精品解析：甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

高考模拟金典卷·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之基础性. 2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）. 3.本卷典型情境题：题6、17. 4.本卷测试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据复数乘法法则和模长公式求解即可. 【详解】，则， 所以，解得， 故选：C 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过举特例可判断命题正误，结合命题否定含义可得答案. 【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题； 又注意到，则为真命题，是假命题.则和都是真命题. 故选：B 3. 在等差数列中，，则其前10项和（ ） A. 72 B. 80 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 4. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 5. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件得到，判断A，利用给定条件得到判断B，举反例判断C，D即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误， 对于B，若，则，故B正确， 对于C，若，则可能相交，平行或异面，故C错误， 对于D，若，则可能相交，平行或异面，故D错误. 故选：B 6. 某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 240 B. 270 C. 300 D. 330 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，选取的3人中至少有1名程序员和1名科学家，有两种情况:有1名程序员和2名科学家；有2名程序员和1名科学家；根据排列组合求解即可. 【详解】选取的3人中有1名程序员和2名科学家的组合有种； 选取的3人中有2名程序员和1名科学家的组合有种； 由题意，不同的安排方法有种. 故选：. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方关系，把余弦、正弦化为正切，解方程可得的值，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】， 即，且， 得， 解得或（舍去）， . 故选：. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，可得，由双曲线定义得到，结合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出离心率. 【详解】如图，，， 所以， 由双曲线的定义知， 又，则在中，， 在中，， 即，可得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的计算公式，逐一检验，即可得到结果. 【详解】对于A，原数据的平均数，去掉首末两项后的平均数， 即平均数不变，A项错误； 对于B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为， 即中位数不变，B项正确； 对于C，原数据的方差， 去掉首末两项后的方差， 即方差变小，C项正确； 对于D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差， 即极差变小，D项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个极值点 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合函数图象求得函数解析式，即可判断A；由，可得，结合余弦函数单调性判断B；结合余弦函数的最值情况判断C；根据三角函数图象的平移变换以及函数的奇偶性判断D。 【详解】由图象得，，解得，， 由，得，，解得，， 而，故，，则，A项正确； ，则，函数在上不单调， 故在区间上不单调，B项错误； 由，得，则时，取到极值， 此时在区间上有3个极值点，C项正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， 该函数是奇函数，图象关于原点对称，D项正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可判断A；令，求，再令可判断B；令，，判断的大小关系可判断C；令，，利用构造法求通项，然后分组求和可判断D. 【详解】对A，令，，则，又，则，A项正确； 对B，令，，则，得， 令，则，B项正确； 对C，令，，， 当时，，则，即时，， 故在上单调递增，C项正确； 对D，令，，则， ，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，得， ，D项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】将椭圆化成标准方程得，由椭圆的离心率为，利用，化简整理，可求得． 【详解】由题意得： 椭圆化成标准方程为， ∵椭圆的离心率为， ∴， ，又， ∴， 故． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了椭圆离心率有关的问题，注意公式的运用，解题过程注意的关系．属于较易题. 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据侧面积公式求母线长，进而可得高，由体积公式可得第一空；先判断球心位置，利用勾股定理列方程求出球心到圆台下底面的距离，然后可得半径，可得第二空. 【详解】设圆台的母线长为，高为， 由题意知，解得，则易得， 圆台的体积. 设球的半径为， 由， 易知球心不在圆台的上、下底面之间， 设球心到圆台下底面的距离为，则， 得，则，球的表面积为. 故答案为：；. 14. 记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意知可得，，结合，即可求得答案. 【详解】设，由题意知，，， 则，，则， 由，得，当且仅当时取等号. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求. （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和二倍角公式可得结果； （2）根据余弦定理和三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 由，得，即， ，，则， 由正弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，而， 得，即，的面积为. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值. 【答案】（1）， （2）增区间为和，减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【小问1详解】 由题意，易知，得. ， 由，解得. 【小问2详解】 由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 17. 激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态，，等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系. 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 解密信息的单光子的偏振状态 ，， ，， ，， 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现. （1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率. （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列如下. 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解概率即可. （2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可. 【小问1详解】 若窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1，则发送者原始信息的单光子的偏振状态为0，1，2的概率均为， 故所求概率. 【小问2详解】 易知发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1， 窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的概率为， 且的所有可能取值为，，，. ， ， ， ， 所以的分布列如下. 0 1 2 3 数学期望为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1） 连接，， 因为，为的中点，所以， 因为棱柱直三棱柱， 所以面，平面，所以平面平面， 又平面平面，面， 则平面，又平面，所以， 在矩形中，，为的中点， 所以， 所以，故， 又，面，面， 所以平面，又平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，在矩形中，由题意可得，由线面垂直判定定理及性质即可证得； （2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求线面角的正弦值； （3）利用空间向量求出和，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 由，，则，，，，. 设平面的法向量为，又，， 则即令，则. 设直线与平面所成的角为，又， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为，，， 所以点到平面的距离为， 又，直线的一个单位方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以. 19. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程. （2）设，，是上不同的两点，且，记为曲线上分别以，为切点的两条切线的交点. （i）证明：存在定点，使得. （ii）取，记，，求. 【答案】（1） （2） （i）易知直线的斜率存在，则， 直线的方程为， 即， 故直线过定点. ，过点且与抛物线相切的切线方程为， 即， 同理，过点且与抛物线相切的切线方程为， 将上述方程联立，消去得，则， 令，则 ， 即存在定点，使得. （ii） 【解析】 【分析】（1）设，由题意列式化简可得轨迹方程； （2）（i）先求出直线过定点，再由导数的几何意义知识可得，后通过观察可完成证明； （ii）由（i），可得，又结合，可得， 后由等比数列求和公式可得答案. 【小问1详解】 设，由题意得，化简整理得； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，则，，， ， 又，得， 则，当时，. 【点睛】关键点点睛：本题涉及解析几何，导数，数列等知识. （i）问通过导数快速求得曲线的切线方程是一种重要的方法；（ii）利用（i）及题干信息，将转化为，后利用数列知识求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟金典卷·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之基础性. 2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）. 3.本卷典型情境题：题6、17. 4.本卷测试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 在等差数列中，，则其前10项和（ ） A. 72 B. 80 C. 36 D. 40 4. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ） A. B. C. D. 6. 某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 240 B. 270 C. 300 D. 330 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个极值点 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称 11. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则_______. 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为______. 14. 记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求. （2）若，求的面积. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值. 17. 激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态，，等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系. 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 解密信息的单光子的偏振状态 ，， ，， ，， 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现. （1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率. （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 19. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程. （2）设，，是上不同的两点，且，记为曲线上分别以，为切点的两条切线的交点. （i）证明：存在定点，使得. （ii）取，记，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $