期中真题必刷易错97题（27个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷易错97题（27个考点专练） 考点一 一元二次方程相关概念（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 考点二 一元二次方程的四大解法（共7小题） 4、（23-24九年级上·江苏无锡·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解方程； (1)； (2)； (3)． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 9（23-24九年级上·江苏常州·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 考点三 配方法的应用（共4小题） 11．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）若实数、满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个正根．他的构思为：将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________． A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法 (2)他所用的最主要数学思想方法是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．整体思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根） 14．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ； (2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； (3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ； (4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值． 考点四 换元法（共4小题） 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 16．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（    ） A．2， B．，4 C．3， D．，5 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 考点五 根的判别式（共3小题） 19．（22-23九年级上·四川内江·期中）若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 21．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 考点六 韦达定理（共3小题） 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 ． 24．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 考点七 一元二次方程应用之营销问题（共3小题） 25．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 26．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为 ． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 考点八 一元二次方程应用之几何问题（共2小题） 28．（23-24九年级上·全国·期中）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）． (1)若花园的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙的距离为，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 29．（2023·山东东营·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 考点九一元二次方程应用之动态几何问题（共2小题） 30．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 31．（20-21九年级上·江西南昌·期中）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动；与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．    (1)填空：________，_________ (用含的代数式表示)； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 考点十 圆的基本概念（共4小题） 32．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 33．（2024九年级下·江苏·期中）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最小值是 ． 34．（23-24九年级上·江苏南通·期中）若的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P在的 ． 35．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．    考点十一 垂径定理（共3小题） 36．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 38（22-23九年级上·江苏·期中）如图，中，，以为直径作，分别 交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 考点十二 垂径定理的实际应用（共3小题） 39．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 40．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸． 41．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）． (1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？ 考点十三 确定圆的条件（共3小题） 42．（22-23九年级上·贵州贵阳·期末）在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 43．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    44．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、    (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； (2)的半径为__； (3)点到上最近的点的距离为__． 考点十四 圆周角定理（共4小题） 45．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在⊙中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．    47．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C． (1)若，求的长度； (2)若，则______°． 48．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是它的外接圆，点在上且，连接，，，与交于点．    (1)判断的形状，并证明； (2)当时，求的度数． 考点十五 圆内接四边形（共2小题） 49．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 50．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 考点十六 切线长定理（共4小题） 51．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 52．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 53．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 54．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 考点十七 正多边形与圆（共2小题） 55．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 56．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 考点十八 弧长及扇形面积（共4小题） 57．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与所围成的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 59．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ． 60．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 考点十九 圆锥的侧面积（共2小题） 61．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 62．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 考点二十 平均数、中位数、众数和方差（共3小题） 63．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 64．