专题04 指数运算与指数函数（5类经典基础+3类优选提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江西专用）

专题04 指数运算与指数函数 指数幂的运算 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西·期中）（    ） A． B．2 C． D． 3．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）（1）计算： （2）化简：． 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）已知：，求的值. 6．（23-24高一上·江西新余·期中）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 7．（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式． (1)； (2)． 指数函数的概念 1．（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式. 指数函数的图象及应用 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知函数（且）的大致图象如下所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     4．（多选）（22-23高一上·广西百色·期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．.   B．   C．   D．   5．（23-24高一上·江西南昌·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 比较指数幂的大小关系 1．（23-24高一上·江西新余·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·江西九江·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，（），总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 指数函数中的定义域及值域问题 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 化简求值 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)求； (2)求． 2．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，化简：． 求参数范围 1．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数（）． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·江西·期中）完成下列问题： (1)求不等式的解集； (2)已知函数（且）的图象过定点，若，使，求实数m的取值范围. 6．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形； (2)证明函数的单调性，解关于的不等式（为常数且）． 函数新定义 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）定义：若将函数的图象平移可以得到函数的图象，则称函数，互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”． (1)判断并证明函数的单调性； (2)求实数a的值； (3)求由函数的图象、函数的图象及y轴围成的封闭图形的面积． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界． (1)判断函数是否是上的有界函数； (2)试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数运算与指数函数 指数幂的运算 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分数指数幂运算法则计算出答案． 【详解】． 故选：C． 2．（23-24高一上·江西·期中）（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算求解. 【详解】, 故选:B. 3．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）（1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）6 ；（2） ． 【分析】（1）（2）利用指数的运算规则化简即可. 【详解】（1）． （2）． 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）已知：，求的值. 【答案】（1）；（2）2 【分析】 根据指数的运算性质计算可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，，所以，， 所以. 6．（23-24高一上·江西新余·期中）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案. （2）由根式化成分数指数幂的形式，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式===. （2）原式===， 因为，， 所以原式==3. 7．（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式. 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式. 指数函数的概念 1．（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可. 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 2．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得或. 故选：AB 3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【答案】(1,2) 【分析】由指数函数经过(2,9)求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集. 【详解】设且，所以有，解得，即， 因此函数为R上的增函数， 因为，所以，解得， 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）设指数函数，将点代入，求得，即可求解； （2）画出函数的图象，得到在上单调递增，把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）设指数函数，且， 把点代入，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）画出指数函数的图象，如图所示， 所以函数在上单调递增； 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为. 指数函数的图象及应用 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排除C，根据函数奇偶性以及特殊值即可判断. 【详解】因为，所以排除选项C. 因为，所以为偶函数，排除选项A. 因为，，所以排除选项B. 故选：D. 2．（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知函数（且）的大致图象如下所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】由图可知，函数在定义域上单调递减，所以， 又因为由的图象向上平移大于2个单位且小于3个单位可得到函数的图象， 所以， 故选:BC. 3．（多选）（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】AD 【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可. 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D. 故选：AD. 4．（多选）（22-23高一上·广西百色·期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．.   B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】根据指数函数图像性质直接判断. 【详解】由题意得，中若，，则， 若，，则； 中表示纵截距. 对于A，图像中，图像中，故A错误； 对于B，图像中，图像中，故B正确； 对于C，图像中，图像中，故C错误； 对于D，图像中，图像中，故D正确； 故选：BD 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，从而可得答案. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以其图象关于原点对称， 所以排除CD， 因为和在上递增， 所以在上递增，所以排除B， 故选：A 比较指数幂的大小关系 1．（23-24高一上·江西新余·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性可判断各选项正误. 【详解】A选项，因函数在R上单调递增，则，故A错误； B选项，因函数在R上单调递减，则，故B错误； C选项，因函数在R上单调递增，则，故C正确； D选项，因函数在R上单调递减，则，故D错误. 故选：C 2．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据指数函数的性质即可得的大小关系. 【详解】解：， 因为， 所以，因此. 故选：B. 3．（23-24高一上·江西·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为为增函数，所以，即； 又，即；所以. 故选：A. 4．（多选）（23-24高一上·江西九江·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A对； 对于B选项，因为函数为上的减函数，则，B错； 对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以，，C对； 对于D选项，因为函数为上的增函数，且，所以，，D错. 