专题03 指数函数重难点题型专训（22大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题03 指数函数重难点题型专训（22大题型+20道拓展培优） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据函数是指数函数求参数 题型三 求指数函数解析式 题型四 判断指数型函数的图象形状 题型五 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型六 指数型函数图象过定点问题 题型七 求指数(型)函数的定义域 题型八 求指数型复合函数的定义域 题型九 求指数函数在区间内的值域 题型十 求指数型复合函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域) 题型十二 判断指数函数的单调性 题型十三 判断指数型复合函数的单调性 题型十四 比较指数幂的大小 题型十五 求已知指数型函数的最值 题型十六 根据指数函数的最值求参数 题型十七 含参指数函数的最值 题型十八 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十九 列出指数函数模型的解析式 题型二十 指数函数模型的应用 题型二十一 指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 题型二十二 指数函数图像应用 知识点01：指数函数的概念 当给定正数a，且a≠1时，对任意的实数x都有唯一确定的正数y=a与之对应，因此y=a是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数。 知识点02：指数函数的图像 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数（且），若，则（    ） A． B． C．2 D．4 1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数和函数这两个函数的解析式有什么共同特征？ 【经典例题二 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（21-22高一上·北京大兴·期中）设函数，且，，则（    ） A．24 B．24.2 C．26 D．26.5 1．（2020高二·北京·学业考试）如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（20-21高一上·北京石景山·期中）函数是指数函数，则的取值范围 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）为什么指数函数的定义中规定，？ 【经典例题三 求指数函数解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【经典例题四 判断指数型函数的图象形状】 【例4】（24-25高三上·河南开封·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图像一定过 象限． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 【经典例题五 根据指数型函数图象判断参数的范围】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【经典例题六 指数型函数图象过定点问题】 【例6】（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且．假设无论a取何值，函数的图像恒经过一个定点，求此定点的坐标． 【经典例题七 求指数(型)函数的定义域】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 3．（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【经典例题八 求指数型复合函数的定义域】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 1．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【经典例题九 求指数函数在区间内的值域】 【例9】（2024高一上·江苏·专题练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【经典例题十 求指数型复合函数的值域】 【例10】（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 【经典例题十一 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)】 【例11】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求函数的值域和单调区间． 【经典例题十二 判断指数函数的单调性】 【例12】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数且，则下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的图象恒过定点 D．若，则 1．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）理解记忆指数函数的图象时应注意什么？ 【经典例题十三 .判断指数型复合函数的单调性】 【例13】（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【经典例题十四 比较指数幂的大小】 【例14】（23-24高一上·天津·期中）已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，对，求证：． 【经典例题十五 求已知指数型函数的最值】 【例15】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 1．（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 【经典例题十六 根据指数函数的最值求参数】 【例16】（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于6，求实数a的值． 【经典例题十七 含参指数函数的最值】 【例17】（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 2．（2024高三·北京·专题练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．设函数，当时，则函数的值域为 . 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【经典例题十八 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例18】（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【经典例题十九 列出指数函数模型的解析式】 【例19】（20-21高一上·重庆江津·阶段练习）中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是（    ）模型. A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 1．（22-23高三·山东·阶段练习）20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，已知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x年后剩余量为y单位，则y关于x的函数表达式是（） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）已知（且），则 ； . 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知镭经过100年后剩留的质量为原来的95.76%，设质量为1g的镭经过x年后的剩留量为yg. （1） 求100年、200年、300年后镭的剩留量(精确到0.0001g)； （2） 写出函数y＝f(x)的解析式. 【经典例题二十 指数函数模型的应用】 【例20】（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【经典例题二十一 指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质】 【例21】（22-23高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023高一·全国·课后作业）函数与函数的图象关于 对称． 3．（23-24高一上·广西·阶段练习）已知，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论. (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【经典例题二十二 指数函数图像应用】 【例22】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 1．（21-22高一上·山西太原·期中）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，则（   ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 4．（21-22高三上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 7．（22-23高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 8．（21-22高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．与 B． C．与 D．与 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 10．（23-24高一上·重庆·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 11．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为 . 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若函数是定义在上偶函数，，则 . 13．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 14．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 . 15．（22-23高一上·浙江杭州·期中）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min后桶1中的水只有升，则m的值为 ． 16．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若是定义在上的偶函数，且时，，求的解析式． 17．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求当时的函数值； (2)求在上的解析式. 18．（2022高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性. 19．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知函数（为常数）. (1)若函数在定义域内单调递增，求的值； (2)若函数是奇函数，求证：在上单调递增. 20．（2021高一·上海·专题练习）截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)． （1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域； （2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？ （3）哪一年年底的人口数将达到135万？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 指数函数重难点题型专训（22大题型+20道拓展培优） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据函数是指数函数求参数 题型三 求指数函数解析式 题型四 判断指数型函数的图象形状 题型五 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型六 指数型函数图象过定点问题 题型七 求指数(型)函数的定义域 题型八 求指数型复合函数的定义域 题型九 求指数函数在区间内的值域 题型十 求指数型复合函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域) 题型十二 判断指数函数的单调性 题型十三 判断指数型复合函数的单调性 题型十四 比较指数幂的大小 题型十五 求已知指数型函数的最值 题型十六 根据指数函数的最值求参数 题型十七 含参指数函数的最值 题型十八 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十九 列出指数函数模型的解析式 题型二十 指数函数模型的应用 题型二十一 指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 题型二十二 指数函数图像应用 知识点01：指数函数的概念 当给定正数a，且a≠1时，对任意的实数x都有唯一确定的正数y=a与之对应，因此y=a是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数。 知识点02：指数函数的图像 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数（且），若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】， 由于且，所以. 故选：D 1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 2．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数和函数这两个函数的解析式有什么共同特征？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】如果用字母a来代替底数1.01和，那么以上两个函数都可以表示为的形式，其中自变量x是指数，底数a是一个大于0且不等于1的常数． 【经典例题二 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（21-22高一上·北京大兴·期中）设函数，且，，则（    ） A．24 B．24.2 C．26 D．26.5 【答案】B 【分析】先根据已知条件算出，再根据得出答案. 【详解】解：由题意得： 两式相除可得：，故 故选：B 1．（2020高二·北京·学业考试）如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将点代入函数解析式，即可得出的值. 【详解】由题意可知，解得或（舍） 故选：B 2．（20-21高一上·北京石景山·期中）函数是指数函数，则的取值范围 . 【答案】且. 【解析】根据指数函数的定义，即可求出的取值范围. 【详解】根据指数函数的定义，可得且. 故答案为：且 3．（24-25高一上·上海·课前预习）为什么指数函数的定义中规定，？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合指数幂的性质分析判断. 【详解】对于指数函数， 当时，时没有意义； 当时，为常数函数，没有研究的价值与意义； 当时，则定义域的情况太复杂，无法进行有价值的研究． 所以指数函数的定义中规定，且. 【经典例题三 求指数函数解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 2．