（23-24八年级下·江苏南通·期中）为了解学生对我国航天科技的知晓情况，某校举办了一次航天知识竞赛，满分1分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛中，甲、乙两组学生的成绩如下： 甲：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9 成绩统计分析表如下： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 7.2 7.5 1.96 80% b (1)填空：______，______； (2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格，直接判断小英是______组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲组同学说他们组的合格率高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 65．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的，两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． 表格一    两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 表格二    两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁 13.7 13.5 1.4 品种花生仁 17.5 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： (1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_______（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； (2)表格二中＝_______，＝________； (3)学校食堂准备从，两个品种的花生仁中选购一批做食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_______（填“”或“”）品种花生仁，理由是________________． 考点二十一 等可能条件下的概率（共3小题） 66．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）一只小鸟在空中飞行后随意落在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），则它停在黑色方格中的概率为（    ）    A． B． C． D． 67．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是 ． 68．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的概率是________． (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次都摸到红球的概率． 考点二十二 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 69．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 70．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 71（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 考点二十三 二次函数的图象与性质（共7小题） 72．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标 B．对称轴是直线 C．时随的增大而减小 D．开口向上 73．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 74．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线（是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）该抛物线经过和两点，当，时，均有，则的取值范围为 ． 75．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 76．（22-23九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围． 77．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)它的图象与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，求的面积； (2)当时，的取值范围是______． 78．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二十四 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 79．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图像； (3)观察（2）中所画图像，当时，直接写出y的取值范围． 80．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积． 81．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图像经过点，，求二次函数的表达式． 考点二十五 二次函数与方程、不等式的关系（共5小题） 82．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论∶①； ②； ③方程的两个根是； ④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 83．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 84．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足_____时，抛物线在直线AC的上方． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当x满足_____时，； (4)若抛物线上有两个动点，，请比较和的大小． 85．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)当时，函数值的取值范围为 　　；（直接写出答案即可） (3)若为二次函数图象上一点，求的值． 86．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线． (1)若是该抛物线上一点，求的值； (2)点，都在该抛物线上，若，试比较，的大小，并说明理由． 考点二十六 二次函数的平移（共2小题） 87．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 88．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是二次函数 的大致图象．    (1)求该图象顶点的坐标； (2)该图象经过怎样的平移可以得到函数的图象？ (3)将该图象绕原点旋转 ，直接写出所得图象对应的表达式． 考点二十七 二次函数的应用（共9小题） 89（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，物体从点A抛出，物体的高度y（单位：）与飞行时间t（单位：）近似满足函数关系式．在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 ．    90．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 ．    91．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）近年来，我市花果山风景区和渔湾风景区受到国内外游客的青睐，通过网上查询，发现两个风景区有三种购票方式，如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 花果山 渔湾 花果山和渔湾 门票价格 90元/人 40元/人 120元/人 据预测，“五一”节期间选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有30万、10万和5万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有万人原计划购买甲种门票的游客和万人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． (1)若丙种门票价格下降10元，求两个景区“五一”节期间的门票总收入； (2)将丙种门票价格下降多少元时，两个景区“五一”节期间的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 92．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 93．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． (1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？ (2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当A种菜品降价多少时，两种菜品的利润总和为300元？ 94．（23-24九年级上·江苏南通·期中）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元． (1)该商场平均每月可售出 件商品（用含x的代数式表示）； (2)商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？ (3)该商场决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x增大而减小，求a的取值范围． 95．（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 96．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米．    (1)当种花的面积为平方米时，求的值； (2)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 97．（2024江苏苏州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错97题（27个考点专练） 考点一 一元二次方程相关概念（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判定即可．本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意； B、当时，是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024， ∴， ∴， ∴， ∴是方程一定有实数根． 故选：D 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程解的定义把代入到得出，然后进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 考点二 一元二次方程的四大解法（共7小题） 4、（23-24九年级上·江苏无锡·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键； （1）用配方法解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：配方得： 即， 所以； （2）解：分解因式得：， 则， 解得： （3）解：移项并分解因式得： 则， 所以； （4）解：分解因式得：， 则， 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）先移项，再利用因式分解法解方程； （3）先移项，然后利用因式分解法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， 开方得， ∴或， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴或， ∴； （3）解：， 整理得，即， ∴或， ∴； （4）解：， 因式分解得， ∴或， ∴． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解方程； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）运用因式分解法进行求解； （2）将右边的项移到左边后，运用因式分解法进行求解； （3）将方程化为一般形式后，运用公式法求解． 【详解】（1）解：， 因式分解，得： ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项，得：， 因式分解，得： ∴或， 解得：，； （3）解： 方程化为一般式为：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不等的实数根，即 ， ∴，． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 或， 解得：，； （4）解：， ， ， 或， 解得：，． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了直接开平方法，公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法，公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， ， ∴， 解得，， ； （3）解：， ， ∴或， 解得，，； （4）解：， ∴或， 解得，，． 9（23-24九年级上·江苏常州·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3) (4)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关解法是解题的关键． （1）先移项、再直接运用开平方法求解即可；掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键； （2）先配方、再运用开平方法求解即可；掌握配方法是解题的关键； （3）直接运用因式分解法求解即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （4）先把方程整理成一般形式，再利用因式分解法求解即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴． （2）解：； ， ，即， ∴， ∴，． （3）解：， ， ∴或， ∴． （4）解：， ， ， ∴或， ∴，． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法；熟练掌握以上的方法是解题的关键，（1）根据提公因式法即可得到答案；（2）利用配方法即可解方程；（3）移项后、再利用提公因式法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 或， ∴，． （2）解：∵， ∴， 则， 即， ， ∴，． （3）解：， ， 则， 或， ∴，． 考点三 配方法的应用（共4小题） 11．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）若实数、满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法将方程式整理得，根据偶次方的非负性可得，求得，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即：； 故的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法，偶次方的非负性，解一元一次不等式，熟练掌握以上性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个正根．他的构思为：将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________． A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法 (2)他所用的最主要数学思想方法是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．整体思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根） 【答案】(1)C (2)B (3)，图见解析 【分析】本题考查配方法的应用： （1）由阅读材料所用方法可知答案； （2）材料中利用几何图形求方程的解，可知利用了数形结合思想； （3）仿照材料中的作法，构造一个边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：由可知：求解过程中所用的方法与配方法是一致的， 故选C； （2）解：所用的数学思想方法为数形结合思想， 故选B； （3）解：如图， 将边长为的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为，宽为3，拼合在一起面积就是，即， 而由原方程变形得， 即边长为的正方形面积为16． 所以， 所以， 解得，或 因此的正根为． 14．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ； (2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； (3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ； (4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)4（答案不唯一），是 (2)12 (3) (4)25 (5)4 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论； （5）将变形为，然后再配方即可求解． 【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝； 40是“完美数”，理由：因为． 故答案为：4（答案不唯一），是； （2）∵ ∴，， ∴ 故答案为：12； （3）∵ ∴，， ∴ 故答案为：； （4） 由题意得：， ∴； （5）∵ ∴； ∴当时，的最小值为4． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 考点四 换元法（共4小题） 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 16．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（    ） A．2， B．，4 C．3， D．，5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程——换元法．设，则方程变形为，可得方程的两根分别为，3，即可求解． 【详解】解：设，则方程变形为， ∵一元二次方程的两根分别为，3， ∴方程的两根分别为，3， ∴或3， ∴， ∴． 故选：B 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 考点五 根的判别式（共3小题） 19．（22-23九年级上·四川内江·期中）若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)①见解析；②或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得：或． 考点六 韦达定理（共3小题） 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 23．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2． 24．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，即k的取值范围为； （2）解：是方程的两个实根， ， ， ， 解得， ∵方程有实根时k的取值为， ∴不存在k值使得． 考点七 一元二次方程应用之营销问题（共3小题） 25．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 26．