专题03 函数及其性质、幂函数的图象与性质（5类经典基础+3类优选提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江西专用）

专题03 函数及其性质、幂函数的图象与性质 函数的概念 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 6．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 7．（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为 . 8．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 函数的表示方法 1．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．10 2．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，分别由下表给出，则函数的值域是（    ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．（23-24高一上·江西·期中）已知定义在R上的函数则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，则 ． 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，则 ． 7．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，则 8．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知函数的图象如图所示.求： (1)函数的定义域；值域. (2)p取何值时，有唯一的m值与之对应. 函数的单调性及最值 1．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数，若对、有，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 8．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知定义在R上的函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为6，求实数t的值． 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)若，求的取值范围． 函数的奇偶性 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高一上·江西九江·期中）定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 4．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，，…，，则 . 5．（23-24高一上·江西新余·期中）是定义在上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有，当时，，且，则函数在上的最大值为 ． 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知为奇函数. (1)求，的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明. 7．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的图象关于原点对称，且． (1)求m，n的值； (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增． 8．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是增函数． 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围. 幂函数的图象及性质 1．（23-24高一上·江西景德镇·期中）若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知幂函数的图象经过原点，则 . 6．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知幂函数的图象与轴没有交点，则 ． 7．（23-24高一上·江西·期中）若幂函数为奇函数，则的值为 . 8．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 9．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知幂函数，的图象分别过点，． (1)求函数，的解析式； (2)写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果） 10．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数，且的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 已知单调性及最值求参数范围 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数的值． 4．（23-24高一上·江西抚州余·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 5．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·江西·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO“”可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，若该曲线能够用来表示，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）若函数的定义域为，对任意满足，且偶函数，则下列说法中正确的是（    ） （注：） A．的一个周期为2 B． C．的一条对称轴为 D． 4．（22-23高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为，为奇函数，其中a为正实数，且当时，．若对于任意，不等式恒成立，则实数b的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且满足：；当时，． (1)求a的值； (2)求函数的解析式； (3)解不等式 6．（23-24高一上·江西·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）在上最小值为. (1)求的解析式； (2)令，点在图象上，若，求的取值范围. 8．（22-23高一上·江西赣州·期中）若是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 函数新定义 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（22-23高一上·江西赣州·期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（    ） A．在上是增函数 B． C．为奇函数 D．的值域为 4．（多选）（22-23高一上·江西景德镇·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数（），下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．的值域为 C．为偶函数 D． 5．（23-24高一上·江西赣州·期中）定义表示不小于的最小整数，如，，设函数. