020年真题）已知集合，，则 A、 B、 C、 D、 【例2-5】（2019年真题）设集合，则 A、 B、或 C、 D、 【例2-6】（2017年真题）设集合，则 A、 B、 C、 D、 【变式1】（2016年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【变式2】（2013年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【变式3】（2012年真题）已知集合 A、 B、 C、 D、 【变式4】（2010年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【变式5】（2009年真题）集合则 A、 B、 C、 D、 【变式6】（2008年真题）设集合，集合则 A. B. C. D. 【变式7】（2007年真题）已知集合，集合则 A、 B、 C、 D、 【变式8】（2006年真题）设集合，集合则集合 A、 B、 C、 D、 【变式9】（2005年真题）设集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【变式10】（2004年真题）设集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【变式11】（2003年真题）已知集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【变式12】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式13】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式14】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式15】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式16】已知集合，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 题型三 集合与集合之间的关系 【例3-1】（2014年真题）已知集合，有下面四个命题： ①②③④ 其中是真命题的有___(填写所有真命题的序号) 【例3-2】（2011年真题）设集合，集合，则 A、 B、 C、 D、 【例3-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】数集的非空真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【变式2】已知，，则的子集个数为（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 题型四 充分、必要条件的判断 【例4-1】“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例4-2】（2018年真题）已知，甲：；乙，则 A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【例4-3】（2017年真题）设甲：四边形为矩形;：四边形为平行四边形，则 A、甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C、甲是乙的充分必要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课后模拟·巩固练习 1、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2、设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4、集合，则（    ） A． B． C． D． 5、已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6、已知集合，，则（    ）. A． B． C． D． 7、设集合，则（    ） A． B． C． D． 8、设，，，则（ ） A． B． C． D． 9、已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 10、若集合，则（    ） A． B． C． D． 11、设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 12、设集合，则（ ） A． B． C． D． 13、设集合，，则（ ） A． B． C． D． 14、设集合，则（ ） A． B． C． D． 15、已知集合，，则、间的关系为（ ） A． B． C． D． 16、假设集合，，那么等于（ ） A． B． C． D． 17、已知集合，，若，则的值是（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 18、已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 19、已知集合P=，，则PQ=（ ） A． B． C． D． 20、已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 21、“”是“”的 条件 22、体特优是武汉地区知名的体育单招机构，以超高上岸率成为口碑名校，相信大家能够在体特优一起追寻梦想、共同成长，帮大家开启体育单招成功之路。根据所给信息可得“一名体育单招学生在体特优”是“这名学生2025届单招上岸”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】选择体特优就是选择了上岸！ 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 集合与常用逻辑用语知识点·梳理 1、元素与集合 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及其记法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或() 2、集合间的基本关系 文字语言 记法 子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素 (或) 真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素不属于A AB(或BA) 相等 、两个集合中的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合 3、集合的基本运算 文字语言 图形语言 记法 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 4、充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. p是q的充分不必要条件 记作p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 记作pq且q⇒p p是q的充分必要条件(简称充要条件) 记作p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 记作pq且qp 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示. （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示. 重点题型·归类精讲 题型一 集合中元素个数 【例1-1】（2023年真题）已知集合，集合，则中元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】是的集合，满足比-2大、比1小，而且属于、整数，所以是-1和0的集合，，共4个元素。 【例1-2】（2022年真题）若集合，，则的元素共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】表示整数,集合表示大于-1小于4的整数,即,集合表示大于-2小于1的整数,即;或用画数轴的方法求解,如图,,大于-1、小于1的整数为0,元素有1个。 【例1-3】（2015年真题）若集合，则的元素共有 A、2个 B、3个 C、4个 D、无穷多个 【答案】B 【解析】集合是元素的集合，是什么呢?首先，其次，即自然数，也就是说是大于0、小于的自然数，，共有3个元素。 【变式1】设集合，，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因集合，，又， 则当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10，于是得， 所以中元素的个数为5.故选：C 【变式2】已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B 题型二 集合的基本运算 【例2-1】集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D. 【例2-2】（2024年真题）已知集合，，则（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】考查集合间的运算，区间交集用画数轴方法，，求两者公共部分 【例2-3】（2021年真题）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】意思是集合和两者都有几?两者都有3，故选C。若此题问，意思是两者合并到一块儿都有几?则选D 【例2-4】（2020年真题）已知集合，，则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】是的集合，怎么来的，大于小于是的集合，怎么来的，怎么来的，(自然数)，也就是说自然数的平方，如下图: 0 1 2 3 4 5 ...... 0 1 4 9 16 25 ...... 也就是说，是等等自然数平方的集合，所以集合与集合交于9，选。 