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为 ． 【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450 【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程． 【详解】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得： （30﹣x﹣10）（20+2x）＝450， 故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)7040； (2)60． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）根据题意可列出关于x的方程，解出方程，再结合使消费者得到实惠，确定出最后的售价即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，（元）． 故答案为7040． （2）解：设销售单价应定为x元，根据题意得 整理得， 解得 ∵要使顾客得到实惠 ∴， 答：销售单价应定为60元． 考点八 一元二次方程应用之几何问题（共2小题） 28．（23-24九年级上·全国·期中）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）． (1)若花园的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙的距离为，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5米或15米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）米，则米，由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意可得方程，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可． 【详解】（1）解：米，则米， 由题意得：， 解得：，， 答：的长为5米或15米； （2）解：花园的面积不能为，理由如下： 米， 米， 由题意得：， 解得：， 当时，， 即当米，米米，这棵树没有被围在花园内， 将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为． 29．（2023·山东东营·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 考点九一元二次方程应用之动态几何问题（共2小题） 30．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可知：，，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或 （2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，，，， ， ， ， 即， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形等知识点，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 31．（20-21九年级上·江西南昌·期中）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动；与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．    (1)填空：________，_________ (用含的代数式表示)； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒时，的长度等于 (3)存在秒，能够使得五边形的面积等于，理由见详解 【分析】 （1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值． 【详解】（1）根据运动的特点可知：，， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）由题意得：， 解得：，； 当秒或秒时，的长度等于； （3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： ∵当点运动到点时，两点停止运动， ∴， 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ， 解得：不合题意舍去，． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键． 考点十 圆的基本概念（共4小题） 32．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意； ②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意， ∴其中正确的是②． 故选：B． 33．（2024九年级下·江苏·期中）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离半径该点到圆心的距离是解题的关键． 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值． 【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ，点的坐标为． 又点的坐标为， ， ． 故答案为：1． 34．（23-24九年级上·江苏南通·期中）若的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P在的 ． 【答案】内部 【分析】先求出的长，然后比较与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵圆心A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∴， ∴点P在圆A的内部， 故答案为：内部． 35．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用三角形的外角的性质，由求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十一 垂径定理（共3小题） 36．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作与E，连接交与点F，连接，利用勾股定理求出，再证明点F是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点O作与E，连接交与点F，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴F是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点F是的中点是解题的关键． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．过点作于点，根据垂径定理得，由题意可得，结合等腰三角形的“三线合一”可推出是等腰直角三角形，从而求出；设，可得，，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：，． 38（22-23九年级上·江苏·期中）如图，中，，以为直径作，分别 交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键， （1）根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数； （2）连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 即弦的长为24． 考点十二 垂径定理的实际应用（共3小题） 39．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】D 【分析】 设圆心为O点，连接，交于C，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 40．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，可得，，由即可求解；能构建由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 在中： ， ， 解得：， ， 故答案：． 41．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）． (1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？ 【答案】(1)见解析 (2)能顺利通过 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于C，交于D，如图所示，线段即为所求， （2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且 ∵ ∴ 设圆心为，连接，设半径为， 在中，，， ∴ 解得： ∴ 在中， ∴ ∴ ∴一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能顺利通过 【点睛】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键． 考点十三 确定圆的条件（共3小题） 42．（22-23九年级上·贵州贵阳·期末）在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 43．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，连接，，，，则是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，由勾股定理计算出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，，   ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点为线段的中点，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 44．