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若，，，，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江西九江·期中）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， (1)求函数的“稳定点”； (2)求证：； (3)若，且，求实数的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数及其性质、幂函数的图象与性质 函数的概念 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使得函数式子有意义，列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 2．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域的求法即可求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，求解即可. 【详解】根据题意可得，，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，解不等式得到答案. 【详解】函数的定义域为，故，解得， 故函数的定义域为. 故选：A 5．（23-24高一上·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数； ②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ④，两个函数定义域不一样，不是同一函数. 故选：B. 6．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据定义域的求解方法求解. 【详解】∵,∴或， 故答案为：． 7．（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： 8．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由定义域为即可知不等式对恒成立，对进行分类讨论即可； （2）由的值域为可知函数的值域包括，限定的取值即可求得结果. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以对恒成立. 当时，不恒成立，不合题意. 当时，由题意可得， 解得. 综上可知的取值范固为. （2）设函数的值域为. 因为的值域为，所以. 当时，的值域为，满足题意. 当时，由题意知，解得. 故的取值范围为. 函数的表示方法 1．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，可得答案. 【详解】，. 故选：D. 2．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，分别由下表给出，则函数的值域是（    ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义计算函数值后可得． 【详解】，，． 值域为， 故选：A． 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】直接根据函数的平移法则得到答案. 【详解】函数的图象向右平移1个单位得到， 再将得图象向上平移1个单位得到. 故选：B. 4．（23-24高一上·江西·期中）已知定义在R上的函数则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分段函数求值和自变量，结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若，则，所以， 若，则，所以， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据函数的解析式直接求值即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数，则 【答案】/ 【分析】根据题意，代入函数解析式计算，即可得到结果. 【详解】． 故答案为： 8．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知函数的图象如图所示.求： (1)函数的定义域；值域. (2)p取何值时，有唯一的m值与之对应. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) 【分析】（1）根据函数定义域，值域的定义，结合图象求解； （2）通过图象解答即可. 【详解】（1）观察函数的图象，可得或，， 故函数的定义域为，值域为. （2）由图知：时，有唯一的m值与之对应. 函数的单调性及最值 1．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数，若对、有，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上为增函数，根据二次函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的、有， 不妨设，则，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数的对称轴为直线，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数单调性求出的范围进而判断即可. 【详解】函数在R上单调递增， ，解得， 所以是函数在R上单调递增的充分不必要条件. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的对称轴及选项即可得到答案． 【详解】依题意可得的图象的对称轴为， 又函数在上是单调函数， 则或． 故选：ABD． 4．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，把变形分析，可得在区间上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，已知函数， 设，则，有， 故， 又由任意，都有， 即，变形可得， 设， 由，，可知， 则在区间上为减函数， 因为单调减区间为和， 必有或，解可得或， 即的取值范围为； 所以符合条件的选项只有选项AD. 故选：AD． 5．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据分段函数的单调性得到不等关系，解得答案. 【详解】函数是上的减函数，则，解得. 故选：BC 6．（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由的图像可以得出的性质，即可判断选项. 【详解】因为的图像如下图所示，由图像可知，的值域为，故A正确； 在区间上单调递减，在区间上单调递减，故B错误； 所以当时，，故D正确； 由图像可知，的图像关于点对称，所以，故C正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接代入数据计算得到答案. （2）设，计算得到证明. 【详解】（1），，解得； （2），设，则： ， ，则，，， 故，即， 故函数在上单调递增. 8．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知定义在R上的函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为6，求实数t的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用换元法可得得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【详解】（1）不妨令，则， 即， 故； （2）若函数在区间上的最小值为， (i)当时，即，此时函数在区间上单调递减， 则或（舍）； (ii)当时，即此时函数在区间上单调递增， 则或（舍）； (iii)当，即，此时函数. 