精品解析：江苏省宿迁市沭阳县广宇学校2023-2024学年九年级上学期第一次联考数学试卷

2023-2024沭阳广宇第一学期第一次联考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 一 、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．) 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A B. C. D. 2. 已知在平面直角坐标系中，P点坐标为，若以原点O为圆心，半径为画圆，则点P与位置关系是（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C. 相等的弧所对弦相等 D. 长度相等弧是等弧 4. 已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（ ） A. 2， B. ，4 C. 3， D. ，5 5. 如图，点O是的外接圆的圆心，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 唐代李香发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 7. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填 写在答题卡相应位置上） 9. 若x=2是方程x2+3x﹣2m=0的一个根，则m的值为________． 10. 已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____． 11. 一元二次方程若，则方程必有一根为_______． 12. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是______． 13. 如图，是的外接圆，，则的半径是__________． 14. 如图，圆O中，，，则的度数为_____． 15. 如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 _______°． 16. 若是方程的根，，则等于 _______． 17. 等腰的外接圆半径为5，圆心到底边的距离为3，则_______． 18. 如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是___． 三、 解答题(本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于4且小于8，求m取值范围． 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C. （1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD. （2）请在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D的半径= （结果保留根号）； 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数； （2）若，求的长． 24. 如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， （1）求点D到直线距离 （2）求四边形的面积 25. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 26. 2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 27. 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 28. （1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024沭阳广宇第一学期第一次联考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 一 、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．) 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A、a=0时，是一元一次方程，故A错误； B、是分式方程，故B错误； C、是二元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 已知在平面直角坐标系中，P点坐标为，若以原点O为圆心，半径为画圆，则点P与的位置关系是（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，根据的半径为5，即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵点P的坐标是， ∴， 而的半径为5， ∴等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：B． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C. 相等的弧所对弦相等 D. 长度相等弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，等弧定义，圆的性质一一判断即可； 【详解】解：A.错误．需要添加此弦非直径的条件； B.错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴； C.正确． D.错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等； 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（ ） A. 2， B. ，4 C. 3， D. ，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——换元法．设，则方程变形为，可得方程的两根分别为，3，即可求解． 【详解】解：设，则方程变形为， ∵一元二次方程的两根分别为，3， ∴方程两根分别为，3， ∴或3， ∴， ∴． 故选：B 5. 如图，点O是的外接圆的圆心，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵点O是的外接圆的圆心， ∴、同对着， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 唐代李香发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， 故选：C． 7. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理得到，然后利用互余求解，理解题意熟练利用相关定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设中点为O，连接， 一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合， 点、、、都在以为直径的圆上， 点对应，即， ， ． 故选：C． 8. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵， ∴，， ∴ = = = = =， ∵，且， ∴， ∴原式=， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填 写在答题卡相应位置上） 9. 若x=2是方程x2+3x﹣2m=0的一个根，则m的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：把x＝2代入方程得：22＋3×2﹣2m＝0， 解得：m＝5． 故答案为5． 10. 已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____． 【答案】（x﹣3）2＝11 【解析】 【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程x2﹣6x﹣2＝0， 移项得：x2﹣6x＝2， 配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11． 故答案为：（x﹣3）2＝11． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11. 一元二次方程若，则方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；由，可得出是一元二次方程的一个根，此题得解． 【详解】解：， 是一元二次方程的一个根． 故答案为：． 12. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到等腰三角形的底和腰为3和7，再分两种情况当腰为3底为7时，当腰为7底为3时，利用三角形三边关系进行判断，从而即可得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的底和腰是方程的两根， 等腰三角形的底和腰为3和7， 当腰为3底为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 当腰为7底为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，这个三角形的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 13. 如图，是的外接圆，，则的半径是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径． 【详解】解：作直径，如图，连接， ∵为直径， ， ∴， ， 即⊙O的半径是4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理． 14. 如图，圆O中，，，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，连接，根据垂径定理可求得的度数，，然后利用圆周角定理即可求得答案．结合已知条件求得的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 _______°． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 16. 若是方程的根，，则等于 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，然后根据已知可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 等腰的外接圆半径为5，圆心到底边的距离为3，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，分两种情况考虑：当三角形为锐角三角形时，如图1所示，过作垂直于，根据题意得到过圆心，连接，在直角三角形中，由与长，利用勾股定理求出的长，即可解答；当三角形为钝角三角形时，同理求出的长，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 【详解】解：分两种情况考虑：当为锐角三角形时，如图1所示， 过作，由题意得到过圆心，连接， ，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ； 当为钝角三角形时，如图2所示， 过作，由题意得到延长线过圆心，连接， ，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ； 故答案为：或． 18. 如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．连接，，通过证明可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ，， ． ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得， 此时， 故答案为：． 三、 解答题(本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 小问1详解】 解：， ， ， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得． 20. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）利用求根公式解方程得到，再利用方程有一个根大于4且小于8得，然后解不等式组即可． 【小问1详解】 证明： ， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：，得， ∵方程有一个根大于4且小于8， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C. （1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD. （2）请在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D的半径= （结果保留根号）； 【答案】(1) 见解析；(2) ①C (6, 2), D (2,0)；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出弧所在圆的圆心，即可； （2）直接写出C，D的坐标，再利用勾股定理求出圆的半径，即可． 【详解】解：（1）如图所示； （2）①由图知C（6,2）、D（2,0） ②由勾股定理得：⊙D的半径. 【点睛】本题主要考查点的坐标，勾股定理以及垂径定理，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键． 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ． 24. 如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， （1）求点D到直线的距离 （2）求四边形的面积 【答案】（1）4 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了内接四边形的性质及圆周角定理，旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的判定及性质． （1）把绕点旋转到处，使与重合，可得，，，，得到，即、、三点共线，由，可知，可知点到直线的距离为的长度，即可求解； （2）由（1）可知，，而四边形是正方形，即可得． 【小问1详解】 解：如图，把绕点旋转到处，使与重合， ， 在中，为直径， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 点到直线的距离为的长度，即的长度， 点到直线的距离为4； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 25. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1） （2）不需要，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为， 则， 由垂径定理可知，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； 【小问2详解】 解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 26. 2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）48元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价增加了x元，根据题意列一元二次方程，再取合适的值，进而求售价． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， ， 解得：，（舍） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价增加了x元．由题意可得： ， ， ， 解得：（舍）， ∴售价（元/个） 答：该品牌头盔的售价应定为48元/个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）2或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 28. （1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； （2）根据证明，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）延长至点，使，连接，先证出，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，再证出，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接， 由（2）知，， 在和中， ， ，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能通过作辅助线，构造全等三角形是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$