广东省佛山市禅城区荣山中学2023—-2024学年下学期七年级期中数学试卷

广东省佛山市禅城区荣山中学2023-2024学年七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（　　） A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成 C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜 2．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（　　） A．0.34×10﹣5 B．3.4×106 C．3.4×10﹣5 D．3.4×10﹣6 3．（3分）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2是同位角 B．∠2与∠4是内错角 C．∠3与∠4是对顶角 D．∠1与∠3是同旁内角 4．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 5．（3分）下列运算中正确的是（　　） A．x2•x5＝x10 B．（﹣x2）4＝﹣x8 C．（﹣xy2）2＝xy4 D．x5÷x3＝x2 6．（3分）要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 7．（3分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 8．（3分）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 9．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 10．（3分）初二年级在小学段期间外出游学，同学们所乘的客车先在公路上匀速行驶，在服务区休息一段时间后，进入高速路继续匀速行驶．已知客车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的图象如图所示，则客车在高速路上行驶的速度为（　　） A．60千米/小时 B．75千米/小时 C．80千米/小时 D．90千米小时 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）计算：＝　 　． 12．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为　 　度． 13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF．要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是 　 　． 14．（3分）如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝5，D是OB上一动点，则PD的最小值为 　 　． 15．（3分）如图，点O为△ABC的重心，S△ABC＝12，则S△OBC＝　 　． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交BC于点E，连接AE，若BE＝1，则AB的长为 　 　． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）如图，∠ABC＝40°，∠BAE＝140°，点D在线段BC上． （1）请用无刻度的直尺和圆规在AE上找一点F，使∠FDC＝2∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求∠DFE的度数． 18．（4分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积． 19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（﹣3+x），其中x＝﹣2． 20．（6分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，点E，F在AC上，且AE＝CF．求证：∠B＝∠D． 21．（8分）如图，已知线段a，求作以a为底边，以a为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？ 22．（10分）如图，△ABC中，D是BC边的中点，E是BC边上的一个动点，连接AE．设△ADE的面积是变量y，BE的长是变量x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： x 0 1 2 3 4 5 6 y 3 a 1 0 b 2 3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）自变量和因变量分别是什么？ （2）a和b的值分别是多少？ （3）请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说△ADE的面积是怎样变化的？ 23．（10分）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． （1）请表示图①中阴影部分的面积； （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ （3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 24．（12分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧做等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，BP＝，AP＝3，求PC长． （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，线段BD绕点D顺时针旋转60°，点B的对应点为点E，当△ABE为直角三角形时，求△ABE面积． 25．（12分）综合与实践： （1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． ①∠AEB的度数为 　 　；（直接写出） ②线段AD，BE之间的数量关系为 　 　．（直接写出） （2）类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①∠AEB的度数为 　 　；（直接写出） ②证明：线段CM，AE，BE之间的数量关系；（详细过程） （3）拓展延伸；在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，求四边形ABEC的面积．（详细过程） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1． 解：在A中，上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同； 在B中，有志者事竟成，五字均不相同，所以不对称； 在C中，清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同； 在D中，蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同． 故选：B． 2． 解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10﹣6． 故选：D． 3． 解：A．∠1与∠2是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．∠2与∠4是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意； C．∠3与∠4是对顶角，因此选项C不符合题意； D．∠1与∠3是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意； 故选：B． 4． 解：根据三角形的三边关系，知A、2+3＝5，不能组成三角形； B、5+6＞10，能够组成三角形； C、1+1＜3，不能组成三角形； D、3+4＜9，不能组成三角形． 故选：B． 5． 解：A、x2•x5＝x7，故A不符合题意； B、（﹣x2）4＝x8，故B不符合题意； C、（﹣xy2）2＝x2y4，故C不符合题意； D、x5÷x3＝x2，故D符合题意； 故选：D． 6． 解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条， 故选：A． 7． 解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠FDB＝∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 8． 