综上所述，或. 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法即可证明函数在上单调递增； （2）由（1），根据可得，解之即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增. 证明：设， 则， 由，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （2）由（1）知函数在上单调递增， 又， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 函数的奇偶性 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，再代入解析式求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以． 故选：B 2．（23-24高一上·江西九江·期中）定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，然后分、两种情况解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，，则 ， 下面解不等式. 当时，即当时，则，解得，此时，； 当时，即当时，则， 可得，解得或，此时，或. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 【答案】CD 【分析】对于AB，由结合函数的对称性分析判断，对于C，将中的换为，再结合已知的式子和奇函数的定义分析判断，对于D，由函数为奇函数和已知可得，，则，再结合已知的解析式可求得结果. 【详解】对于A，因为对，都有，即， 所以函数的图象关于成中心对称，所以A错误， 对于B，因为对，都有，所以函数的图象关于直线轴对称，所以B错误， 对于C，因为对，都有， 所以，即， 所以，所以函数为奇函数，所以C正确， 对于D，因为，为奇函数，所以， 所以，设，则， 因为当时，， 所以当时，，所以D正确， 故选：CD 4．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，，…，，则 . 【答案】10000 【分析】根据题意可得两个函数的图象都关于点对称，利用对称性即可求解. 【详解】由，可得的图象关于点对称. 因为函数的图象是由函数的图象向右平移5个单位长度， 再向上平移5个单位长度得到的，所以的图象也关于点对称. 根据题意不妨设，由对称性可得，， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·江西新余·期中）是定义在上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有，当时，，且，则函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】综合应用抽象函数的奇偶性、单调性即可解决. 【详解】设，，且，，由（2）得， . 由（1）得，， 即，即， 所以为上单调递减的奇函数. 因为， 所以. 故答案为：10. 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知为奇函数. (1)求，的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由函数定义域为且满足即可求出，； （2）利用单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 因为为奇函数，所以，得. 由，可得，解得. 此时，经检验满足， 所以可得，； （2）在上单调递增 理由如下：由（1）得， 任取，则 因为，所以，，，， 所以， 所以，即， 故在上单调递增. 7．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的图象关于原点对称，且． (1)求m，n的值； (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的奇偶性和经过的点求解； （2）利用单调性的定义证明. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称， 所以对于定义域内的任意都有：， 解得，所以， 又因为，解得，所以，. （2）由（1）可知，， 任意， ， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 8．（23-24高一上·江西九江·期中）已知函数． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是增函数． 【答案】(1)函数的定义域为，为奇函数 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：对于函数，则，所以的定义域为， 函数为奇函数，证明如下： 由， 又的定义域为，所以函数为奇函数. （2）证明：任取、，且， 则， 又，，则，所以， 故函数在上是增函数． 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，进而列出方程组求解即可； （2）分和两种情况求得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，， 即，解得，， 此时， 则， 即，所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，； 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 综上所述，， 由题意，存在，不等式成立，则只需要即可， 所以，即实数的取值范围为. 幂函数的图象及性质 1．（23-24高一上·江西景德镇·期中）若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据幂函数表达式特征求值再代入验证即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 当时，图象不经过原点，符合题意； 当时，图象经过原点，不符合题意. 所以b的值为0. 故选：D 2．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以,解得， 故选:C. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案． 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 则或， 又因为的图像与坐标轴没有公共点， 所以，则， 故选：C． 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 5．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知幂函数的图象经过原点，则 . 【答案】8 【分析】利用幂函数定义及图象特征求解即得. 【详解】由幂函数，得， 即，解得或， 当时，，其图象不经过原点， 当时，，其图象经过原点， 所以. 故答案为：8 6．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知幂函数的图象与轴没有交点，则 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知或， 当时，显然与轴有交点，排除. 当，符合题意. 故答案为： 7．（23-24高一上·江西·期中）若幂函数为奇函数，则的值为 . 【答案】0 【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为：0 8．