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、    (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； (2)的半径为__； (3)点到上最近的点的距离为__． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，利用垂径定理的推论可判断点为经过、、三点的圆的圆心； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）过点的半径可得到点到上最近的点，则点到上最近的点的距离为． 【详解】（1）如图，点为所作；点的坐标为；        故答案为：； （2），， ， 即的半径为， 故答案为：； （3）， 点到上最近的点的距离为． 故答案为：． 考点十四 圆周角定理（共4小题） 45．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 46．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在⊙中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟悉圆的切线垂直于过切点的半径和弧之间的关系．由得出，根据，，即可求出的度数，从而可求出，由是⊙的切线可得，在四边形中，利用四边形的内角和即可求解． 【详解】， ， 是的外角， ， ， ， 是⊙的切线， ， 四边形的内角和为， ， 故答案为：． 47．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C． (1)若，求的长度； (2)若，则______°． 【答案】(1) (2)54 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理． （1）根据垂径定理和勾股定理可以得到和的长，然后再根据勾股定理即可求得的长度； （2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长度为； （2）连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：54． 48．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是它的外接圆，点在上且，连接，，，与交于点．    (1)判断的形状，并证明； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理以及三角形的外角性质证明，推出，即可证明为等腰三角形； （2）利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形， 证明：设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十五 圆内接四边形（共2小题） 49．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 50．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，   ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 考点十六 切线长定理（共4小题） 51．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 52．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 53．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 54．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）作于．连接．想办法证明即可解决问题； （2）由，是的切线，推出，设，由，推出，推出，由，，推出，由，推出，在中，根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解： 是的切线．理由如下： 作于．连接．如图，   ，， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的切线； （2）解：，是的切线，   ，设， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 考点十七 正多边形与圆（共2小题） 55．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【答案】72 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 56．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    考点十八 弧长及扇形面积（共4小题） 57．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与所围成的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，求弧长．先求出，则，再根据得出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的周长， 故选：D． 58．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 59．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，作，，与交于点，则，由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，，与交于点， ∴， 由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠的性质，四边形内角和，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，弧长公式是解题的关键． 60．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)，； (2)圆内； (3)． 【分析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理． （1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∵， ∴的长小于圆的半径， ∴点在内； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 考点十九 圆锥的侧面积（共2小题） 61．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故选：B． 62．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)该圆锥的底面圆的半径是． 【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径． （1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴， 又∵， ∴， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）解：的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 考点二十 平均数、中位数、众数和方差（共3小题） 63．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 【答案】(1)80，86； (2)； (3)八年级的成绩较好，理由见解析． 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提． （1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值； （2）根据方差公式分别计算出即可； （3）从平均数和中位数进行分析即可． 【详解】（1）解：七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数： 将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87， ∴中位数：， 故答案为：80，86； （2）解：∵七年级的方差是： 八年级的方差是： 故答案为：； （3）解：从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高， 且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高， 综上所述，我认为八年级的成绩较好． 64．（23-24八年级下·江苏南通·期中）为了解学生对我国航天科技的知晓情况，某校举办了一次航天知识竞赛，满分1分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛中，甲、乙两组学生的成绩如下： 甲：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9 成绩统计分析表如下： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 7.2 7.5 1.96 80% b (1)填空：______，______； (2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格，直接判断小英是______组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲组同学说他们组的合格率高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】(1)6， (2)甲 (3)从平均数的角度看，乙组的成要好于甲组；从中位数的角度看，乙组的成绩要好于甲组 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，方差，优秀率，合格率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据中位数的定义直接得出，再用达到9分或10分的人数除以总人数，即可求出； （2）根据中位数的意义进行判断，即可得出答案； （3）从平均数和中位数两方面进行分析，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：6，； （2）解：， 小英是甲组的学生； 故答案为：甲； （3）解：， 从平均数的角度看，乙组的成绩要好于甲组； ， 从中位数的角度看，乙组的成绩要好于甲组； 65．