解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC， ∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°， ∴2（∠1+∠3）＝180°， 即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意； ∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意； ∵∠1+∠AEC＝180°， ∴∠1与∠AEC互补， 故D不符合题意． 故选：C． 9． 解：由题意得： 图1的面积＝（a+b）（a﹣b）， 图2的面积＝a2﹣b2， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：B． 10． 解：由题意可得， 客车在高速路上行驶的速度为：（300﹣60）÷（5﹣2）＝80（千米/小时）， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11． 解： ＝1+4 ＝5， 故答案为：5． 12． 解：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x， 根据题意，得180°﹣x＝4x， 解得x＝36°， 故这个角为36°． 13． 解：添加一个条件是：BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：BC＝EF（答案不唯一）． 14． 解：如图，作PD⊥OB交OB与点D， ∵垂线段最短， ∴当PD⊥OB时，PD最短， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA， ∴PD＝PC， ∵PC＝5， ∴PD＝5， 即PD长度最小为5， 故答案为：5． 15． 解：如图，分别延长AO、BO、CO，交BC、AC、AB于点D、E、F， ∵O是△ABC的重心， ∴AD、BE、CF是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ABE＝S△ABC， S△BOD＝S△AOE， 又∵S△AOE＝S△COE， S△BOD＝S△COD， ∴S△AOC＝S△BOC， 同理可得S△BOC＝S△AOB， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOC． ∴S△ABC＝3S△OBC， ∵S△ABC＝12， ∴S△OBC＝4， 故答案为：4． 16． 解：在矩形ABCD中，∠B＝90°， 根据作图过程可知： MN是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2AB﹣BE＝2AB﹣1， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 EA2＝AB2+BE2， ∴（2AB﹣1）2＝AB2+12， 解得AB＝（0舍去）． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17． 解：（1）如图，先在BC的上方作∠CDM＝∠ABC，再作∠MDF＝∠ABC，交AE于点F， 则∠FDC＝2∠ABC， 则点F即为所求． （2）由（1）可知，∠FDC＝2∠ABC＝80°． ∵∠ABC＝40°，∠BAE＝140°， ∴∠ABC+∠BAE＝180°， ∴AE∥BC， ∴∠DFE＝180°﹣∠FDC＝100°． 18． 解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2 ＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2 ＝2x2+5xy； （2）当x＝2，y＝3时， 2x2+5xy ＝2×22+5×2×3 ＝8+30 ＝38（平方米）， 答：文化广场的面积为38平方米． 19． 解：（x﹣1）2﹣2（x+3）（﹣3+x） ＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9） ＝x2﹣2x+1﹣2x2+18 ＝﹣x2﹣2x+19， 当x＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+19＝19． 20． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠B＝∠D． 21． 解：如图，△ABC即为所求． 22． 解：（1）自变量是BE的长x，因变量是△ADE的面积y； （2）∵x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0， ∴BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2， ∴x＝1时，DE＝2， ∴a＝＝2， 当x＝4时，DE＝1， ∴b＝＝1； （3）当0≤x≤3时，y＝3﹣x， 3≤x≤6时，y＝x﹣3； 当0≤x≤3时，y随x的增大而减小； 当3≤x≤6时，y随x的增大而增大． 23． 解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； （2）图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）； （3）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 24． 解：（1）∵△APP'和△ABC都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AP'＝PP'＝1，∠BAC＝∠PAP'＝60°， ∴∠BAP＝∠CAP'， ∴△ABP≌△ACP'（SAS）， ∴BP＝P'C＝，∠APB＝∠AP'C， ∵P'P2+P'C2＝1+2＝3，PC2＝3， ∴PP'2+P'C2＝PC2， ∴∠PP'C＝90°， ∴∠AP'C＝150°， ∴∠APB＝150°， 故答案为：150°； （2）如图②，将△BCP绕点C顺时针旋转60度，得到△ACE，连接PE，AE， ∴BP＝AE＝，CP＝CE，∠PCE＝60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴PE＝PC，∠CPE＝60°， ∵∠APC＝30°， ∴∠APE＝90°， ∴PE＝＝＝2， ∴CP＝2； （3）当点D与点A重合时，∵线段BD绕点D顺时针旋转60°， ∴DB＝BE，∠DBE＝60°， ∴△DBE是等边三角形， ∴∠EDB＝∠EBE＝60°， ∴∠BAE＜60°，∠ABE＜60°， ∵△ABE为直角三角形， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝4， 如图③，延长BC至F，使CF＝BC，连接DF，AF， ∵AC⊥BC，CF＝BC， ∴AB＝AF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AB＝BF， ∵△DBE是等边三角形， ∴DB＝BE，∠DBE＝60°＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBF， ∴△ABE≌△FBD（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠FDB＝90°，S△AEB＝S△BDF， 又∵BC＝CF＝2， ∴BC＝CF＝DC＝2， ∴S△AEB＝S△BDF＝×2×4＝4． 25． 解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下： ∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°． ∴∠BEC＝120°． ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°． （2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下： ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°． ∴∠BEC＝135°． ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°． ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME． ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 故答案为：90°，AE＝BE+2CM； （3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4， ∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6， ∴AE＝AD+DE＝4+6＝10， ∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35； 故答案为：35． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$