专题14 数列（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题14 数列（练习） 一、填空题 1．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 2．63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 3．已知数列的前项和，则 . 4．已知数列满足，，则 . 5．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 6．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 7．在数列中，，，则 . 8．已知数列满足，若，则 ． 9．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 10．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则 . 11．已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 12．已知等差数列中，，，，则 ． 13．记为等差数列的前项和，若，则 ． 14．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 15．已知正项等差数列满足，则 . 16．设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ． 17．已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 18．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 19．已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 20．已知是公比为的等比数列，若，则 . 21．各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则 . 22．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 23．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了 项. 24．在数列中，，且，则实数的取值范围是 ． 25．已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ． 26．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 二、单选题 27．已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 28．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 29．设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 30．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 33．已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 34．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 35．已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 36．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 37．设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 38．若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． (1)已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； (2)若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 数列（练习） 一、填空题 1．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【解析】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 2．63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 【答案】7 【分析】根据规律，找出通项，进而得到答案. 【解析】根据3，8，15，24，35，…归纳出其通项公式为：， 当时，， 所以63是数列3，8，15，24，35，…的第7项， 故答案为：7. 3．已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【解析】数列的前项和，所以. 故答案为：5 4．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【解析】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 5．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【解析】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 6．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【解析】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 7．在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】对取倒数得，利用等差数列定义判断并求出其通项公式，从而求出. 【解析】对取倒数得，∴， ∴是为首项，3为公差的等差数列. ∴，∴，∴. 故答案为： 8．已知数列满足，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意，由递推关系式代入计算，即可得到结果. 【解析】由条件可得，，，，则. 故答案为：5 9．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】分解因式化简条件式得，利用与的关系计算即可. 【解析】由可得， 所以（舍），， 当时，， 当时，， 将代入得， 所以的通项公式是 故答案为：． 10．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则 . 【答案】2 【分析】由题意，从而，再利用对数运算求解即可. 【解析】因为且，所以，所以，所以. 故答案为：2 11．已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 【答案】 【分析】分离常数，然后利用数列单调性求最小项. 【解析】， 当时，， 当时，，要取最小的项需在此范围内取到， 又当时，为单调递减数列， 所以当时，最小. 故答案为：. 12．已知等差数列中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】根据等差数列前项和公式基本量运算可得. 【解析】， 整理得，解得或（舍去），即． 故答案为：12 13．记为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】63 【分析】先由等差数列的通项公式结合题意求出，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得， 解得，所以. 故答案为：63. 14．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【解析】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 15．已知正项等差数列满足，则 . 【答案】1 【分析】根据等差数列下标和性质可得，即可得结果. 【解析】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 16．设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质，推导出，代入题干所给公式得到结果. 【解析】， 故答案为：． 17．已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解. 【解析】由，所以，所以数列为等差数列， 并设其公差为，首项为，又因为， 即，解得， 因为，所以，， 所以. 故答案为：. 18．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】由，可得，再代入，即可得第一空答案；求得，从而得，求出以的最小值，即可得第二空答案. 【解析】由，可得， 又因为，所以， 又因为， 即，解得； 因为，， 所以， 所以， 因为当或时，取小值， 所以取最小值， 即的最小值为. 故答案为：2； 19．已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【解析】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 20．已知是公比为的等比数列，若，则 . 【答案】25 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【解析】因为 所以 故答案为：25 21．各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则 . 【答案】 【分析】由条件可得，即，从而解得公比的值，而，得出答案. 【解析】设数列的公比为，∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，解得. ∵数列各项都是正数，∴，∴，∴. 故答案为： 22．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【解析】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 23．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了 项. 【答案】3 【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答. 【解析】因为，， 所以不等式左边的比增加了，共3项. 故答案为：3 24．在数列中，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式求解. 【解析】由题意知，解得． 故答案为： 25．已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知得出直线必过点，取抛物线位于轴上方部分，设上一点到直线的距离最小，由几何关系得出，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解． 【解析】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因为，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 26．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 【答案】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【解析】第一空：由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对折三次的结果有：，，共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：，， ，，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：，，， ，，共6种不同规格； 第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为, 第次对折后的图形面积为，对于第此对折后的图形的规格形状种数为种， 则， ， 两式作差得： ， 因此. 故答案为：①；②. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 二、单选题 27．已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【解析】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 28．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【解析】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 29．设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果. 【解析】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 30．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可. 【解析】据题设知，对一切恒成立， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立． 又当时，， 所以，所以所求实数k的取值范围是． 故选:． 31．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解. 【解析】由， 故，则， 由得，故，故公差为， 故选：C 32．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定条件，求出等差数列的公差范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【解析】设等差数列的公差为，由，得，则， 即，解得，而为整数，则为整数， 因此，，， 所以数列的前9项和为. 故选：A 33．已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值. 【解析】因为对，，都有， 所以令，有，则有， 令，有， 又因为，所以， 因为， ，且， 所以，即， 所以， 则，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ， 故选：A. 三、解答题 34．