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的，两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． 表格一    两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 表格二    两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁 13.7 13.5 1.4 品种花生仁 17.5 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： (1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_______（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； (2)表格二中＝_______，＝________； (3)学校食堂准备从，两个品种的花生仁中选购一批做食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_______（填“”或“”）品种花生仁，理由是________________． 【答案】(1)② (2)17.5，13 (3)A；理由是品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，掌握平均数、中位数、众数和方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据收集数据的方法即可求解； （2）根据中位数和众数的定义可得a、b的值； （3）从方差的意义即可得答案． 【详解】（1）根据抽取的样木最具有代表性可知，操作正确的是②； 故答案为：②； （2）B品种花生仁的长度的第15个和第16个数据都是17和18，则中位数为， ∵A品种花生仁长度13出现的次数最多， ∴A品种花生仁长度的众数为， 故答案为17.5，13； （3）根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购A品种花生仁，理由：A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀． 故答案为：A；A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀． 考点二十一 等可能条件下的概率（共3小题） 66．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）一只小鸟在空中飞行后随意落在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），则它停在黑色方格中的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概率，用黑色小方格的数量除以小方格的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有9个除颜色外完全相同的小方格，其中黑色小方格有3个，且小鸟停在每个小方格上的概率相同， ∴小鸟它停在黑色方格中的概率为， 故选B． 67．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的概率公式，熟记随机事件的概率公式是解题的关键． 直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有个小球，其中红球有4个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为， ， 解得：， 故答案为：12． 68．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的概率是________． (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次都摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率、画树状图或列表求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有2个白球和1个红球， ∴摸到白球的概率， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， ∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种， ∴2次都摸到红球的概率． 考点二十二 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 69．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、时，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 70．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题． 71（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 考点二十三 二次函数的图象与性质（共7小题） 72．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标 B．对称轴是直线 C．时随的增大而减小 D．开口向上 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小． 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 73．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点，点，点到对称轴的距离分别为2、1、3，距离对称轴越近的点，函数值越小， ∴． 故选：B． 74．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线（是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）该抛物线经过和两点，当，时，均有，则的取值范围为 ． 【答案】 ； 或． 【分析】（）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （）根据抛物线的对称性即可求解； 本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（）该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （）∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线，当，时，均有， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 75．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，，且a越大开口越小，开口向下时，，且a越大，开口越大，从而确定a的范围． 【详解】+：如图，      抛物线的对称轴为：直线， 设抛物线与直线l交点（靠近y轴）坐标为， ， ， 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最小， 将点代入，得：， 解得， ； 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最大， 将点代入，得：， 解得， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 76．（22-23九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入，求出a的值，即可得出该二次函数表达式； （2）将该二次函数表达式化为顶点式，求出对称轴以及当时，该二次函数取最小值2，根据其开口方向和增减性得出该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大， 则当时的函数值大于当时的函数值，求出当时，，即可得出y的取值范围； （3）将点，点代入得出和，再根据，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴该二次函数对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴当时，该二次函数取最小值2，且该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时的函数值大于当时的函数值， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （3）解：将 代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，解得：， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求解函数表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及二次函数图象上点的坐标特征． 77．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)它的图象与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，求的面积； (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三点的坐标，利用进行计算即可； （2）根据二次函数的性质，求出时，函数的最大值和最小值，即可得解． 【详解】（1）解： 当时：，解得：， ∵点在点左边， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴； （2）解：的对称轴为：， ∵， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，函数有最大值：， 当时，函数有最大值：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 78．