【例2-5】（2019年真题）设集合，则 A、 B、或 C、 D、 【答案】C 【解析】解不等式先解方程，大于取两边、小于取中间(当前面的系数是正的时候才可以这样取，不是的话提个负号，大于变小于、小于变大于) 画个数轴，选D 【例2-6】（2017年真题）设集合，则 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】交集，指两个集合的公共元素，故选A 【变式1】（2016年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】集合是元素的集合，，集合交集合，能把2和4交进去，2和4是集合和集合的公共部分 【变式2】（2013年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】两者公共部分从-2到-1，可记作，或 【变式3】（2012年真题）已知集合 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】集合是的集合，，那么，同时，即，接下来用画数轴、方法，求与集合的并集 【变式4】（2010年真题）已知集合，则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】是的集合，是整数的2倍，即的交集大于-1、5、小于1、5的实数，两者的交集，为 【变式5】（2009年真题）集合则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】 【变式6】（2008年真题）设集合，集合则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【变式7】（2007年真题）已知集合，集合则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】; ，故选C 【变式8】（2006年真题）设集合，集合则集合 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】，故 【变式9】（2005年真题）设集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】，故运算结果为 【变式10】（2004年真题）设集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【变式11】（2003年真题）已知集合，则集合 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】;所以 【变式12】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则.故选：A. 【变式13】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 【变式14】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A. 【变式15】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，所以．故选：D 【变式16】已知集合，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知图中阴影部分所表示的集合为所有属于集合A且不属于集合B的元素构成的集合，又集合，，，∴图中阴影部分所表示的集合为.故选：B. 题型三 集合与集合之间的关系 【例3-1】（2014年真题）已知集合，有下面四个命题： ①②③④ 其中是真命题的有___(填写所有真命题的序号) 【答案】①③④ 【解析】集合是的集合，、自然数，所以集合是3的倍数，即；集合是3的倍数，即；集合是3的倍数，即。所以；集合和集合的并集在自然数内的补集，就是集合，即 【例3-2】（2011年真题）设集合，集合，则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】如图 【例3-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，由集合间的关系可知，.故选：A 【变式1】数集的非空真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】C 【解析】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C 【变式2】已知，，则的子集个数为（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【解析】因为，，所以，所以子集个数为，故选：B 题型四 充分、必要条件的判断 【例4-1】“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】四边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形，但是正方形的四边一定相等， 故“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要而不充分条件. 故选：B 【例4-2】（2018年真题）已知，甲：；乙，则 A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】在的前提条件下，由甲:能推出乙:，所以甲是乙的充分条件；由乙:不能推出甲:，甲不是乙的必要条件，甲不必要，还可以或者。 【例4-3】（2017年真题）设甲：四边形为矩形;：四边形为平行四边形，则 A、甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C、甲是乙的充分必要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】矩形都是平行四边形，由甲能推出乙;平行四边形不一定是矩形，由乙推不出甲 【变式1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得，因此“”是“”的必要不充分条件.故选：B 【变式2】“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解方程可得或， ，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【变式3】荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件. 故选:A. 课后模拟·巩固练习 1、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，而，所以.故选：A 2、设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，故选：A 3、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】[方法一]：直接法因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B. 4、集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以故选：A. 5、已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，或，所以，故选：B. 6、已知集合，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以.故选：B. 7、设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以．故选：A. 8、设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，.故选：B 9、已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 10、若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故，故选：D 11、设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A 12、设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，.故选：C. 13、设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由交集的定义结合题意可得：.故选：D. 14、设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以,故选：B. 15、已知集合，，则、间的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故.故选：D. 16、假设集合，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，.故选：B. 17、已知集合，，若，则的值是（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B. 18、已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取，则，其中，所以，，故，因此，.选：C 19、已知集合P=，，则PQ=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B 20、已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论. 【详解】易知集合是集合的真子集， 即可得，所以是的充分而不必要条件. 故选：A 21、“”是“”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”.） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定成立，而当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 22、体特优是武汉地区知名的体育单招机构，以超高上岸率成为口碑名校，相信大家能够在体特优一起追寻梦想、共同成长，帮大家开启体育单招成功之路。根据所给信息可得“一名体育单招学生在体特优”是“这名学生2025届单招上岸”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】选择体特优就是选择了上岸！ 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$