专题01 全等三角形证明（不同判定方法+添加条件+灵活选方法）（6种类型60道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题01 全等三角形证明 （不同判定方法+添加条件+灵活选方法） （6种类型60道） 目录 【题型1 边边边“SSS”证全等】 1 【题型2 边角边“SAS”证全等】 7 【题型3 角角边“AAS”证全等】 14 【题型4 角边角“ASA”证全等】 21 【题型5 添加条件证全等】 28 【题型6 灵活选用判定证全等】 36 【题型1 边边边“SSS”证全等】 1．如图，，，点在上，点在上． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 2．如图，． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据周角定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 利用定理证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 4．如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等式的性质，三角形全等的判定解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ ∴，即 在和中 ∴． 5．如图，，，和相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 6．如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由是边上的中线，则，然后根据进行判定即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． 7．在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． (1)求证： (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）连接与交于点，直接根据证明即可； （2）由得到再证明，得到，根据即可得到． 【详解】（1）证明：连接与交于点， 在与中，，，， ∴， （2）证明：∵， ∴， 在与中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 8．如图，已知，求证： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定．，，根据即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴ 9．如图，，，且，，，四点共线，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，先根据线段的和差可得，再运用SSS证明三角形全等即可．解题的关键是掌握证明一般三角形全等的方法有：、、、；证明直角三角形全等的方法有：、、、、． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 10．如图，点B，C，E在一条直线上，在和中，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由线段中点的定义得到，再利用即可证明． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， 在和中， ∴． 【题型2 边角边“SAS”证全等】 11．已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据“”可判断． 【详解】解：， ， ， ， 即， 在和中， ， ． 12．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判断与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键，根据，可得到，从而可证，进而得到． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 13．已知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．利用证明，即可． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ． 14．如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)24 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形中线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在中，D是的中点 ∴， ∵， ， ∵， ． 答：的面积为24． 15．如图，是的中点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，掌握全都三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 16．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 17．如图，点E，F在上，，，且． (1)填空：______； (2)与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)全等，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定； （1）由图形可得，再等量代换得到即可求解； （2）由得到，由可得，结合即可根据证明全等． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：全等；理由如下： ， ， 即． ∵， ． ， ． 18．如图，在中，是的中点，且，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义和平行线的性质． （1）根据题意可知垂直平分，利用垂直平分线的性质即可求出答案； （2）由（1）得，由平分可知，由可知，因此，故有，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：（1）方法一证明：是的中点， 垂直平分 方法二证明：是的中点 在和中 （2）由（1）得 平分 是的中点， 19．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． 说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．先证明，，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 20．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握运用证明三角形全等成为解题的关键． 先根据角的和差证得，再结合条件，运用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型3 角角边“AAS”证全等】 21．已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，A，B分别是线段，上的点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 23．如图，已知，，． (1)求证：； (2)直接写出与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键 （1）由，得到，结合，可证，即可得出结论； （2）由，，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 24．如图，C，A，D在同一直线上，已知，，．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， （2）解：由得：，， ． 25．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，可证，再利用证明； （2）由，得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：，理由如下： ， ，． ， ． 26．已知：如图，P是平分线上的一点，，垂足分别为D，E．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由可得，，可证是的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵P是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，且， ∴是的垂直平分线． 27．如图，已知，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， 28．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 根据可得，进而根据证明，可得，由即可证明结论． 【详解】证明： ， ， 又在和中， ， ， ． ， 即， 29．如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定， （1）先利用角平分线的性质和垂直定义得到，，再证明，即可得到结论； （2）同理证明，推出，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 30．如图，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，即可得出． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型4 角边角“ASA”证全等】 31．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）根据平行线的性质可得，进而证明即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明： ， ． 在和中， ． （2）解： ， ． ． ， ， ． 32．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质．由，推导，然后由“”证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 33．如图，点B、F、C、E在同一直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是注意先证明所需要的三个条件．由于，利用等式性质可证，而，，利用平行线的性质可得，，从而利用可证，进而可得． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 34．