精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

西南大学附中初2025届初三上开学考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解： 抛物线， 当时， ， 抛物线的顶点坐标是， 故选：C 3. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定定理，利用菱形的判定、矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故正确； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误． 故选：C． 5. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算计算，最后再估算即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴，即在8到9之间， 故选：C． 6. 服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设名工人缝制上衣， 名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条”，可得出关于， 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】服装车间有70名工人， ∴； ∵缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条， ∴． 根据题意可列二元一次方程组． 故选：D． 7. 二次函数 的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数 的图象可以确定，开口向上 ，对称轴在 轴右侧，，图象与 轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数 的图象可以确定，开口向上 ，对称轴在 轴右侧，，图象与 轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线 上，点在 轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标规律，分别求出、、、、的坐标，找到对应的、、、、，得到规律，，再用这规律解决问题即可． 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当 时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 9. 如图，正方形 ，分别取和 边的中点 ，连接 、连接相交于点，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作于，先证和 全等，得，进而可证 ，设 ，则，由勾股定理得，由三角形的面积公式可得，进而可求出，然后证 和 全等，得，进而得，由此得，据此可得，即可得出答案． 【详解】解：过点 作于，如图所示： 四边形 为正方形， ，， 点 ， 为， 的中点， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， 设 ，则， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， ，， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 为 的垂直平分线， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积进行计算是解决问题的关键． 10. 式子中的a，b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“＋”“－”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在a添加“×”，在d添加“＋”，b，c不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果： ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据添号操作的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】①添加“×”“÷”两个运算符号，运算结果为： 先乘后除，，，，， ， 先除后乘，，，，，， 总共12种结果，故①正确； ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ，故②正确； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1； ，故③错误； 综上，正确的个数是2， 故选：B． 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据负整数指数幂和实数绝对值化简后1即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作 轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接 ，，若的面积为5，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵ 轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 13. 若 是方程的两个实数根，则代数式，的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握韦达定理是解题的关键． 利用韦达定理列式运算即可． 【详解】∵， 是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若二次函数的图象过点三点，则的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，直接把代入解析式求出的值，再比较大小即可． 【详解】∵二次函数的图象过点三点， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，菱形 的边长为4，且是对角线上的两个动点，且 ，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．如图作，使得，连接交于 ，可得四边形是平行四边形，可得，由菱形可得，则，当三点共线时的值最小，进而得出的值即可． 【详解】如图，作，使得，连接交于 ，则的值最小． ，， 四边形是平行四边形， ， 菱形 的边长为4，， ， 垂直平分，，， ∴为等边三角形， ， ∵， ， ， 在中，， ∵ 垂直平分， ∴， ∵， ∴当三点共线时的值最小，最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形 中，， ，，点E是边上的一点，点F是边 上一点，将平行四边形 沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．作于K，过E点作 于P．可得，可得点E到 的距离是，证明；可得 ，设，则，，由勾股定理得，再求解m即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，作于K，过E点作 于P． ∵， ∴， ∴， ∵C到的距离和E到 的距离都是平行线 间的距离， ∴点E到 的距离是， ∵四边形 是平行四边形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴； ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 17. 已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于 的分式方程有正整数解，则满足条件的整数 的值之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定 的取值范围，再根据分式方程的整数解确定 的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是： 不等式组有且仅有2个整数解， ， ； ， ， ， 当时，原分式方程无解， 当时，即时，， ， ， 解得：，即 分式方程有正整数解，即有正整数解， ∴或或或， 解得：或（舍去）或 或 ， ∵， 或 ， ∴满足条件的整数 的值之积为． 故答案为： ． 18. 