第二十三章 旋转单元培优卷（题型专攻）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

第二十三章 旋转单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第23章 旋转，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如果点和点关于原点对称，则等于（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，假命题是（   ） A．有一个角是的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5．在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是( ) A． B． C． D．，，三点在一条直线上 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，若扇形与扇形关于点成中心对称，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 13．如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 14．若点与点关于原点对称，则的值为 ． 15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接，则的度数为 ．    16．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17． 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 19．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 20．如图，已知三个顶点的坐标分别为，， (1)请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； (2)请在网格中，过点C画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点D，写出点D的坐标 ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，已知四边形和点O，画四边形，使四边形和四边形关于点O成中心对称． 22．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为α，分别交于点F，G，连接． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求四边形的面积． 23．如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 25．中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边BC于点D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第23章 旋转，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可.将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能够与本身重合的图形是中心对称图形． 【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 2．下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①电梯上下迎送顾客属于平移； ②风车的转动属于旋转； ③钟摆的摆动属于旋转； ④方向盘的转动属于旋转． 故其中属于旋转的有3个． 故选：C． 3．如果点和点关于原点对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于关于原点对称的点的坐标特征，求得的值是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标，纵坐标互为相反数，求得的值，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．下列命题中，假命题是（   ） A．有一个角是的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据轴对称图形和中心对称图形的概念、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断． 【详解】解：A、有一个角是的平行四边形矩形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题，本选项不符合题意； B、依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，原命题是假命题，本选项符合题意； 故选：D． 5．在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 6．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴在中，， 即， ∴， 解得． ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键． 7．如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识，确定何时取最小值是解题关键．连接，由“垂线段最短”的性质可知当，即点与点重合时，取最小值，此时连接，易得，再证明点与点重合，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形与四边形均为矩形且全等，且，， ∴，，， ∴矩形绕点逆时针旋转， 则当，即点与点重合时，取最小值，如下图，连接， 此时， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴． 故选：B． 8．如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 9．如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键. 连接，过点B作，过点作，先证明，再利用旋转的性质求得坐标. 【详解】解：如图，连接，过点B作，过点作， ， 在中，，， ， ， ∵将绕O点逆时针方向旋转到的位置， ， ， ， ∴点的坐标是：， 故选：B. 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是( ) A． B． C． D．，，三点在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等，根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可． 【详解】由旋转可得，， ∴，，， 故C错误； 连接， ∵，， ∴A，B，D构成的三角形为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，，三点在一条直线上， 故D正确； ∵，，， ∵不能确定与的大小关系， 故A错误； ∵与大小关系不确定， ∴故B错误； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，若扇形与扇形关于点成中心对称，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键，将一个图形围绕某一个点旋转，能够与自身重合，则称该图形为中心对称图形，根据中心对称得扇形的面积与扇形的面积相等，从而即可得解。 【详解】解：∵扇形与扇形关于点中心对称， ∴扇形的面积与扇形的面积相等， ∴， 故答案为：． 12．如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 13．如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：由图形知与中心对称， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 14．若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标及负整数幂，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出，再根据负整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接，则的度数为 ．    【答案】/16度 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质得出，证出，求出，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16°． 16．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】先确定此时点M对应的位置即点所在的位置，如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F，证明，得到，，由此求解即可． 【详解】∵正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴旋转8秒恰好旋转． ∵， ∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次． ∵， ∴此时点M对应的位置即点所在的位置， 如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 又点在第二象限， ∴旋转2022秒后，点M的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17． 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， 又， 是等边三角形， ， ． 18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键． （1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状； （2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分． 【详解】（1）解：绕点逆时针旋转， ，， 为等边三角形； （2）证明：绕点逆时针旋转， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 平分． 19．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 20．如图，已知三个顶点的坐标分别为，， (1)请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； (2)请在网格中，过点C画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点D，写出点D的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形，三角形中线的性质： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到B、C对应点的坐标，描出，再连接即可； （2）根据三角形中线平分三角形面积，取线段的中点D，作直线即可，再根据两点中点坐标计算公式可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，找出线段的中点D，作直线即可， ∵， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，已知四边形和点O，画四边形，使四边形和四边形关于点O成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键在于理解中心对称的概念，据此画出图形． 中心对称：把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点；延长到使，同样作出点、、从而得到四边形． 【详解】解：如图，四边形为所作： 22．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为α，分别交于点F，G，连接． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，再由三角形外角性质得到即可证明结论； （2）①由平行的性质得到，再由直角三角形得到，即可利用勾股定理求出答案； ②过点E作于点H，根据求出答案即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，， ， ； （2）解：①∵，， ， ，     ． 由旋转的性质，得， 在中，； ②由旋转的性质，得， ． 如图，过点E作于点H， ， ， ，， ， 在中，， ． 23．如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分两种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）如图3，， ， 如图4，， ， 综上所述：度数为或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 25．中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边BC于点D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解； （2）①根据平分，可得，再由，即可求证；②先求得，可得，从而得到，再证，可得，从而得到，，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵平分， ∴， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴， 即此时旋转角度； 如图，    ∵， ∴， ∴； 综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$