精品解析：湖北省武汉光谷外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学测试题

武汉光谷外国语学校2024~2025学年上学期 九年级数学测试题 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 校标是一个学校的标志，也是一个学校的门面，包含着寓意、自豪与归属感，下列是四所学校的校标，其中属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（ ） A. 7 B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数的最大值是3 4. 若将方程化成(，为常数)形式，则的值是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为( ) A B. C. D. 6. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 7. 如图是一个长18cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的三分之一，设彩条的宽度为xcm,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若、、是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 13. 若关于x一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______． 16. 已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 三、解答题(共5小题，共52分) 17. 按要求解下列方程： （1）用配方法解：； （2）用公式法解：． 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 19. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 20. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． （1）请直接写出：抛物线的解析式 ，直线的解析式 ； （2）当时，的取值范围是 ； （3）当时，x的取值范围是 ． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，图中A，B两点都为格点，在网格中请仅用无刻度的直尺画图． （1）如图1，点C为与一横格线的交点． ①先将点C绕A点逆时针旋转得到点D； ②再画线段的中点E． （2）如图2，F格点． ①在图中画格点G，使，且； ②已知可绕某点P旋转得到，在图中画出旋转中心P． 四、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 22. 已知是一元二次方程的两个根．则_______． 23. 若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是______． 24. 已知一元二次方程的二次项系数是2，一个根是3，另一个根是，则这个方程为___________． 25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同. 26. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 27. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 五、解答题(共3小题，共32分) 28. 某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 29. 问题背景：（1）如图1，，，，图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角； 变式运用：（2）如图2，为外一点，，，，试探究线段，，之间的数量关系，说明理由； 拓展创新：（3）如图3，在菱形中，，，为上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点，连接，若，直接写出的长． 30. 如图1，直线与抛物线交于A、B两点，且A点横坐标为2，B点横坐标为． （1）直接写出：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）已知点P在抛物线上，连接，设P点的横坐标为t，的面积为S，当时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值； （3）如图2，点P在A、B之间的抛物线上，设抛物线与x轴正半轴交于点C，连接交x轴于点D，连接交于点E，连接，若，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉光谷外国语学校2024~2025学年上学期 九年级数学测试题 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 校标是一个学校的标志，也是一个学校的门面，包含着寓意、自豪与归属感，下列是四所学校的校标，其中属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据定义逐项判断即可.将一个图形绕某点旋转，能够与本身重合的的图形是中心对称图形． 【详解】解：因为将图A绕某点旋转，不能与本身重合，所以不符合题意； 因为将图B绕某点旋转，不能与本身重合，所以不符合题意； 因为将图C绕某点旋转，不能与本身重合，所以不符合题意； 因为将图D绕中心旋转，能与本身重合，所以符合题意． 故选：D． 2. 将方程化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先移项，再确定一次项系数即可； 【详解】解：由得：，所以一次项系数为， 故选择：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何关于的一元二次方程经过整理，都可以化为的形式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项． 3. 对于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数的最大值是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随增大而减小，由此逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，，故B不符合题意； ∴抛物线开口向下，故A不符合题意； ∴当x>−1时，y随x的增大而减小，函数的最大值为3，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 4. 若将方程化成(，为常数)的形式，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值． 【详解】解： 配方得：， 即， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 5. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．本题的关键是先利用互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，然后判断为等边三角形得到，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：，， ， 绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上， ，等于旋转角， 等边三角形， ， 即旋转角度为． 故选：． 6. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 7. 如图是一个长18cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的三分之一，设彩条的宽度为xcm,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设彩条的宽度为x cm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的三分之一列出方程:. 故选A. 8. 若、、是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出，，三个点离对称轴是远近即可解决问题． 【详解】解：由题知， 抛物线的对称轴为直线． 又，，， 且， 又抛物线开口向上， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 9. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 10. 抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得． 【详解】由， ， ， ∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴所得图象的解析式为， 即， ∴，， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律． 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标系中的点关于原点对称的坐标特征作答即可. 【详解】点P关于原点对称的点, 横坐标和纵坐标分别与点P的横坐标和纵坐标互为相反数, 故该点的坐标为(2,-3). 故本题正确答案为(2,-3). 【点睛】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点.注意:关于原点对称的点,横纵坐标分别互为相反数. 12. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到2a-1=2，由此求得a的值． 【详解】解：依题意得：2a-1=2． 解得a=． 故答案是：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，解得，再根据二次项系数不为0得到，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式进行计算，令即可得到关于k的不等式，解答即可． 本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 即， 故答案为： 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值. 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系：，，根据根与系数的关系可得出，，再根据方程根的意义得，即可得出结论，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ． 故答案为：． 三、解答题(共5小题，共52分) 17. 按要求解下列方程： （1）用配方法解：； （2）用公式法解：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵, ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 19. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 【答案】（1），（2）米，长方形的面积为4000平方米 【解析】 【分析】（1）根据铁栅栏总长为180米可得CD的长，再根据矩形的面积公式可得四边形的面积； （2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解之求得x的值，再依据两面墙的长度取舍即可得． 