第8课 有理数的除法-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第8课 有理数的除法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数的除法法则，理解0不能作除数. 2. 理解倒数的概念. 3.会把除法转化为乘法进行计算. 4.会运用除法法则求两个有理数的商，会进行简单的乘除混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的除法 1.有理数的除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0. （2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒、、数. 知识点02 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.把乘除混合运算统一成乘法的真正意义在于使乘法交换律结合律、约分等能够适用，使计算变得简便. ( 能力拓展 ) 考点01 有理数的除法 【典例1】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点02 有理数乘除混合运算 【典例3】11．计算： (1) (2) (3) 【即学即练3】计算： (1)； (2)； (3)． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算（﹣6）÷2的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣12 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 3．下列计算错误的是（　　） A．4÷（﹣）＝4×（﹣2）＝﹣8 B．（﹣2）×（﹣3）＝2×3＝6 C．﹣（﹣3）÷3＝﹣（﹣1）＝1 D．﹣3﹣5＝﹣3+（+5）＝2 4．下列计算结果等于1的是（　　） A．（﹣2）+（﹣2） B．（﹣2）÷（﹣2） C．﹣2×（﹣2） D．（﹣2）﹣（﹣2） 5．计算：的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12 6化简：＝　﹣　；＝　﹣　；＝　6　． 7．填空：（1）（　　）×＝﹣3； （2）（﹣）÷（　 　）＝． 8．计算：＝　　． 9．若﹣2除以一个有理数的商是8，则这个有理数是 　　． 10．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 11．计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；（2）（﹣8）÷（﹣1.25）； （3）； （4）． 12．计算： (1) (2)； (3) (4)． 题组B 能力提升练 13．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 14．下列计算错误的是（　　） A．（﹣2）﹣（﹣5）＝+3 B．（﹣+）×（﹣35）＝（﹣35）×（﹣）+（﹣35）× C．（﹣2）×（﹣3）＝+6 D．18÷（﹣）＝18÷﹣18÷ 15．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（　　） A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 16．下列等式中不成立的是（　　） A．﹣ B．＝ C．÷1.2÷ D． 17．已知|x|＝4，|y|＝7，且＜0，则x+y＝　　． 18．在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为  　　． 19．计算，正确的结果是　　． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题组C 培优拔尖练 21．△÷□＝〇…8，这是一道有余数的除法算式，其中□最小是（　　） A．8 B．7 C．9 D．6 22．已知有理数a，b，c，d，且a＜0＜b＜c＜d，任取两数计算，则以下判断错误的是（　　） A．最大的和为c+d B．最大的差为 d﹣a C．最小的积为 ad D．最大的商为 23．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（如图），如字母Q与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为a时，将a+7除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X”对应密文“W”． 按上述规定，将密文“TKGDFY”解密成明文后是（　　） A．DAISHU B．TUXING C．BAIYUN D．SHUXUE 24．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．若ab≠0，则++的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式＝﹣． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8课 有理数的除法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数的除法法则，理解0不能作除数. 2. 理解倒数的概念. 3.会把除法转化为乘法进行计算. 4.会运用除法法则求两个有理数的商，会进行简单的乘除混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的除法 1.有理数的除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0. （2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒、、数. 知识点02 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.把乘除混合运算统一成乘法的真正意义在于使乘法交换律结合律、约分等能够适用，使计算变得简便. ( 能力拓展 ) 考点01 有理数的除法 【典例1】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】直接利用有理数除法的运算法则计算即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【思路点拨】（1）根据有理数的除法法则进行计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （3）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （4）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （5）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （6）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 【点睛】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 考点02 有理数乘除混合运算 【典例3】11．计算： (1) (2) (3) 【思路点拨】（1）将除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可； （2）将除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可. 