第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形）-2024-2025学年八年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（   ） A．12个 B．10个 C．8个 D．6个 5．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 10．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果．．．，那么．．．．”的形式： ． 12．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）已知的三边长为，，，化简的结果是 ． 13．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在五边形中，，在上分别找一点M、N，使得周长最小时，的度数为 ． 16．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． 18．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点C、E在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 20．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 23．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)若点P恰好在的角平分线上（点A除外），求t的值； (2)点P运动的过程中，当为等腰三角形时，则t的值． 24．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得答案． 本题考查了轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，可得到到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生判断命题真假的能力，解题关键是正确理解相关定理． 根据平行线的性质和判定、平行公理及推论，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题，故此选项不符合题意； B．垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题，故此选项不符合题意； C．必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题，故此选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故此选项不符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（   ） A．12个 B．10个 C．8个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先确定出最短边的长度是解题的关键． 根据边长为6的情况确定出该三角形的最短边的长度，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解． 【详解】解：根据题意，∵三角形的三边长均为整数， ∴该三角形的最短边可以是1、2、3、4、5， 当最短边为1时，无法满足条件三角形， 当最短边为2时，最长边，即最长边，所以最长边为7， 当最短边为3时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8， 当最短边为4时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9， 当最短边为5时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9，10 满足条件的三角形共有． 故选：B． 5．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，与三角形高有关的计算，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过作于于，根据角平分线的性质可得，因为的面积的面积的面积的面积，所以有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于于， ∵分别平分， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得，可得；情况二：当，时，列方程解得，可得． 【详解】解：点，运动的速度之比为， 设，则， ，与全等， 可分两种情况： 情况一：当，时， ，， ， ， 解得：， ； 情况二：当，时， ，， ， 解得：， ， 综上所述，或， 故选：C． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在中，，， 于是， ∴． 故选：B． 10．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果．．．，那么．．．．”的形式： ． 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了命题，一般命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．熟记概念，明确命题是由题设与结论两个部分组成是解题的关键．先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：题设是平行于同一直线的两直线，结论是这两直线互相平行， 因此写成如果……那么……的形式为：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 12．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）已知的三边长为，，，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，则，据此化简绝对值求解即可． 【详解】解：∵的三边长为，，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在五边形中，，在上分别找一点M、N，使得周长最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，正确找出的周长最小时，点M、N的位置是解题关键． 先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得当点在同一条直线上时，的周长最小，然后利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得． 【详解】如图，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接、， 则， 的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点在同一条直线上时，的周长最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形． 【答案】 6 12或13或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在上运动时，，为等腰三角形，，则，即可求出t的值；当点P在上运动时，为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：6 当点P在上运动时， ∵ ∴， 当为等腰三角形时， 有三种情况∶①当时 ∴， 解得：； ②当时，过点P作，如图， ∴E是的中点， ∴, 设边上的高为h,则, 解得：， ∵ ∴， 即 解得； ③当时，过点C作，如图∶ ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 解得：， 综上：当点P在上运动时，则点P出发12或13或秒时，为等腰三角形 故答案为：12或13或． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了画平移图形，画三角形中线，网格中求三角形面积： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据网格的特点取中点D，再连接即可； （3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：如图即为所求； （3）解：根据题意可得：． 18．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点C、E在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再由，可得，即可求证； （2）根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，     ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些几何性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 20．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 【答案】(1)第二小组的方案可行，证明过程见详解 (2)证明方法见详解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据题意可得，可证，所以，由此即可求解； （2）选择第一小组，可证是等腰直角三角形，可得，可得河宽；选择第三小组，可证是等腰三角形，可得，可得河宽． 【详解】（1）证明：第二小组的方案可行，理由如下， ∵点在点的正北方，从点向正东走到点， ∴， ∵点在点的正东，从点向南走到点， ∴点三点共线，， ∴， ∵树，标杆，人在一条直线上， ∴，且， ∴， ∴， ∴第二小组的方案可行； （2）解：第一小组，根据题意，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽； 第三小组，根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴河宽． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 23．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)若点P恰好在的角平分线上（点A除外），求t的值； (2)点P运动的过程中，当为等腰三角形时，则t的值． 【答案】(1)t的值为 (2)2或或20或19 【分析】（1）点作于点，根据角平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可； （2）分两种情况讨论：当在上时，为等腰三角形；当在上时，为等腰三角形即①、②时、③，进行讨论得的值． 【详解】（1）∵中，，， ∴ 当点在的平分线上时，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ ∴，， ∵在中， ∴ ∴； （2）①当在上时，，为等腰三角形 ∴，即 ∴． ②当在上时，为等腰三角形 Ⅰ．当时，点在的垂直平分线上，过作于， 如图： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 ∴； Ⅱ．，即 ∴； Ⅲ．，过作于，如图： ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴． ∴当秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、三角形的面积、列方程并解方程等，难度适中．能利用分类讨论的思想是解题的关键． 24．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 【答案】（1）（2）8（3）6 【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得． （2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：在和，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，过作的延长线于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8； （3）解：如图2，过作于，过作的延长线于， 面积为且的长为6， ∴， 解得，， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$