阅读材料：一个四位自然数的千位为 ，百位为 ，十位为 ，个位为 ，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138______（填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若是该方程的“顺承数”，交换的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值之和为______． 【答案】 ①. 是 ②. 4146 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，正确理解题目中给出的新概念是解题的关键．根据题目中给出的新定义即可求出答案；根据 的值可能是4，3，2，1，0，判断出四位数，再根据能被3整除，可得结论． 【详解】解：是方程， 是“顺承数”； 方程的解是，， 且 ， ， 为整数），若是该方程的“顺承数”， 四位数是：2204，2124，2044，2033，2011，2113，2022，2102，2000， 四位数是：2402，2421，2440，2330，2110，2311，2220，2201，2000， 是4606，4545，4484，4363，4121，4424，4242，4303，4000， 能被3整除， 有4545，4242两个数能被3整除， 满足条件的的值为2124和2022， 最大值与最小值之和为 故答案为：是；4146 三、解答题：本大题8个小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式的运算方法，完全平方公式的应用，以及分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的运算． （1）首先计算乘方，然后计算乘法，最后合并同类项即可； （2）首先计算小括号里面的减法和加法，然后计算小括号外面的除法即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 20. 如图，四边形 中 ，，连接． （1）尺规作图：作 的平分线交点E（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，试探究与的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程： 证明：平分 ∴①___________， 又 ②___________ ∵在 和中 ∴④___________ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③ ；④ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干的求解过程进行补充即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求作： 【小问2详解】 证明：平分 ∴， 又 ∵在 和中 ∴ ． 故答案为：①；②；③ ；④ ． 21. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【小问1详解】 证明: 在中，平分 ， ∴， ∵ 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式： （2）求 的面积； （3）在的部分，直接写出的解集． 【答案】（1） （2）的面积为 （3）或 【解析】 【分析】（1）点 代入反比例函数计算可得反比例函数解析式，把点 代入反比例函数可得的值，再把点代入一次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设一次函数与坐标轴分别交于点，根据一次函数与坐标轴的交点可得点的坐标，由此可得 ，的面积，根据即可求解； （3）根据图形求不等式的解集即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， ∴， 把点代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线与轴交于点， ∵一次函数解析式为， ∴令时，，令时，， ∴，则， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：根据图示，且，， ∴当或时，； ∴的解集为：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何图形的综合，图形法求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算一次函数的关系，图形法求不等式的解集的方法是解题的关键． 23. 如图1．矩形 中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点 沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点 时，点 也停止运动，在整个运动过程中，记，记点 到点 的距离为，设运动时间为秒． （1）直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 【答案】（1）， （2）作图见详解，当 时， 随的增大而增大； （3）当时， 【解析】 【分析】（1）根据矩形，勾股定理可得 ，结合点的运动可得的取值范围，运用元一次方程，线段的和差运算，相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论即可求解； （2）根据函数图象的作图方法即可求解； （3）图形结合分析，根据两直线交点求不等式解集的方法即可求解 【小问1详解】 解：如图所示，四边形 是矩形， ， ∴，， ∴点从的运动时间为（秒），点 从的运动时间为（秒），运动时间为秒， ∴当 时，即点在上时，如图所示， ∴，； 当 时，即点在上时，如图所示，过点作于点，且， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上所述， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，作图如下， ∴当时， 随的增大而增大； 【小问3详解】 解：根据题意，如图所示，函数、的图象， ∴， 解得，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，根据图形求不等式的解集等知识，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 24. 炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值． 【答案】（1）特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价元，根据题意列方程求解即可； （2）根据销售额=单价×销售量列方程求解即可 【小问1详解】 解：设特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价元， 根据题意，得， 解得 ， ， 答：特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得 或（舍去）． 25. 如下图所示，二次函数与轴相交于两点，与 轴相交于点 ．已知点，抛物线的对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式： （2）连结，点是抛物线上一点，在直线下方移动，过点分别向轴， 轴做垂线，与交于 两点，求 周长的最大值． （3）将抛物线沿着射线 的方向平移个单位，点 是平移后抛物线上任意一点，若，直接写出点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点 的坐标，抛物线对称轴直线代入计算即可求解； （2）根据题意可得 是等腰直角三角形，结合轴，轴，可得，是等腰直角三角形，则，设，由此可得周长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论，当点 在的位置，，则，根据含度角的直角三角形可得点 的坐标，由此可求出的解析式，联立方程组求解可得点的坐标；当点 在的位置，，则，根据三角形外角可得，可得点 的坐标，可求出直线的解析式，联立方程组即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线解析式为， ∴令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴，即 是等腰直角三角形，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为： ， ∵点是抛物线上一线，且在直线下方， ∴设， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴点 的横坐标为，代入直线的解析式 得，， ∴， 点 的纵坐标为，代入直线的解析式 得，， ∴， ∴，， ∴在等腰直角中，， ∴的周长为：， ∵， ∴有最大值， ∵对称轴为， ∴， ∴周长的最大值为：； 