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）把，两点代入解析式即可求解； （2）先求出C点坐标，再根据求出，代入解析式即可求解． 【详解】（1）把，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，所以， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入抛物线表达式得， 解得（舍去）或2； 把代入抛物线表达式得， 解得， 综述所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用． 考点二十四 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 79．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图像； (3)观察（2）中所画图像，当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据左加下减，写出解析式即可． （2）根据列表、描点、连线画图像即可． （3）根据解析式，确定界点值，观察顶点是否包含其中，包含时，函数值描述时有等号即可． 【详解】（1）因为二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度， 所以函数的解析式为． （2）因为抛物线的解析式为， 所以根据解析式列表如下： x … -3 -1 0 1 … y … 0 -4 -3 0 … 画图如下： ． （3）根据抛物线的解析式为，得 当时，； 当时，； 当时，； 所以当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，图像的画法，函数值的取值范围，熟练掌握左加下减，函数值的增减性是解题的关键． 80．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，待定系数法确定函数解析式，三角形面积， （1）直接利用待定系数法代入求解即可； （2）结合图形求三角形面积即可； 熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交与，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）如图所示： 由（1）得， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 81．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图像经过点，，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，只需将已知点代入二次函数表达式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为． 考点二十五 二次函数与方程、不等式的关系（共5小题） 82．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论∶①； ②； ③方程的两个根是； ④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，④正确， ∴正确的个数为4． 故选：D 【分析】根据二次函数的开口确定以及对称轴为直线，可确定a，b，再根据抛物线与y轴的交点，可判断c，从而判断①；把代入，可判断②；根据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，可判断③；根据二次函数的增减性可以判定④． 83．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集． 【详解】解：观察图象可知当，时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键． 84．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足_____时，抛物线在直线AC的上方． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当x满足_____时，； (4)若抛物线上有两个动点，，请比较和的大小． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)，；，；， 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质； （1）观察函数图象，根据的横坐标，即可求解． （2）直接由二次函数的图象写出点、、的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可； （3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标，由图象可知，即轴上方的图象，即可直接写出的取值范围； （4）分三种情况讨论，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）观察函数图象，可知：当或时，抛物线在直线的上方． 故答案为：或； （2）将，，代入中， （3）令，则， ∴，， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 由图象可知，当时，. （4）∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，． 85．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)当时，函数值的取值范围为 　　；（直接写出答案即可） (3)若为二次函数图象上一点，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)0或1 【分析】（1）令，解方程即可； （2）先根据抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，结合x的取值范围计算出y的最大值和最小值即可； （3）将代入，得到关于m的一元二次方程，解方程即可得出的值． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， 点在点的左侧， ，； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 中二次项系数为1，1大于0， 抛物线开口下上， ， 当时，函数取得最大值，， 当时，函数取得最小值，， 函数值的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：把代入， 得， 解得，， 的值为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征、能够计算二次函数图象的对称轴和最值是解题的关键． 86．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线． (1)若是该抛物线上一点，求的值； (2)点，都在该抛物线上，若，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)0或1 (2)，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入解析式求解即可； （2）由抛物线解析式和图象，可得抛物线对称轴及开口方向及增减性，进而求解． 【详解】（1）解：把代入得，解得，， 的值为0或1． （2）解：该抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，而， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，掌握二次函数的增减性． 考点二十六 二次函数的平移（共2小题） 87．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移2个单位长度， ∴ ∵再向右平移1个单位长度， ∴ 故选：D 88．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是二次函数 的大致图象．    (1)求该图象顶点的坐标； (2)该图象经过怎样的平移可以得到函数的图象？ (3)将该图象绕原点旋转 ，直接写出所得图象对应的表达式． 【答案】(1) (2)先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，图象的平移，旋转的性质，掌握二次函数顶点式的计算方法，图形平移的规律，二次函数图象绕等知识是解题的关键． （1）运用配方法将二次函数一般式变为顶点式即可求解； （2）运用函数图象的平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解； （3）二次函数绕原点旋转 ，则开口相反，顶点坐标变为原来坐标的相反数，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标是． （2）解：∵， ∴先向左平移1个单位长度得到，再向上平移4个单位长度得到， ∴向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度． （3）解：∵，即，顶点坐标为， ∴该图象绕原点旋转 ，则，顶点坐标为， ∴旋转后所得图象对应的表达式为． 考点二十七 二次函数的应用（共9小题） 89（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，物体从点A抛出，物体的高度y（单位：）与飞行时间t（单位：）近似满足函数关系式．在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 ．    【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，当时，得，再当时，解得或，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图得： 当时，， 即． 当时，， 解得：或， ∴当且时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间， 故答案为：且． 90．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 ．    