如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长．    【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得，再利用证明，可得，从而计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 35．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．先利用平行线的性质得出，，然后利用等式的性质可得，再根据证明，最后利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴，． 36．如图，在中，，过的中点作线段交于点，交于，且，，求出的长． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明，从而得到的长，则可求得的长． 【详解】解：是的中点， ． ， ． 在和中 ∴， ． ， ． ． 37．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角度和差，线段和差，先由角度和差，线段和差得出，，再通过证明即可求证，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 38．如图，已知中，，．直角的顶点D是中点，两边，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及到等腰三角形和直角三角形的性质． （1）连接，证明即可； （2）利用全等三角形的性质得到，即可得到，代入即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，D是中点， ∴，，， ∵， ∴、都是的余角， ， 又，，， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 39．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明即可得到． 【详解】解：，证明如下： ， ， 即， 又，， ， ． 40．如图，点D在上，在上，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．根据全等三角形的判定定理可以证得，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论． 【详解】证明：在与中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）． 【题型5 添加条件证全等】 41．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 42．如图，在 和 中， ．请你添加一个适当的条件，使 ，添加的条件是： （写出一个即可），并说明理由． 【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，添加，利用证明两个三角形全等即可． 【详解】解：添加条件： (答案不唯一)，理由如下： 在和中 ， ∴． 43．如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活掌握全等三角形的判定更是解答本题的关键． （1）根据已知条件可得有一组对应角和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理可再找一组对应边相等，根据证明即可； （2）运用证明全等即可． 【详解】（1）解：添加的条件可以是， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴，即 又， ∴ ∵， ∴． 44．如图，已知 ，可补充的一个条件是： ．证明： 【答案】或或或，证明见解析 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或或 45．如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见详解 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等并证明， （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可． （2）利用证明即可． 【详解】（1）解：添加， （2）证明：在和中， ， ∴ 46．如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定： （1）根据无法得到三角形全等，进行判断即可； （2）添加条件，利用证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：不能证明；利用如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法得到三角形全等， 故不能证明； （2）添加条件为：， 在和中： ， ∴． 47．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：添加的条件是． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 48．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 49．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 50．如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ，， ∴， ∴． 【题型6 灵活选用判定证全等】 51．如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 52．如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 【答案】可得到4个命题，其中真命题有2个；①②④为条件，③为结论，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形判定定理，进行分析证明即可，注意：不能判定两个三角形全等． 【详解】解：可得到4个命题， ②③④为条件，①为结论，为假命题， ①③④为条件，②为结论，为真命题， ①②④为条件，③为结论，为真命题， ①②③为条件，④为结论，为假命题． 所以，其中真命题有2个． 选择以下一个真命题进行证明： ①②④为条件，③为结论． ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故本命题为真命题． 53．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明． 【答案】图中全等的直角三角形有：，，，，，，证明见解析 【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】解：，，，，，． 理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 综上所述，图中全等的直角三角形有：，，，，，（任选三对即可）． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 54．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等． 【答案】，，，证明见解析 【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得． 【详解】解：图中的全等三角形有：，，； ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，， ∴； ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 55．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可） 已知：______，______． 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】①，④或②，③或②，④；证明见解析 【分析】根据题意选取2个条件，根据全等三角形的判定，即可求解． 【详解】已知：①④ 证明如下： ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中 AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF． ∴△ABC≌△DEF． 已知∶ ②③ 证明如下： ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中 ∠ACB＝∠F，∠A＝∠D，BC＝EF． ∴△ABC≌△DEF． 已知∶②④ 证明如下： ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中 AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF． ∴△ABC≌△DEF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 56．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出． (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 【答案】(1)3对．分别是：△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． (2)△BDE≌△CDF，证明见解析． 【分析】（1）根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面． （2）根据HL可判断△BDE≌△CDF． 【详解】（1）3对．分别是： △ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． （2）△BDE≌△CDF． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 又D是BC的中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴△BDE≌△CDF（HL）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 57．如图，在和中，有下列四个等式：①；②；③；④．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号） 【答案】①②③（或①③④）；④（或②）；已知；求证；证明见解析 【分析】根据全等三角形的判定与性质进行组合、证明即可． 【详解】解：若题设：①②③ 结论：④ 已知：在和中，，，， 求证：. 证明： 即 在和中 . 