精品解析：浙江省衢州市开化县2023-2024学年八年级下学期能力测试数学试题

2023-2024学年浙江省衢州市开化县八年级（下）能力测试数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 把多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 关于整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（ ） A. 方程没有整数根 B. 方程有两个相等的整数根 C. 方程有两个不相等整数根 D. 不能判定方程整数根的情况 4. 若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A a≤ B. a≥4 C. a≤或 a≥4 D. ≤a≤4 5. 已知的三边长分别为，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 腰长为的等腰三角形 C. 腰长为的等腰三角形 D. 腰长为的等腰三角形 6. 如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 7. 已知点与点关于y轴对称，则点的坐标为_______． 8. 如图，在梯形中，，已知的面积为4，的面积为9，则梯形的面积为______． 9. 一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围______． 10. 我们规定表示不超过x的最大整数，已知函数，若，则y的所有可能取值为______． 11. 如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（，），B（，）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为_____． 12. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 13. 如图（1），底面积为30cm²的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度（cm）与注水时间（s）之间的关系如图（2）所示. 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器的高为______cm，匀速注水的水流速度为______cm³/s； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm²，求“几何体”上方圆柱的高和底面积. 四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14 （1）解方程． （2）已知表示不大于x的最大整数，解方程． 15. 如图所示，在中，，，，求证：． 16. 给出如下n个平方数：，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为． （1）当时，试设计一种可行方案使得最小． （2）当时，试设计一种可行方案使得最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省衢州市开化县八年级（下）能力测试数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理得逆定理，等腰三角形的判定及应用，作图等知识，正确利用图形分类讨论是解题的关键． 首先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用、为腰以及，、为底得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示：，，， ∵， ∴是直角三角形，． ①当，符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，符合题意； ⑤，符合题意； ⑥， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴分开的两个三角形都是等腰三角形不符合题意， ∴前五种都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 2. 把多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，涉及完全平方差公式、十字相乘法分解因式，先把多项式中的前三项分成一组，用完全平方公式分解因式，第四和第五项分成一组，提取公因式2，最后用十字相乘法分解因式即可．熟记因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（ ） A. 方程没有整数根 B. 方程有两个相等的整数根 C. 方程有两个不相等的整数根 D. 不能判定方程整数根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根，假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出．熟练掌握奇数、偶数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 4. 若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A. a≤ B. a≥4 C. a≤或 a≥4 D. ≤a≤4 【答案】C 【解析】 【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程， 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0 的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0， （a-4）（a+2）≥0， 解得a≤-2或a≥4． 故选C． 5. 已知的三边长分别为，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 腰长为的等腰三角形 C. 腰长为的等腰三角形 D. 腰长为的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 6. 如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在中，，， 于是， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 7. 已知点与点关于y轴对称，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，解二元一次方程组，根据关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数列方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 8. 如图，在梯形中，，已知的面积为4，的面积为9，则梯形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，先证明，则根据相似三角形的性质得，所以，然后根据三角形不同底等高面积公式计算出，，最后计算出梯形ABCD的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵和是分别以、为底，且高相等， ∴， 同理：， ∴，， ∴梯形的面积． 故答案为：25． 9. 的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 10. 我们规定表示不超过x的最大整数，已知函数，若，则y的所有可能取值为______． 【答案】0，1，4 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，由题意的规定，分情况讨论，即可求解. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的所有可能取值为0，1，4． 故答案为：0，1，4． 11. 如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（，），B（，）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】 【详解】∵A（，），B（，）， ∴，， ， ∴， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°， ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴）． 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0）， ∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8， 由， 解得或， ∴M（1，6），N（3，2）， ∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=×4×6﹣×4×2=8， 故答案为8． 12. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 13. 如图（1），底面积为30cm²的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度（cm）与注水时间（s）之间的关系如图（2）所示. 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器高为______cm，匀速注水的水流速度为______cm³/s； （2）若“几何体”下方圆柱的底面积为15cm²，求“几何体”上方圆柱的高和底面积. 【答案】（1）14、5；（2） “几何体”上方圆柱的高为5cm，底面积为24cm². 【解析】 【分析】（1）根据水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系，可得圆柱形容器的高为14cm；然后用最上面没有圆柱是的注水体积除以时间即可得出；（2）首先根据圆柱的体积公式，求出“几何体”下方圆柱的高为多少，再用“几何体”的高减去“几何体”下方圆柱的高，求出“几何体”上方圆柱的高是多少；然后设“几何体”上方圆柱的底面积为scm2，求出s的值是多少即可． 【详解】（1）解：（1）根据水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系， 可得圆柱形容器高为14cm， 30×（14-11）÷（42-24）=30×3÷18=90÷18=5（cm3/s） 所以匀速注水的水流速度为5cm3/s； （2）由图像，得“几何体”下方圆柱的高为，则. 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为cm， 设“几何体”上方圆柱的底面积为cm²， 根据题意，得，解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm²， 故“几何体”上方圆柱高为5cm，底面积为24cm². 【点睛】此题主要考查了圆柱的侧面积、体积的求法，以及单式折线统计图的应用，解答此题的关键是弄清楚注水的三个阶段，难度适中. 四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程． （2）已知表示不大于x的最大整数，解方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和新定义，熟练掌握解二元一次方程组，新定义，列不等式组，解不等式组，是解题的关键．（1）两个方程相加、相减，化简得到两个简单的方程，重新组成方程组，解答即可； （2）先将方程变形为，根据列出不等式组，然后解关于x的不等式组即可． 【详解】解：（1）， ，得， 即， ，得， 即， ，得， ∴， ，得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）∵， ∴． ∵表示不大于x的最大整数，又表示数x的整数部分， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 15. 如图所示，在中，，，，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F，先证明△CED与△CFD全等，然后进一步再证明从而证明结论即可． 【详解】 如图所示．过点C作于点E，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴，且． ∵，， ∴， ∴，． ∴． 在△CED与△CFD中， ∵，，， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关概念是解题关键． 16. 给出如下n个平方数：，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为． （1）当时，试设计一种可行方案使得最小． （2）当时，试设计一种可行方案使得最小． 【答案】（1），或 （2）故设计为：①对，可让它们的平方数的代数和为-15，②对，可让它们的平方数的代数和为16，③对剩下的数，可让它们的平方数的代数和为0 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，对于（1），应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5，8项的符号于其它项的符号相反即可； 对于（2），利用，或，再设计方案即可． 【小问1详解】 ∵， 或， ∴最小且最小值为0； 【小问2详解】 设第一个数为k， 则， 或， ∴对于4个连续正整数的平方数的代数和的绝对值总为4， 或对于8个连续正整数平方数的代数和可以为0． ∵2021÷8=252……5， 为了尽量让最小， ∵， 故还剩（个数）， 而对于4个连续正整数的平方数的代数和的绝对值总为4， 故后面16个数：， 它们的和可以为16， 故前面21个数的和为1， 又对于8个连续正整数的平方数的代数和可以为0， 故后面的个数正好是8的倍数， 它们的和为0， 故设计为： ①对，可让它们的平方数的代数和为-15， ②对，可让它们的平方数的代数和为16， ③对剩下的数，可让它们的平方数的代数和为0， 故最小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$