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】代入点的坐标求出的值，从而求出函数解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 【经典例题四 判断指数型函数的图象形状】 【例4】（24-25高三上·河南开封·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用奇函数性质排除A，用特殊值排除CD即可. 【详解】，且定义域（）关于原点对称， 所以函数为奇函数，排除A， 当时，，排除D. 当趋于时，趋于，排除C，经检验B符合题意. 故选：B. 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，利用排除法进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，函数，因此排除D. 当时，函数，因此排除A和C， 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图像一定过 象限． 【答案】第一象限和第二 【分析】根据指数函数的图象与性质判断即可. 【详解】，在上单调递减， 根据指数函数的图象，知一定过第一象限和第二象限. 故答案为：第一象限和第二 3．（23-24高一·全国·课堂例题）观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）当时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快． （2）当时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快． （3）底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即与图象关于y轴对称． 【经典例题五 根据指数型函数图象判断参数的范围】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果． 【详解】解：指数函数过点，则函数过点， 若图像不经过第二象限，则， 即． 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数型函数的性质即可得解. 【详解】因为函数单调递增，又过点， 若的图象不经过第二象限，则，即， 即实数的取值范围为. 【经典例题六 指数型函数图象过定点问题】 【例6】（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可． 【详解】因为当时，即时，， 所以函数的图像恒经过定点， 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且．假设无论a取何值，函数的图像恒经过一个定点，求此定点的坐标． 【答案】 【分析】令指数为0即可得到答案. 【详解】令，解得，此时， 则其所过定点为. 【经典例题七 求指数(型)函数的定义域】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 1．（2024·全国·模拟预测）指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 【答案】A 【分析】由指数函数的性质求解． 【详解】因为指数函数为：且，它的定义域为：， 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 【答案】 4 【分析】对于（1），运用指数函数限制条件列不等式求解； 对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解. 【详解】（1）已知指数函数，则，且， 解得或，且， 实数的取值范围是. （2）代入指数函数，得，解得（负值舍去）， 所以解析式，当时，. 故答案为：；4． 3．（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R (2) (3) (4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 【经典例题八 求指数型复合函数的定义域】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 1．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数型函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于，有，解得， 故的定义域为； （2）对于，有，即， 故的定义域为. 【经典例题九 求指数函数在区间内的值域】 【例9】（2024高一上·江苏·专题练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别由指数函数和一元二次函数性质化简集合，，再由两个集合的交集的定义即可求出. 【详解】因为时且， 所以集合，， 所以. 故选：A. 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先求解函数的解析式，再根据指数函数的性质求函数的值域. 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 【经典例题十 求指数型复合函数的值域】 【例10】（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数的值域分析求解. 【详解】由题意可得：的值域是，即，可得， 所以的值域是. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3). 【分析】利用二次型函数和钩型函数的性质，结合指数函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由知函数的定义域为 所以， 所以，即函数的值域是. （2）函数的定义域为.而， 所以当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上，函数的值域为. （3），函数的定义域为，令，则， 所以，即. 故函数的值域为. 【经典例题十一 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)】 【例11】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为在上的值域为，然后结合的图象分析出所满足的不等关系，由此求解出结果. 【详解】因为在上的值域为， 将问题转化为在上的值域为， 且开口向上对称轴为，，如下图所示： 由图象可知：，解得， 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，由指数函数的图象性质可解. 【详解】由，且， 所以，则，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求函数的值域和单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】设，可得，利用二次函数的基本性质可求得原函数的值域，再由复合函数的单调性可得原函数的单调性. 【详解】函数的定义域为R，设，则． 因为， 所以函数的值域为． 因为在上单调递减，此时由得． 又指数函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 同理，因为在上单调递增，此时由得． 又指数函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 【经典例题十二 判断指数函数的单调性】 【例12】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数且，则下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的图象恒过定点 D．若，则 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】函数且为指数函数，指数函数的定义域为，值域为，故A错误； 若，则在上单调递增，所以，则，故B错误； 指数函数的图象恒过定点，故C正确； 若，则在上单调递减，则由，得，故D错误； 故选：C. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由单调性的性质可得为常数，则设，分析可得，解可得的值，即可得函数的解析式，将代入计算可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立， 则为常数，设，则， 又由，则， 由于函数均为单调递增函数，所以单调递增，且，故， 则， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课前预习）理解记忆指数函数的图象时应注意什么？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】根据指数函数的图象与性质，可得： （1）指数函数的图象按照底数的大小，分和两种情况讨论； （2）当时，的值越小，函数的图象越接近轴；当时，的值越大，函数的图象越接近轴． （3）指数函数的图象都经过点，且图象都在第一、二象限，位于轴上方． 【经典例题十三 .判断指数型复合函数的单调性】 【例13】（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围. 【详解】由函数的定义域为， 设，则， 又单调递增， 当时，，，无单调性，不成立； 当时，在和上单调递增， 即在和上单调递增， 所以，则，即； 当时，在和上单调递减， 即在和上单调递减，不成立； 综上所述， 故选：C. 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可求解. 【详解】设，则， 因为在和上是减函数， 且在和上是增函数， 所以函数的单调递减区间是和. 故选：D 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】令，则，先求出的单调性和指数函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的定义域是R． 令，则． 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又函数在R上是增函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递减区间是，单调递增区间是 【经典例题十四 比较指数幂的大小】 【例14】（23-24高一上·天津·期中）已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小. 【详解】，故. 故选：B 1．（23-24高三下·北京·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用特殊值代入判断即可. 【详解】对于A，取满足题意，但，故A错误； 对于B，取满足题意，但，故B错误； 对于C，因为,所以, 因为指数函数在R上单调递减， 所以,故C正确； 对于D，取满足题意，但，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，对，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据指数函数的单调性即可求证. 【详解】证明  ∵，∴， 又∵，∴，即，∴． 【经典例题十五 求已知指数型函数的最值】 【例15】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由函数的基本性质可得，若，则，进一步即可得解. 【详解】设，，首先定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数， 不妨设，则， 所以. 故选：C. 1．（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质得，再由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故函数的最大值为4. 故答案为：4. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 【答案】 【分析】先将函数去绝对值符号化为分段函数并求其单调性，进而可求得参数的不同取值对函数 单调性的影响，从而依据单调性即可求得函数最值. 【详解】令， 所以函数， 又因为是增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，如图： 所以当时，函数在上单调递增， 此时函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时函数的最小值为. 所以函数，的最小值为. 【经典例题十六 根据指数函数的最值求参数】 【例16】（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 1．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/ 【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值. 【详解】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于6，求实数a的值． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性有，即可求得实数a的值. 【详解】因为指数函数（且）在区间上单调， 又在区间上的最大值与最小值之和等于6， 则，即，解得或（舍去）， 即实数a的值为． 【经典例题十七 含参指数函数的最值】 【例17】（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】按照与1的大小进行分类讨论，求出函数在上的最值，从而可得的值. 【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故选：D 2．（2024高三·北京·专题练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．设函数，当时，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数定义和性质，列出方程，求得，得到，再利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 可得且，解得或， 又因为指数函数在其定义域内为单调递增函数，所以，即， 由函数，令，其中，可得， 所以， 根据二次函数的性质，可得， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 【经典例题十八 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例18】（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 1．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 2．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，然后可求出的范围； （2）由可得，然后分离变量求解即可. 【详解】（1）因为的图象经过第一、二、三象限，所以． 因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 因为，所以， 即的取值范围为． （2）因为，所以， 则对任意的成立等价于对任意的成立． 由，得， 则即 因为，所以，，， 因为， 所以． 故存在满足条件的实数m，且． 【经典例题十九 列出指数函数模型的解析式】 【例19】（20-21高一上·重庆江津·阶段练习）中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是（    ）模型. A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 【答案】C 【解析】根据题意列出函数模型即可得答案． 【详解】解：一年后，小明的本金和利息共有， 两年后，小明的本金和利息共有， 则年后，小明的本金和利息共有， 共取得的利息可构建函数， 采用了指数函数模型． 故选：C． 1．（22-23高三·山东·阶段练习）20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，已知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x年后剩余量为y单位，则y关于x的函数表达式是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出1单位的碳14经过1年后剩余量单位,再根据半衰期可求得,从而可求得y关于x的函数表达式. 