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式进行求解即可； （2）根据等比数列的项和进行求解即可. 【解析】（1）由，得 又因为， 所以数列为首项为，公比为3的等比数列， 可得，即； （2） . 35．已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求 【解析】（1）由题知：①， ②， ②÷①得，，解得，代入①式得，， 所以． （2）由（1）知：， 所以， 所以 ． 36．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【解析】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 37．设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【解析】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 38．若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． (1)已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； (2)若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析， 【分析】（1）①根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解首项与公差，即可得的通项公式，从而根据数列的和数列概念，确定的前5项；②由，得，求解，从而可得数列的第项为，结合已知即可得首项与公差，由和数列的概念可得数列的前50项的和； （2）假设存在或使得，分别讨论当且时，当且时，是否成立，从而可证得结论. 【解析】（1）设的公差为， ①由，得 解得， 所以， 的前5项依次为． ②因为，则， 当时，， 可以是任意正整数， 所以数列的第项为， 由得 解得，所以， 数列是首项为4､公差为2的等差数列， 所以的前50项和为． （2）证明：假设存在或使得， 当且时，因为，所以，得，这与矛盾， 同理且时也不成立， 当且时，设，因为， 所以， 左边为奇数，右边为偶数，所以， 综上得，对任意或 所以数列的所有项的和为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 数列（讲义） 第1部分 数列的概念与表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3．数列的分类 分类标准 名称 含义/性质 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an<an＋1 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1 常数列 各项都相等的数列⇔an＝an＋1 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 温馨提示： 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 方法归纳： 题型一　由an与Sn的关系求通项公式 例1 设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 答案 (1) (2) 分析 （1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可. 解析 （1）因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因为， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 方法归纳：　(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 题型二　由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 例2　数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 答案 (1) (2)． 分析 （1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解； （2）直接用裂项相消法即可求解. 解析 （1）因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． （2）．因此 ． 命题点2　累乘法 例3　已知数列满足. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 答案 (1) (2) 分析 （1）根据题意利用累乘法可求得通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得前项和. 解析 （1）因为， 所以，，，……，， 所以， 所以，得； （2）由（1）得， 令数列的前项和为，则 所以， 所以 ， 所以 所以数列的前项和为. 方法归纳：　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． (2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式． 题型三　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例4　已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 解析 解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 命题点2　数列的周期性 例5　若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 答案 C 分析 利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得到结果. 解析 由，得： ， ， ， ， ， ， 因为，由此得数列是一个周期为的数列， 所以，则， 故选：C. 命题点3　数列的最值 例6　已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 答案 C 分析 借助等差数列的性质结合所给条件可计算出，表示出后结合对勾函数的性质计算即可得. 解析 因为，所以是以1为公差的等差数列， 又，所以，即， 则当时，， 又符合上式，故， 则， 令，由对勾函数性质可得： 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故数列的最大项为． 故选：C. 方法归纳：　(1)解决数列的单调性问题的方法 用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法，利用函数的单调性求最值． ②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 第2部分 等差、等比数列 数学归纳法 Ⅰ、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝. ②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. (7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. Ⅱ、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. Ⅲ、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立. 概念方法微思考 1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可. 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？ 提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理. 方法归纳： 题型一　等差数列基本量的运算 例1　已知等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 答案 D 分析 根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得. 解析 在等差数列中，，解得， 而，由，得. 故选：D 方法归纳　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 题型二　等差数列的判定与证明 例2　已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 答案 (1)证明见解析； (2). 分析 （1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 解析 （1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 方法归纳　判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 题型三　等差数列的性质 命题点1　等差数列项的性质 例3　在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 答案 C 分析 直接由等差数列的性质即可求解. 解析 由题意. 故选：C. 命题点2　等差数列前n项和的性质 例4　(1)已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 答案 C 分析 根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 解析 因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以. 故选：C (2)若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 答案 C 分析 根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值. 解析 ∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 方法归纳　(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an. ③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 题型四　等比数列基本量的运算 例5　已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 答案 D 分析 根据给定条件，借助等比数列前 项和公式求出公比即可得解. 解析 设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立， 则，由，整理得，即， 因此，所以. 故选：D 方法归纳　(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 题型五　等比数列的判定与证明 例6　已知为数列的前项和，若. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，若，求满足条件的最大整数. 答案 (1)证明见解析 (2) 分析 （1）利用与的关系式可得，即，即可得证. （2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解. 解析 （1）证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 方法归纳　等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 题型六　等比数列的性质 例7（1）记等比数列的前项和为，则（    ） A．121 B．63 C．40 D．31 答案 A 分析 利用等比数列的下标和性质求得，进而利用等比数列的通项公式求得，再利用等比数列的求和公式即可得解. 解析 根据题意，设等比数列的公比为， 若，则有，得， 又由，则，解得， 故， 则. 故选：A. （2）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 答案 C 分析 由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 解析 由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 方法归纳　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要． 题型七　分组求和与并项求和 例8　已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 答案 (1) (2)1012 分析 （1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 解析 （1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 方法归纳　(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和． 题型八　错位相减法求和 例9　已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 答案 (1) (2)证明见解析 分析 （1）根据的关系可得为等差数列，即可求解，进而可得， （2）利用错位相减法求和，即可求证. 解析 （1）当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以， 由于，所以 方法归纳　(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 题型九　裂项相消法求和 例10　已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 答案 (1) (2) 分析 （1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式； （2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出. 解析 （1）设等差数列的首项为，公差为， 由可得， 解得， 所以； 因此的通项公式为， （2）由（1）可得； 所以， 因此数列的前n项和; 即可得. 方法归纳　利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{an}是等差数列，则＝， ＝. 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