【解析】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【即学即练3】计算： (1)； (2)； (3)． 【思路点拨】（1）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （3）根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘法和除法法则是解题的关键，注意运算顺序． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算（﹣6）÷2的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣12 【思路点拨】根据有理数的除法法则：“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”即可知答案． 【解析】解：原式＝﹣（6÷2）＝﹣3， 故选：B． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的除法，关键是依据法则计算． 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【思路点拨】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解析】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 3．下列计算错误的是（　　） A．4÷（﹣）＝4×（﹣2）＝﹣8 B．（﹣2）×（﹣3）＝2×3＝6 C．﹣（﹣3）÷3＝﹣（﹣1）＝1 D．﹣3﹣5＝﹣3+（+5）＝2 【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝4×（﹣2）＝﹣8，不符合题意； B、原式＝6，不符合题意； C、原式＝﹣（﹣1）＝1，不符合题意； D、原式＝﹣8，符合题意， 故选：D． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．下列计算结果等于1的是（　　） A．（﹣2）+（﹣2） B．（﹣2）÷（﹣2） C．﹣2×（﹣2） D．（﹣2）﹣（﹣2） 【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解析】解：A、原式＝﹣4，错误； B、原式＝1，正确； C、原式＝4，错误； D、原式＝﹣2+2＝0，错误， 故选：B． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的除法，有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．计算：的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12 【思路点拨】根据有理数的除法法则，可得除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘法运算，可得答案． 【解析】解：＝﹣3×（﹣2）×（﹣2） ＝﹣3×2×2 ＝﹣12， 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，转化成乘法，注意先确定符号，再进行运算． 622．化简：＝　﹣　；＝　﹣　；＝　6　． 【思路点拨】逐一约分即可得． 【解析】解：＝﹣；＝﹣；＝6； 故答案为：﹣、﹣、6． 【点睛思路点拨】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则． 7．填空：（1）（　﹣　）×＝﹣3； （2）（﹣）÷（　﹣　）＝． 【思路点拨】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解析】解：（1）∵（　　）×＝﹣3， ∴﹣3÷＝﹣×＝﹣； 故答案为：﹣； （2）∵（﹣）÷（　　）＝， ∴﹣÷＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛思路点拨】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．计算：＝　﹣8　． 【思路点拨】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果． 【解析】解：原式＝﹣2×2×2＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 9．若﹣2除以一个有理数的商是8，则这个有理数是 　﹣　． 【思路点拨】根据题意列出式子再进行计算即可． 【解析】解：由题可知，﹣2÷8＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛思路点拨】本题考查有理数的除法，能够根据题意列出式子是解题的关键． 10．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【思路点拨】根据除法的运算法则，逐一进行计算即可． 【解析】（1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 【点睛】 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；（2）（﹣8）÷（﹣1.25）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【解析】解：（1）（﹣2）×（﹣8）， ＝2×8， ＝16； （2）（﹣8）÷（﹣1.25）， ＝8×， ＝； （3）11÷×（﹣）， ＝﹣11×7×， ＝﹣28； （4）（﹣1.5）×÷（﹣）×， ＝×××， ＝． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，熟记运算法则是解题的关键． 12．计算： (1) (2)； (3) (4)． 【思路点拨】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 题组B 能力提升练 13．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【思路点拨】求出a的正确取值，代入﹣16÷a即可． 【解析】解：计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12， 即：﹣16+a＝﹣12，则a＝4． ﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4． 故选：D． 【点睛思路点拨】此题考查有理数的除法，求出a的正确取值是关键． 14．下列计算错误的是（　　） A．（﹣2）﹣（﹣5）＝+3 B．（﹣+）×（﹣35）＝（﹣35）×（﹣）+（﹣35）× C．（﹣2）×（﹣3）＝+6 D．18÷（﹣）＝18÷﹣18÷ 【思路点拨】利用有理数的减法法则判断A；利用乘法分配律判断B；利用有理数的乘法法则判断C；根据混合运算的法则计算后判断D． 【解析】解：A、（﹣2）﹣（﹣5）＝﹣2+5＝+3，计算正确； B、（﹣+）×（﹣35）＝（﹣35）×（﹣）+（﹣35）×，计算正确； C、（﹣2）×（﹣3）＝+6，计算正确； D、因为18÷（﹣）＝18÷＝108，18÷﹣18÷＝36﹣54＝﹣18， 所以18÷（﹣）＝18÷﹣18÷，计算错误． 故选：D． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 152．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（　　） A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【思路点拨】不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8． 