【详解】（1）设BC=x米，则CD=（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2． 故答案为（180﹣2x），x（180﹣2x）； （2）由题意，得：x（180﹣2x）=4000 整理，得：x2﹣90x+2000=0 解得：x=40或x=50． 当x=40时，180﹣2x=100＞90，不符合题意，舍去； 当x=50时，180﹣2x=80＜90，符合题意． 答：BC=50米，长方形的面积为4000平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出解题所需线段的长度，并依据矩形的面积公式列出关于x的方程． 20. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． （1）请直接写出：抛物线的解析式 ，直线的解析式 ； （2）当时，的取值范围是 ； （3）当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数的关系式，二次函数图象的性质， （1）先设顶点式，再将顶点坐标代入，并将点代入可得答案.然后令，求出点B，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）当时求出y，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【小问1详解】 设二次函数的关系式为， ∵抛物线的顶点为， ∴二次函数的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴二次函数的关系式为， 解得， ∴二次函数的关系式为． 当时，， ∴点． ∵直线经过点A，B， ∴， 解得， ∴直线的关系式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 当时，， 当时，函数值y随着x的增大而增大，最大值为4，当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 当时，当时，， ∴当时，； 当时，． 所以当时，x的取值范围是或． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，图中A，B两点都为格点，在网格中请仅用无刻度的直尺画图． （1）如图1，点C为与一横格线的交点． ①先将点C绕A点逆时针旋转得到点D； ②再画线段的中点E． （2）如图2，F为格点． ①在图中画格点G，使，且； ②已知可绕某点P旋转得到，在图中画出旋转中心P． 【答案】（1）①见详解②见详解 （2）①见详解②见详解 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，旋转性质，全等三角形，等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格特征，先根据点B绕A点逆时针旋转得到，再取与网格交点为点D，②连接，，结合是等腰三角形，连接与的中点，与的交点，即为线段的中点E； （2）①先运用网格特征，得，再得出，运用网格与勾股定理性质得出；②连接，然后作的垂直平分线，它们的交点即为点，即可作答． 【小问1详解】 解：①点D如图所示： ②点E如图所示： 【小问2详解】 解：①点G如图所示： ②旋转中心P如图所示： 四、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 22. 已知是一元二次方程的两个根．则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，，故． 【详解】解：由题意得，， ∵，而， ∴， 故答案为：． 23. 若抛物线与轴有交点，则整数最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系，得有实数根，所以且，求解取最大整数解，得答案． 【详解】解：由题意知，，方程有实数根 ∴，且 解得，且 ∴整数a的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根的判别，一元一次不等式的求解，理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 24. 已知一元二次方程的二次项系数是2，一个根是3，另一个根是，则这个方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2，一个根是3，另一个根是， ， 整理得， 故答案为：． 25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同. 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t=3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为2.5． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 26. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据将绕某点逆时针旋转，得到，为中点，可得，，，，即可求得直线解析式为，直线解析式为，从而可解得，即可． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 将绕某点逆时针旋转，得到， ，，， 为中点， ， ，，，， 由，得直线解析式为， 由得直线解析式为， 联立，解得， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，勾股定理，正确建立坐标系，通过联立直线解析式求出点F的坐标是解题的关键． 27. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④． 【详解】解：抛物线过，两点，且， ， ， ，即， 抛物线开口向下，， ，故①正确； 若，则， ， ，故②不正确； 抛物线，点，在抛物线上， ∴，，把两个等式相减，整理得， ，，， ， ， ，故③正确； 依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得， ， ，， ，， ， 故④正确． 综上所述，①③④正确． 故答案为；①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 五、解答题(共3小题，共32分) 28. 某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 【答案】（1） （2）每天获利不可能达到元，理由见解析 （3） 元 【解析】 【分析】（1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式； （2）由，再列方程利用判别式即可求解； （3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：每天获利不可能达到元，理由： 由题意得：，即， 整理得：， △，故方程无解， 即每天获利不可能达到元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 故当天获利的最大值为元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 29. 问题背景：（1）如图1，，，，图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角； 变式运用：（2）如图2，为外一点，，，，试探究线段，，之间的数量关系，说明理由； 拓展创新：（3）如图3，在菱形中，，，为上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）点，；（2），理由见详解；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等，即可求出旋转中心和旋转角； （2）证明，即可求解； （3）菱形，求出对角线的长度，在中，，即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴旋转中心是点，旋转角是． 故答案是：点，． （2），理由如下，如图所示， 延长至点，使得，连接， ∵， ∴点，，，四点共圆， 在，中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵在，中， ，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． （3）如图所示， 菱形，连接对角线， ∵，， ∴， ∴， 过点分别作于，于，过点作于，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴中，，且，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴，解方程得，，， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 30. 如图1，直线与抛物线交于A、B两点，且A点横坐标2，B点横坐标为． （1）直接写出：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）已知点P在抛物线上，连接，设P点的横坐标为t，的面积为S，当时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值； （3）如图2，点P在A、B之间的抛物线上，设抛物线与x轴正半轴交于点C，连接交x轴于点D，连接交于点E，连接，若，求P点的坐标． 【答案】（1），， （2），8 （3） 【解析】 【分析】（1）先由直线求出点、的坐标，再将点、的坐标代入抛物线得到二元一次方程组，解方程组得到、的值即可； （2）在抛物线上取一点，作轴交于点，作于，于，连接、，设点横坐标为，则，，从而得到，代入进行计算即可； （3）先由抛物线解析式可得，从而得到直线的解析式为：，再运用待定系数法分别得出直线的解析式为：，直线的解析式为：，因为直线，所以得出E点坐标，同理得出的解析式为，最后由可得，进行计算即可得到答案． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的应用、三角形面积的计算、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： 直线与抛物线交于、两点，且点横坐标为2，点横坐标为， 在中，当时，， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图1，在抛物线上取一点，作轴交于点，作于，于，连接、， ， 设点横坐标为，则点纵坐标为， ， ，点在直线上， ， ， ， 与之间的函数关系式为：； ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 解：如图2： 在抛物线中，令，即， 解得：，， 点在轴的正半轴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ∵交轴于点D， ∴把代入， 得出， ， ∵，， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ∵交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为， ∴把，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， 解得， 把代入， 得， ∴P点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$