【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质．根据点A到点O的距离为4，得到，代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：点A到点O的距离为4， ， 把代入得 ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故答案为：． 91．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）近年来，我市花果山风景区和渔湾风景区受到国内外游客的青睐，通过网上查询，发现两个风景区有三种购票方式，如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 花果山 渔湾 花果山和渔湾 门票价格 90元/人 40元/人 120元/人 据预测，“五一”节期间选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有30万、10万和5万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有万人原计划购买甲种门票的游客和万人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． (1)若丙种门票价格下降10元，求两个景区“五一”节期间的门票总收入； (2)将丙种门票价格下降多少元时，两个景区“五一”节期间的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1)两个景区“五一”节期间的门票总收入为3760万元 (2)当丙种门票价格降低15元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为万元 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据题目中的数量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）将丙种门票价格下降10元后，甲，乙，丙购票方式的门票收入相加即可； （2）设丙种门票价格降低元，两个景区“五一”节期间的门票总收入为万元，根据题意列出关于的函数关系式，再利用配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，丙种门票价格下降10元， 得：门票收入：(万元)， 答：两个景区”五一“节期间的门票总收入为3760万元； （2）设丙种门票价格降低元，两个景区“五一”节期间的门票总收入为万元， 由题意，得， 化简，得， ， ∴当时，取最大值，最大值为万元， 答：当丙种门票价格降低15元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值为万元． 92．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①8；②． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点的横坐标为，则，点，则，即可求解； （3）①由点、的坐标得，直线的表达式为：，即可求解； ②作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，即可求解． 【详解】（1）将，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）过点作轴于点，交线段于点， 设直线的解析式为， 将，代入，得； ，解得： ∴直线的解析式为：； 设点的横坐标为， 则，点， ∴， ∵， 解得， ∴， 故答案为：； （3）①由题意得，点、、的坐标分别为：、、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故答案为：8； ②设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 由题意得，点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， ∵点关于直线对称的点是点， ∴， ∴， 设直线解析式是：， 将点，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键． 93．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． (1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？ (2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当A种菜品降价多少时，两种菜品的利润总和为300元？ 【答案】(1)60份 (2)1元或5元 【分析】此题主要考查的是二元一次方程组和二次函数的应用， （1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120元和总利润为280元建立方程组即可； （2）设A种菜品售价降元，即每天卖份；总利润为元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以种菜品卖份，最后建立利润与A种菜多卖出的份数的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店每天卖出、两种菜品分别为、份， 根据题意得， ， 解得：， 答：该店每天卖出这两种菜品共份； （2）设A种菜品售价降元，即每天卖份；总利润为元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以种菜品卖份, 每份售价提高元． ， 当时，， 解得或10， 或5， 答：当种菜品降价1元或5元时，两种菜品的利润总和为300元． 94．（23-24九年级上·江苏南通·期中）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元． (1)该商场平均每月可售出 件商品（用含x的代数式表示）； (2)商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？ (3)该商场决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)80元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据某商品以50元售出，平均每月能售出700件，售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，写出商品的销售量； （2）根据每月销售利润每件商品的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）根据每月销售利润（每件商品的利润销售量列出函数解析式，再根据每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，得出对称轴，解不等式得出的取值范围． 【详解】（1）解：每件商品的售价为元，则每件商品的售价上涨了元， 商场平均每月可售出商品件， 故答案为：； （2）设每月销售利润为元， 则， ，， 当时，有最大值，最大值为16000， 商品售价定为80元时，每月销售利润最大； （3）根据题意得：， 对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小， 每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小， ， 解得， 又， 的取值范围为． 95．（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 【答案】(1) (2)大棚向上调整高度的最大值为0.8米 【分析】（1）由题意可确定抛物线的顶点的坐标，以及点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线对应的二次函数关系式； （2）设改造后抛物线解析式为，用的代数式表示，再表示出，、，，，的坐标，以及，，的长，根据题意用得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）如图，由题意知抛物线顶点， 可设抛物线解析式为， 由题意，知点的坐标为， 代入解析式得， 解得， 抛物线对应的二次函数关系式为； （2）改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为， 过点， ， ， 即改造后抛物线解析式为， 米，， 则，，，，，， ，，， ， 由题意可列不等式，， 解得， ， 当时，的值最大（米． 答：大棚向上调整高度的最大值为0.8米． 96．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米．    (1)当种花的面积为平方米时，求的值； (2)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 【答案】(1)当种花的面积为平方米时，的值为， (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握全等三角形的判定和性质，二次函数最值的计算方法，根与系数的关系的运用是解题的关键． （1）根据题意，可用含的式子表示四个三角形的面积，根据二次函数的性质即可求解； （2）运用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵种花的面积为， ∴余下的四块面积为， 设米， ∴，且， ∴， ∴（），则， ∵，， ∴（米），（米），且， ∴， ∴，则， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴当种花的面积为平方米时，的值为，． （2）解：根据题意，，由上述计算可得，四块三角形的面积为， ∵种花的面积为平方米， ∴四块三角形的面积与种花的面积和为，整理得，， ∵的值有且只有一个， ∴， 解得，； 当方程有两个不相等的实数根时， ∴， 解得，； 由此可得，（不符合题意，舍去），， ∴， 解得，； 综上所述，或． 97．（2024江苏苏州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】 （1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$