【详解】设1单位的碳14经过1年后剩余量为单位,则经过年后剩余量为, 根据半衰期的定义可得,时,, 所以,所以, 所以 . 故选A. 【点睛】本题考查了求函数解析式以及指数幂的运算,属于中档题.解题关键是求出1单位的碳14经过1年后剩余量. 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）已知（且），则 ； . 【答案】 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， . 故答案为：； 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知镭经过100年后剩留的质量为原来的95.76%，设质量为1g的镭经过x年后的剩留量为yg. （1） 求100年、200年、300年后镭的剩留量(精确到0.0001g)； （2） 写出函数y＝f(x)的解析式. 【答案】（1） 0.9576（g），0.9170（g），0.8781（g）；（2）. 【分析】（1）根据条件算出即可； （2）由题意可得. 【详解】（1） 100年后镭的剩留量为1×95.76%＝0.9576（g），200年后镭的剩留量为1×(95.76%)2≈0.9170(g)，300年后镭的剩留量为1×（95.76%）3≈0.8781(g). （2） x年即个100年，所以经过x年后镭的剩留量为， 所以 【经典例题二十 指数函数模型的应用】 【例20】（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【答案】B 【分析】由题意可得桶中水的体积，由，可得，利用，结合指数运算可得答案. 【详解】由题意，桶中水的体积， 因为时，，所以，得． 设再经过分钟后桶中的水只有升，则， 所以， 所以，即再经过15分钟，桶中的水只有升． 故选：B 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 2．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 【经典例题二十一 指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质】 【例21】（22-23高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，当时，可得，排除B、D选项；在根据指数函数与幂函数的增长趋势，得到当时，，即可求解. 【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项； 当时，可得； 当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势， 可得函数大于函数的增长速度，所以， 所以选项A不符合，选项C符合. 故选：C. 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，根据指数函数的性质知增长速度更快，知成立，充分性成立； 当时，成立，但不成立，显然必要性不成立， 故选:A 2．（2023高一·全国·课后作业）函数与函数的图象关于 对称． 【答案】轴 【分析】化为同底，由函数图象的对称变换即可判断. 【详解】因为，所以函数与函数的图象关于y轴对称. 故答案为：y轴 3．（23-24高一上·广西·阶段练习）已知，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论. (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）先利用完全平方公式和立方差公式把问题转化成的形式，结合的符号，转化为恒成立问题，再结合换元法求出的最小值即可. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设且，则 . ∵，所以，，∴. 所以在上为增函数. （2）由 因为，所以 所以原命题转化为：在恒成立. 设，，由（1）可知：， 所以，又因为（当时取“”） 所以，即得取值范围是. 【点睛】立方差公式的应用是一个难点，学生对这个公式不太熟悉.把求的取值范围转化为恒成立问题或存在性问题，是常见的一种解题思路，一定要培养这种思考的方式. 【经典例题二十二 指数函数图像应用】 【例22】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解. 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 2．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 【答案】10 【分析】作出函数的图象可得答案. 【详解】作出函数在区间上的图象， 如图，根据函数的单调性，此时． 又当时，，所以当时，， 部分函数图象如图，由图象可得，，，…，， ，，，…，，即，即， 解得，即2，3，4，…，10，11， 故集合中的元素个数为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象是解题的关键点. 3．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 1．（21-22高一上·山西太原·期中）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图像的平移变换或根据可得. 【详解】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为. 另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点. 故选：B 2．（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，则（   ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】C 【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案. 【详解】，函数定义域为. ，函数为奇函数， 设，，函数单调递增，而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减， 而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数. 故选：C. 4．（21-22高三上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，由已知可得对任意的恒成立，解得对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 则当时，，，故对任意的，， 对任意的，不等式恒成立， 即，即对任意的恒成立， 且为正数，则，可得，所以，，可得. 故选：A. 5．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：， 故选：B.    6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】AD 【分析】由题意首先得分别是奇函数，偶函数，进一步根据函数奇偶性的定义逐一判断每一选项即可求解. 【详解】由题意函数的定义域都是关于原点对称， 且，所以分别是奇函数，偶函数， 对于A，定义域为关于原点对称， 且，所以是奇函数，故A正确； 对于B，若有意义，则，解得，即函数定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数，故D正确. 故选：AD. 7．（22-23高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项. 【详解】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD 8．（21-22高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】BC 【分析】分别求得对应选项中函数的定义域，并判断对应关系是否相同，即可判断是否表示同一个函数. 