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，得到的值即可求出函数解析式，最后求函数值即可； （2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）将代入可得，解得，故，所以； （2）因为在上单调递增，且， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 9．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知幂函数，的图象分别过点，． (1)求函数，的解析式； (2)写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果） 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据幂函数的解析式，代入点，可得答案； （2）根据（1）作图，结合图象，可得答案. 【详解】（1）设，，由条件，得 ，即， ，即． （2）在同一坐标系中，作出函数，的图象， 观察得到不等式的解集是． 10．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数，且的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）直接利用幂函数的单调性解不等式. 【详解】（1）函数为幂函数， ，解得或， 当时，是偶函数，关于轴对称，舍去； 当时，是奇函数，关于原点对称， ； （2）明显在上单调递增， 对于，有， 解得或 已知单调性及最值求参数范围 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判定分段函数的单调性，再计算即可. 【详解】由二次函数的单调性可知，时，单调递减， 时，单调递减，且，故函数在区间上单调递减， 因此不等式等价于，即， 因此有. 故选：A 2．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立， 所以函数在R上递减， 所以，即，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，解得答案. （2）考虑，，三种情况，计算函数的值域，计算得到答案. 【详解】（1）不等式的解集为，即方程的两根是， 因此，解得， 不等式，即，即， 解集为或； （2）因为，所以， 由题意知对任意的，都存在，使得， ①当时，，的取值范围是，即， 对任意的，都存在，使得， 等价于，即，解得，或（舍去）； ②当时，，的最小值为， 令，这时； ③当时，，的取值范围是，即， 对任意的，都存在，使得， 等价于，即，解得（舍去），或． 综上所述：或． 4．（23-24高一上·江西抚州余·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二次根式有意义的条件、定义域的概念即可得解. （2）由题意只需，即可，从而转换为恒成立问题即可得解. （3）首先由题意或或，其次直接由减函数的定义分析得到，由此即可得解. 【详解】（1）若，要使函数有意义，由，解得， 即函数的定义域为. （2）由题意，，函数均有意义，即，，， 故只需，，即只需且即可. 综上所述，实数a的取值范围为. （3）当时，为常函数，不符合题意，再由（2）可知或或； 设，，且． ， 由，可得， 要使函数在区间上为减函数，只需，则， 解得，或， 综上所述，实数a的取值范围为. 5．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为，结合函数的单调性，分别求得和，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：函数在上单调递减. 证明：任取且， 则， 因为且，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2）解：由对任意，，都有成立，即， 由（1）知，函数在区间上单调递减，所以， 因为函数在区间上为单调递增函数，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·江西·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO“”可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，若该曲线能够用来表示，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图象判断函数是一个偶函数排除选项B，再根据图象零点个数排除选项A，根据区间一开始是单调递减的排除选项D，即可得解. 【详解】由图可知，函数是一个偶函数， 对于A，当时，， 则， 当时，， 则， 所以是偶函数， 又当时，无解， 即函数图象与x轴没有交点，不符合题意； 对于B，当时，， 则， 当时，， 则， 所以是奇函数，不符合题意； 对于C，当时，， 则， 当时，， 则， 所以是偶函数； 对于D，当时，， 则， 当时，，则， 所以是偶函数， 又时，，与图象不合，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变换得到在上单调递增，确定关于原点对称，得到为偶函数，，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【详解】，，，故， 即函数在上单调递增， 函数的图象关于中心对称，则关于原点对称， 即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减. ，则，， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，； 综上所述：. 故选：D 3．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）若函数的定义域为，对任意满足，且偶函数，则下列说法中正确的是（    ） （注：） A．的一个周期为2 B． C．的一条对称轴为 D． 【答案】BCD 【分析】根据函数为偶函数得到，确定函数周期为，A错误，，B正确，，C正确，确定，计算得到D正确，得到答案. 【详解】偶函数，则，即， 故，又， 故，，即， 函数周期为， 对选项A：函数周期为，错误； 对选项B：，故，又，即， ，正确； 对选项C：，故， 即，函数关于对称，正确； 对选项D：，取得到， ，，正确； 故选：BCD. 4．（22-23高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为，为奇函数，其中a为正实数，且当时，．若对于任意，不等式恒成立，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到为奇函数，进而求出，然后得到函数的解析式和单调性，将所求不等式进行等价转化得到恒成立，根据一次函数的性质列出不等式组，解之即可求解. 【详解】∵为奇函数，即为奇函数， ∴关于中心对称．故，且为正实数，∴． ∴，根据二次函数的性质易知在上单调递增． 而， 故恒成立等价于恒成立， ∴，也即． 由一次函数的性质可知，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且满足：；当时，． (1)求a的值； (2)求函数的解析式； (3)解不等式 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由奇函数求得代入解析式运算得解； （2）根据奇函数的性质，求得函数解析式； （3）根据奇函数的性质，整理不等式，利用单调性，解不等式，可得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又当时，， 则， ． （2）由（1）知当时，． 当时，，， 由为奇函数，有， 所以，， 又． 