故选：AC. 5．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数幂运算，利用指数函数单调性即可得，由不等式性质可得. 【详解】因为， 易知， 而， 所以，且. 故选：ACD 6．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，（），总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数特称分析出在R上的单调性，利用单调性比较大小，得到结论. 【详解】对任意的，（），总有， 即，则为区间上的减函数 因此函数在区间上单调递减，又因为函数是定义在R上的奇函数， 可以得到函数在R上单调递减． 因为是增函数，所以，故选项A错误； 因为是减函数，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D正确． 故选：CD. 7．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，利用幂函数单调性即可判断AD，利用指数函数的单调性判断B，利用“1”比较大小可判断C. 【详解】由可知，函数在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 因为为上的增函数，故，故，故A错误； 因为为减函数，所以，故，故B正确； 因为，，所以，所以，故C正确； 由在上是增函数，所以，所以 ，故D错误. 故选：BC 指数函数中的定义域及值域问题 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】确定的定义域为，得到，解得答案. 【详解】函数的定义域为，故的定义域为， 的定义域满足，解得，即定义域为， 故答案为：. 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合函数的性质可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，故A正确；     对于B，函数为偶函数，证明：设，定义域为关于原点对称， 且，则为偶函数，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递减， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 所以函数在上单调递减，故C正确；     对于D，因为为偶函数，且的值域为， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 则函数的值域为，故D错误. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分别求出分段函数每段上的值域，再由的值域为，可求出实数的取值范围 【详解】（1）当时，当时，在上递增，则， 当时，，则， 因为的值域为， 所以，得，所以， （2）当时，当时，在上递增，则， 当时，在上递增，所以， 因为的值域为，所以， 得（）， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示 由图象可知当时，， 所以当不等式（）成立， 综上， 即实数的取值范围， 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得，即得答案； （2）利用换元法结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意知即的解集为， 故方程的两个根是1和3， 故，即， 故. （2）， 令，若，则， 所以， 当时，取得最小值2， 当时，取得最大值11， 则的值域为. 化简求值 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数幂的性质和完全平方公式即可求出结果. 【详解】（1）， 因为，所以. （2）由（1）得，， 所以. 2．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，化简：． 【答案】 【分析】根据指数运算可得. 【详解】因为，所以， ． 因为，所以 所以 所以． 求参数范围 1．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数、分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为是定义在上的增函数， 函数在上为增函数，则， 函数在上为增函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在上的单调性，从而将问题转化为在上恒成立，进而可求出的取值范围. 【详解】的定义域为， 因为，所以为偶函数， 所以可化为， 当时，， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以由，得在上恒成立， 所以，化简得在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为， 故选：C 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定出分段函数的单调性，由单调性确定不等式的解，再根据恒成立得结论． 【详解】是减函数，也是减函数，时，，所以在上是减函数， 因此不等式等价于，即，因此有． 故选：A． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数（）． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）确定的解为或，解得答案. （2）变换得到，即，计算函数最值得到答案. 【详解】（1）的解集为，则的解为或， 故，解得，； （2），，即， 设，，则，即， 整理得到：， 当时，最小为，故且，即 5．（23-24高一上·江西·期中）完成下列问题： (1)求不等式的解集； (2)已知函数（且）的图象过定点，若，使，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可； （2）先通过指数型函数过定点求出解析式，然后利用最值法求解有解问题即可. 【详解】（1）因为，所以，因为函数为单调递增函数，所以， 所以，所以不等式的解集为； （2）因为函数（且）的图象过定点， 所以，所以，所以， 因为，使，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以. 6．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，，得； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令， 因为在上递增，所以在上递减， 所以在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形； (2)证明函数的单调性，解关于的不等式（为常数且）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，答案见解析 【分析】（1）构造，计算得到证明； （2）设，计算即得到函数单调性，变换得到，得到，讨论得到答案. 【详解】（1），则， 函数定义域为，， 故函数为奇函数， 故函数的图像关于成中心对称图形； （2）设，则， ，，故， 即，故函数在上单调递减，在上单调递减， ，则， 即，即， ，整理得到， 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时， ①若，不等式的解为或； ②若，不等式的解为； ③若，不等式的解为或； 综上所述： 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 函数新定义 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）定义：若将函数的图象平移可以得到函数的图象，则称函数，互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”． (1)判断并证明函数的单调性； (2)求实数a的值； (3)求由函数的图象、函数的图象及y轴围成的封闭图形的面积． 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明； （2）利用函数图象的变换关系求解； （3）利用奇函数的对称性求解. 【详解】（1）因为，所以在上单调递增． 证明：设，则． 因为，所以，即，且，， 所以，所以， 即函数在R上单调递增． （2）因为， ， 而通过平移变换可以得到，所以． 此时，， 可由函数的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，满足题意. （3）由（2）知， 所以的图象是由的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得． 因为是奇函数，图象关于中心对称，所以的图象关于点中心对称． ，的图象与y轴交点为，其关于点的对称点为， 由图象可以得到， 封闭图形的面积为长为2，宽为1的矩形面积的一半， 所以． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界． (1)判断函数是否是上的有界函数； (2)试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，确定，根据得到范围，得到答案. （2）变换，考虑，，三种情况，根据或计算最值得到答案. 【详解】（1）定义域为，设，则， 当时，则，解得， 即，且；当时，； 综上所述：，即， 取，满足条件，即函数是否是上的有界函数. （2）， ①当时，，此时的取值范围是； ②当时，在上是单调递减函数，其值域为， 所以 ，此时的取值范围是； ③当 时，， 若在上是有界函数，则区间为的定义域的子集， 所以恒不为零，即为恒正区间或恒负区间， 所以或，解得或， 此时的值域为， 当，即或时，， 此时的取值范围是； 当，即时，， 此时的取值范围是. 综上所述： 当或时，的取值范围是； 当或时，的取值范围是； 当时，不是区间上的有界函数. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，求函数最值，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中在参数不好确定的情况下利用分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论的方法是常考的技巧，需要熟练掌握. 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