【解析】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元． 故王明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用．注意售书有三种优惠方案． 16．下列等式中不成立的是（　　） A．﹣ B．＝ C．÷1.2÷ D． 【思路点拨】A、先化简绝对值，再根据有理数减法法则计算； B、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，据此判断； C、根据有理数除法法则判断； D、根据有理数除法法则判断． 【解析】解：A、原式＝﹣＝，选项错误； B、等式成立，所以选项错误； C、等式成立，所以选项错误； D、，所以不成立，选项正确． 故选：D． 【点睛思路点拨】本题主要考查了有理数的减法和除法法则． 减法、除法可以分别转化成加法和乘法，乘方是利用乘法法则来定义的，所以有理数混合运算的关键是加法和乘法． 加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分，同学在计算中要学会正确确定结果的符号，再进行绝对值的运算． 17．已知|x|＝4，|y|＝7，且＜0，则x+y＝　﹣3或3　． 【思路点拨】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出x与y的值，代入计算即可求出x+y的值． 【解析】解：∵|x|＝4，|y|＝7，且＜0， ∴x＝4，y＝﹣7；x＝﹣4，y＝7， 则x+y＝﹣3或3． 故答案为：﹣3或3． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为  　﹣2.5　． 【思路点拨】由实数的大小比较法则，即可求解． 【解析】解：∵在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商是负数，且商的绝对值最大时，此时两数商最小， ∴在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为﹣5÷2＝﹣2.5， 故答案为：﹣2.5． 【点睛思路点拨】本题考查实数的大小比较，关键是掌握：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 19．计算，正确的结果是　﹣36　． 【思路点拨】先算括号内的，将结果作除数再算除法． 【解析】解：＝6÷（﹣）＝﹣36， 故答案为：﹣36． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，需注意除法没有分配律，要先计算括号内的． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先转换成乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可； （3）将原式转换为，然后根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【解析】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用． 题组C 培优拔尖练 21．△÷□＝〇…8，这是一道有余数的除法算式，其中□最小是（　　） A．8 B．7 C．9 D．6 【思路点拨】根据在有余数的除法中，余数总比除数小解答即可得到结论． 【解析】解：∵余数是8， ∴除数最小是8+1＝9， 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查了有理数的除法，正确地求出结果是解题的关键． 22．已知有理数a，b，c，d，且a＜0＜b＜c＜d，任取两数计算，则以下判断错误的是（　　） A．最大的和为c+d B．最大的差为 d﹣a C．最小的积为 ad D．最大的商为 【思路点拨】按照有理数的运算法则计算即可得解． 【解析】解：负数小于正数，b是整数，a是负数， 所以＜0＜， 因此该说法错误， 故选：D． 【点睛思路点拨】本题主要考查了有理数运算法则的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（如图），如字母Q与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为a时，将a+7除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X”对应密文“W”． 按上述规定，将密文“TKGDFY”解密成明文后是（　　） A．DAISHU B．TUXING C．BAIYUN D．SHUXUE 【思路点拨】根据“明文”与“密文”的转化规则，由“明文”得出“密文”，反之亦然． 【解析】解：由“明文”与“密文”的转换规则可得： 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查有理数的运算，理解转换的规则是得出答案的前提． 24．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】（1）两数相除异号得负； （2）两数相乘异号得负； （3）同号两数相加取相同的符号； （4）a的绝对值小于b的绝对值，推结果； （5）﹣a＜0，﹣b＞0； （6）（7）正数判断大小一目了然，负数根据绝对值判断大小． 【解析】①∵由数轴可知a＞0，b＜0，∴①对． ②由数轴可知a＞0，b＜0， ∴ab＜0， ∴②错． ③a＞0，﹣b＞0， ∴a﹣b＞0． ∴③错． ④由数轴可知a＞0，b＜0， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴a+b＜0， ∴④错． ⑤）∵﹣a＜0，﹣b＞0， ∴﹣a＜﹣b． ∴⑤对． ⑥∵a＞0，|b|＞0， ∴a＜|b|， ∴⑥对． ⑦∵a＞0，﹣a＜0，﹣b＞0，b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴⑦对． 故选：C． 【点睛思路点拨】本题考查有理数的乘除、加减法则，掌握符号的确定，判断字母值的大小是解决此题关键． 25．若ab≠0，则++的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简得到结果，即可做出判断． 【解析】解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1+1＝3； 当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； 当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1； 当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1， 则原式的取值共有2个． 故选：B． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 26．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式＝﹣． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【思路点拨】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【解析】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣） ＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式＝． 【点睛思路点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$