若题设：①③④， 结论：② 已知：在和中，，， 求证：． 证明： 在和中 ， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答的关键． 58．如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： （1）；  （2）；   （3）；  （4）． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果，，，那么，进而证明，即可得（答案不唯一） 【详解】如果，，，那么. 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了命题，三角形全等的性质与判定，理解题意写出命题是解题的关键． 59．如图：给出五个等量关系：①，②，③，④，⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出三个正确的结论，并任选其中一个加以证明． 【答案】①②为条件，③或④或⑤为结论，见解析 【分析】选择由①②推出③④⑤，理由是根据SSS证△DAB≌△CBA，推出④⑤，根据AAS证△DAE≌△CBE，能推出③． 【详解】已知AD=BC，AC=BD， 求证：CE=DE，∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 证明：在△DAB和△CBA中， ∵， ∴△DAB≌△CBA（SSS）， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△DAE和△CBE中， ∵， ∴△DAE≌△CBE（AAS）， ∴CE=DE， 即由条件①②能推出结论③或④或⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生能否灵活运用性质进行推理，题目比较好，难度适中． 60．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点． （1）请写出图中所有的全等三角形； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 【答案】（1）△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE，△BDF≌△CEF；（2）见解析 【分析】（1）写出图中所有的全等三角形即可； （2）由全等三角形的判定方法分别证明即可． 【详解】（1）解：△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE，△BDF≌△CEF； （2）证明：∵AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BD＝AE＝CE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠DBF＝∠ECF， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（AAS）， ∵AB＝AC， ∴∠DBC＝∠ECB， 在△BCD和△CBE中， ， ∴△BCD≌△CBE（SAS）． 以上任选其一证明即可． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形证明 （不同判定方法+添加条件+灵活选方法） （6种类型60道） 目录 【题型1 边边边“SSS”证全等】 1 【题型2 边角边“SAS”证全等】 3 【题型3 角角边“AAS”证全等】 5 【题型4 角边角“ASA”证全等】 8 【题型5 添加条件证全等】 10 【题型6 灵活选用判定证全等】 13 【题型1 边边边“SSS”证全等】 1．如图，，，点在上，点在上． 求证：． 2．如图，． (1)求证：； (2)求度数． 3．如图，在和中，，．求证：． 4．如图，已知，，．求证：． 5．如图，，，和相交于点．求证：． 6．如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． 7．在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． (1)求证： (2)证明：． 8．如图，已知，求证： 9．如图，，，且，，，四点共线，求证： 10．如图，点B，C，E在一条直线上，在和中，C是的中点，，．求证：． 【题型2 边角边“SAS”证全等】 11．已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 12．如图，，，．求证：． 13．已知：如图，平分，．求证：． 14．如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 15．如图，是的中点，，．求证：． 16．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 17．如图，点E，F在上，，，且． (1)填空：______； (2)与全等吗？请说明理由． 18．如图，在中，是的中点，且，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 19．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． 说明：． 20．已知：如图，．求证：． 【题型3 角角边“AAS”证全等】 21．已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 22．如图，A，B分别是线段，上的点，，．求证：． 23．如图，已知，，． (1)求证：； (2)直接写出与的位置关系． 24．如图，C，A，D在同一直线上，已知，，．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 25．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 26．已知：如图，P是平分线上的一点，，垂足分别为D，E．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 27．如图，已知，，求证： 28．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 29．如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)； (2)． 30．如图，，，，与交于点．求证：． 【题型4 角边角“ASA”证全等】 31．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 32．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 33．如图，点B、F、C、E在同一直线上，，．求证：． 34．如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长．    35．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：，． 36．如图，在中，，过的中点作线段交于点，交于，且，，求出的长． 37．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，求证：．    38．如图，已知中，，．直角的顶点D是中点，两边，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 39．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 40．如图，点D在上，在上，，，求证：． 【题型5 添加条件证全等】 41．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 42．如图，在 和 中， ．请你添加一个适当的条件，使 ，添加的条件是： （写出一个即可），并说明理由． 43．如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 44．如图，已知 ，可补充的一个条件是： ．证明： 45．如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 46．如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 47．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 48．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 49．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 50．如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【题型6 灵活选用判定证全等】 51．如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 52．如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 53．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明． 54．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等． 55．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可） 已知：______，______． 求证：△ABC≌△DEF． 56．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出． (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 57．如图，在和中，有下列四个等式：①；②；③；④．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号） 58．如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： （1）；  （2）；   （3）；  （4）． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 59．如图：给出五个等量关系：①，②，③，④，⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出三个正确的结论，并任选其中一个加以证明． 60．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点． （1）请写出图中所有的全等三角形； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$