所以． （3）， 由（2）中的函数解析式可知，当时，是增函数， 当时单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以． 即实数m的取值范围是． 6．（23-24高一上·江西·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【详解】（1）由已知，对于，，成立． 令，则，可得． （2）由（1）得， 令，则．所以，对有， 故是奇函数． （3）任取且，则，由已知有， 又，得， 所以在上是减函数． 因为，即 所以． 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以. 讨论如下：当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 7．（23-24高一上·江西南昌·期中）在上最小值为. (1)求的解析式； (2)令，点在图象上，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑，，三种情况，计算最值得到答案. （2）确定关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，得到，解得答案. 【详解】（1），函数对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故； ②当，即时，； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：. （2）， 设，，为偶函数， 当时，，函数单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 可以由向左平移1个单位得到， 故函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， ，即，解得，即. 8．（22-23高一上·江西赣州·期中）若是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上的单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题意，利用函数单调性的定义即可证明； （2）结合题意将问题等价转化为对任意的恒成立，分和两种情况分离变量，再利用函数的单调性求出最值即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增 证明如下：设且，令，，且， 所以， 因为定义在上的为奇函数，得， 由可知，故，即， 所以函数在上单调递增. （2）不等式对任意的恒成立， 因为函数是定义在上的奇函数， 则有对任意的恒成立， 由（1）可知，函数在上单调递增， 则有对任意的恒成立， 所以可得对任意的恒成立， ①当时，不等式化为，即， 故，令，则， 所以， 函数在区间上单调递增，所以当时，即时，， 此时实数的取值范围：， ②当时，不等式化为， 即，故恒成立，令，则， 所以， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，即时，，此时实数的取值范围为， 综上实数的取值范围为. 函数新定义 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据符号函数的解析式，解方程，然后根据充分性和必要性的概念得答案. 【详解】若，则， 因为，所以， 解得， 故“”是“”的充要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·江西南昌·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对二次函数进行配方，结合函数的性质可得的值域，进而得到的值域． 【详解】，故 所以函数的值域为， 故选：B． 3．（多选）（22-23高一上·江西赣州·期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（    ） A．在上是增函数 B． C．为奇函数 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据高斯函数的定义、函数单调性、奇偶性的定义求解可得答案. 【详解】因为，， 即，故A不正确；B正确； 因为，所以C不正确； 因为表示不超过的最大整数，设，则， 则，即的值域为，故D正确. 故选：BD 4．（多选）（22-23高一上·江西景德镇·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数（），下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．的值域为 C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】由黎曼函数的定义一一分析即可. 【详解】依题意当为无理数（）时无解， 当为有理数（）时，即，为大于的正整数，、为既约的正整数， 则方程，解得，为大于的正整数， 当时，解得，当时无解， 所以方程的解集为，故A正确； 因为，但是不存在正整数，使得，故B错误； 若为上的无理数，则也为无理数，此时， 若，则，此时， 若为上的有理数，则也为有理数，此时， 综上可得，有，所以关于对称， 即，则为偶函数，故C正确； 由，若为无理数时，此时， 若或时，此时， 若为有理数（且），即，为大于的正整数，、为既约的正整数， 则，所以，故D正确； 故选：ACD 5．（23-24高一上·江西赣州·期中）定义表示不小于的最小整数，如，，设函数. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若，，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据定义可知需满足，解不等式即可求得的取值范围； （2）利用对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，即可得在的值域为，根据不等式恒成立问题利用二次函数最值即可求出的取值范围是. 【详解】（1）由题意得， 解得 即的取值范围是. （2）当时，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为，，所以在的值域为. ，， 则，，， 即，，. 当时，，得， 因为，所以，解得； 当时，，得， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，在理解新定义的基础上结合已有函数性质，将问题实现等价转化再结合不等式恒成立问题即可求得参数取值范围. 6．（23-24高一上·江西九江·期中）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， (1)求函数的“稳定点”； (2)求证：； (3)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）解方程，可得出函数的“稳定点”； （2）分、两种情况讨论，结合“不动点”、“稳定点”的定义结合集合的包含关系可证得结论成立； （3）先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论. 【详解】（1）解：由有，得：， 所以函数的“稳定点”为. （2）证明：若，则，显然成立； 若，设，有，则有，所以，故. 综上所述，. （3）解：因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得. 又由得：，即， 由（1）知，故方程左边含有因式 所以， 又，所以方程要么无实根，要么根是方程的解， 当方程无实根时， 或，即， 当方程有实根时， 则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以． 综上：的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$