【详解】对A：，故可得，又，对应关系不同， 故与表示不同的函数； 对B：，故与表示同一个函数； 对C：，故与表示同一个函数； 对D：，其定义域为，与的定义域不相等，故与表示不同的函数； 综上所述，表示同一个函数的是. 故选：. 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】CD 【分析】作出函数图像判断A，举反例判断B，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C，指数函数的性质判断D即可. 【详解】结合函数的图象可知，，    由，得不出，故A错误， 令，此时，但是，故B错误. 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确. 因为，所以，故， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可． 10．（23-24高一上·重庆·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】BD 【分析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可. 【详解】由图可知，函数图象经过，即，则，所以， 所以不是常数，则浮藻每个月的面积是上个月的2倍， 则每个月的增长率为，故A错误，C错误； 当时，，故B正确； 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，， 则，由指数函数的单调性知，故D正确； 故选：BD 11．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为 . 【答案】 【分析】利用抽象函数关系式，可知常见函数类型中的指数函数符合题意. 【详解】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为. 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若函数是定义在上偶函数，，则 . 【答案】6 【分析】根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可. 【详解】令，则的定义域为，关于原点对称， 又，所以是上的奇函数， 所以. 故答案为：6 13．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由在上的值域是在上的值域的子集求解. 【详解】解：由题意可知在上单调递增，则在上的值域是， 当时，在上单调递减，则在上的值域是. 因为，，，所以解得. 当时，在上单调递增，则在上的值域是. 因为，所以解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】12 【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值. 【详解】函数的定义域需满足，即，即定义域为， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 综上可知，函数的最小值为. 故答案为： 15．（22-23高一上·浙江杭州·期中）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min后桶1中的水只有升，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】代入数据得到，根据题意得到，解得答案. 【详解】当时，，即， ，即，故，故. 故答案为：10 16．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若是定义在上的偶函数，且时，，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数求出参数的值. (2)根据求出，求出的表达式，根据偶函数求出时的表达式. 【详解】（1）（且）的图象经过点， ∴，又且 ∴； （2）当时，， 设，则， 则， 因是定义在R上的偶函数，所以， 所以，函数的解析式为． 17．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求当时的函数值； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义直接求解； （2）由奇函数的奇偶性分求解析式即可. 【详解】（1）当时，， 又是上的奇函数， 所以. （2）当时，； 当时，，此时. 当时，. 所以在上的解析式为 18．（2022高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）由分母不为零即可求解； （2）由奇偶性的定义判断即可 【详解】（1）由，得，即， 因此函数的定义域为. （2）由（1）知，函数的定义域为，关于坐标原点对称， 又， 所以为奇函数. 19．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知函数（为常数）. (1)若函数在定义域内单调递增，求的值； (2)若函数是奇函数，求证：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）按照、及分类讨论，根据单调性的定义及性质即可求解； （2）先由函数是奇函数求得，再根据单调性的定义结合指数函数的单调性按照步骤证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ①当时，在上显然单调递增； ②当时，取，因为， 所以在上不可能单调递增； ③当时，取，因为， 所以在上不可能单调递增； 综上，若函数在定义域内单调递增，则. （2）令，函数定义域为， 若是奇函数，则，所以， 当时，，定义域为R，因为， 所以是奇函数，，设 ， 因为且在上单调递增，所以，则， 所以，即，所以在上单调递增. 20．（2021高一·上海·专题练习）截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)． （1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域； （2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？ （3）哪一年年底的人口数将达到135万？ 【答案】（1）y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)；（2）134；（3）2031年. 【分析】（1）由题可知经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，进而得答案； （2）结合（1）将代入求解即可； （3）结合（2）分别计算2030年,2031年的人口数，即可得答案. 【详解】解：（1）2018年年底的人口数为130万； 经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)； 经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)； 经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)． …… 所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同， 所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)． （2）2029年年底，经过了11年，过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)． （3）由（2）可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135. 2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)， 2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)． 所以2031年年底的人口数将达到135万． 学科网（北京）股份有限公司 $$