【小问3详解】 解：已知抛物线解析式为， 是等腰直角三角形， ∵将抛物线沿着射线 的方向平移个单位，即向右平移 个单位，向上平移 个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 如图所示， 第一种情况，点 在的位置，，延长交 轴于点 ， 由（2）可得，， ∴， ∴在中，， ∴，则，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴联立直线与平移后新的抛物线解析式为方程组得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 第二种情况，当 在的位置时，，延长交 轴于点 ， ∴，则， 由第一种情况可得，， ∴，则， ∴，则， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线与平移后新的抛物线解析式为方程组得，， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述，点 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，二次含最值的计算方法，一次函数与二次函数联立方程组求交点等问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键． 26. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接并延长交于点 ，连接并延长交 于点 ，若 ，求 的度数； （2）如图2，点， 在外部，满足 ，连接 ，其中 为中点，连接 ；若 ，求证： ； （3）如图3，点在外部， ，将沿着 翻折，得到 ，连接 ， 为线段上一点，且，连接 ；若 ，当线段 的长取最小值时，直接写出 的面积． 【答案】（1） （2） 证明：延长至 ，使 ，连接 ，如图2， ∵ 为中点， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明 ，由全等三角形的性质可得 ，然后由求解即可； （2）延长至 ，使 ，连接 ，首先证明 ，得 ，再证明 ，可得 ，进而证明 为等边三角形，然后证明 ，由勾股定理即可获得答案； （3）取 的垂直平分线交点，连接 ，首先证明为等腰直角三角形，进而可得为定值，且为定长，由两点之间线段最短知，即 ，当 在一条直线时 有最小值，设交 于 ，由折叠知 ，即可证明，进一步证明 垂直平分 ，求得 ，的值，解得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取 的垂直平分线交点，连接，如图3， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 又∵为定点， 为定点， ∴为定长， 由两点之间线段最短知， 即 ，当 在一条直线时 有最小值， 设交 于 ，由折叠知 ， 又∵， ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合性强，难得较大，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中初2025届初三上开学考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点 为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 6. 服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设名工人缝制上衣， 名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数 的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线 上，点在 轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形 ，分别取和 边的中点 ，连接 、连接 相交于点，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 式子中的a，b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“＋”“－”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在a添加“×”，在d添加“＋”，b，c不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果： ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作 轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接 ， ，若的面积为5，则k的值是_____． 13. 若 是方程的两个实数根，则代数式，的值等于______． 14. 若二次函数的图象过点三点，则的大小关系是______． 15. 如图，菱形 的边长为4，且是对角线上的两个动点，且 ，连接，则的最小值为______． 16. 如图，在平行四边形中，， ，，点E是边上的一点，点F是边 上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为_________． 17. 已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于 的分式方程有正整数解，则满足条件的整数 的值之积为______． 18. 阅读材料：一个四位自然数的千位为 ，百位为 ，十位为 ，个位为 ，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138______（填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若 是该方程的“顺承数”，交换 的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的 的最大值与最小值之和为______． 三、解答题：本大题8个小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简． （1）； （2） 20. 如图，四边形 中 ，，连接． （1）尺规作图：作 的平分线交点E（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，试探究与的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程： 证明：平分 ∴①___________， 又 ②___________ ∵在 和中 ∴④___________ 21. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求 的长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式： （2）求 的面积； （3）在的部分，直接写出的解集． 23. 如图1．矩形 中，交于点 ，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点 沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点 时，点 也停止运动，在整个运动过程中，记，记点 到点 的距离为，设运动时间为秒． （1）直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 24. 炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值． 25. 如下图所示，二次函数与轴相交于两点，与 轴相交于点 ．已知点，抛物线的对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式： （2）连结 ，点是抛物线上一点，在直线 下方移动，过点分别向轴， 轴做垂线，与 交于 两点，求 周长的最大值． （3）将抛物线沿着射线 的方向平移个单位，点 是平移后抛物线上任意一点，若，直接写出点 的坐标． 26. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接 并延长交 于点 ，连接并延长交 于点 ，若 ，求 的度数； （2）如图2，点， 在外部，满足 ，连接 ，其中 为中点，连接 ；若 ，求证： ； （3）如图3，点在外部， ，将沿着 翻折，得到 ，连接 ， 为线段 上一点，且，连接 ；若 ，当线段 的长取最小值时，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $