5 三角形内角和定理-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版）

5 三角形内角和定理 ©第1课时 三角形内角和定理的证明 ①基础在线 知识要点分类 7.求出下列图形中的x的值. 知识点三角形内角和定理 39410 -36+36例 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=43°，则 (1 2 (3 (4 ∠B ( Λ.37 B.43° C.47° D.57° 2.一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得 ∠A=55°，∠B=60°，则这个三角形残缺前的 ∠C的度数为 ( A.75 B.65° C.55 D.45 8.如图，∠B=45°，∠A+15°=∠1，∠ACD=60° 第2题图 第4题图 求证：AB∥CD. 3.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠C 的度数为 ( A.80° B.70° C.60° D.50° 4.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，BD 平分∠ABC,则∠DBC的度数是 ( ) A.30 B.35 C.40° D.70 5.(教材P180习题T2变式)如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则下列结论不 易错点直角三角形中的直角不确定导致漏解 一定成立的是 9.如图，已知∠AOD=30°，点 A.∠1+∠2=90 B.∠2=∠3 C是射线OD上的一个动 C.∠1=∠4 D.∠1=30° 点.在点C的运动过程中， 0 △AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有 可能的度数为 D ②能力在线沙方法律合麟 第5题图 第6题图 10.两个直角三角尺如图摆放，其中∠BAC= 6.（教材P179随堂练习T2变式)如图，在 ∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与 △ABC中，点D,E分别在BC,AC上，∠B= DF交于点M.若BC∥EF,则∠BMD的大 40°，∠C=60°.若DE∥AB,则∠AED= 小为 () A.60° B.67.5°C.75° D.82.5 117探究在线八年级数学（上）·BS 3 拓展在线沙培桃裁尖提升练】 15.已知：如图①，线段AB,CD相交于点O,连 第10题图 第12题图 接AD,CB,我们把形如图①的图形称之为“8 11.在△ABC中，∠C=∠A+∠B,∠B=2∠A 字形”.如图②，在图①的条件下，∠DAB和 一12°，则∠B的度数为 () ∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并 A.78°B.58° C.56 D.34 且与CD,AB分别相交于点M,N.试解答下 12.(教材P180习题T4变式)如图，点O是 列问题： △ABC内一点，∠A=60°，BO,CO分别是 ∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC等于 A.110 B.120 C.130 D.无法确定 图① 图② 13.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE∥AC, (1)在图①中，请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D ∠B=50°，∠EDC=22°，求∠ADC的度数 之间的数量关系： (2)在图②中，若∠D=40°，∠B=36°，试求 ∠P的度数： (3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他 条件不变，试问∠P与∠D,∠B之间存在着怎 样的数量关系.（直接写出结论即可） 14.(教材P185复习题T9变式)如图，在△ABC 中，∠B<∠C,AE⊥BC于点E,AD平分 ∠BAC. (1)若∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数： (2)若∠B=28°，∠C=78°，请直接写出 ∠DAE的度数； (3)若∠B=B,∠C=Y,∠DAE=a,试证明： a-z(Y-8. 第七章118 @第2课时 三角形的外角 基础在线沙知识安点分美然 知识点3 三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角 知识点1三角形的外角定义 7.下列各图中，∠1>∠2的是 1,下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( XAA (AB=AC) 知识点2三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和 2.(盐都区期中)如图，在△ABC中，∠B=60°， ∠C=70°，则∠EAC的度数为 a∥b) D C D 8.(教材P185复习题T11变式)如图，在△ABC B67m 中，∠1是它的一个外角，E为边AC上的一 45 150 第2题图 第3题图 点，延长BC到点D,连接DE,则下列结论正 3.如图，∠1的大小为 确的是 4.如图，已知AC∥ED,∠C=26°，∠CBE=37°， A.∠1>∠2>∠D B.∠D>∠2 则∠BED的度数是 ( C.∠1=∠2+∠3 D.∠3>∠A A.63 B.83 C.73 D.539 第4题图 第5题图 第8题图 第9题图 5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角尺 ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ② 能力在线》方法起律禁合练 40°，那么∠BAF的大小为 A.10° B.15 C.20° D.25 9.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， 6.如图，已知∠A=70°，∠B=50°，CE平分 AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线 △ABC的外角∠ACD,求∠DCE的度数： BE交于点E,BG是△ABC的外角平分线， AD与BG相交于点G,则∠ADC与∠GBF 的和为 () A.120° B.135° C.150 D.160 119探究在线八年级数学（上）·BS 10.(教材P183习题T2变式)已知，如图，15.如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A △ABC中，∠B=∠DAC,则下列结论不一 处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住 定正确的是 () 了去路，需要改变方向经过点C,再拐到点 A.∠ADC>∠BAD D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设. B.∠B>∠BAD 如果∠ABC=135,∠BCD=65°，那么 C.∠ADB=∠B+∠C ∠CDE的度数是多少？ D.∠BAC=∠ADC 第10题图 第11题图 11.(教材P187复习题T16变式)如图，△ABC 的两个外角的平分线相交于点D,若∠B 50°，则∠ADC= () 3 拓展在线》持代拔尖提开耀…。 A.60° B.80° C.65° D.40° 16.如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB= 12.（教材P183随堂练习T2变式)如图， ∠ABC. ∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外 (1)图①中，作∠BAC的平分线AD,分别交 角，若∠ACD=125°，则∠BAE+∠CBF= CB.BE于D,F两点.求证：∠EFD=∠ADC: (2)图②中，作△ABC的外角∠BAG的平分 线AD,分别交CB,BE的延长线于D,F两 20 点.试探究(1)中结论是否仍成立，为什么？ D 50R +60 G 第12题图 第13题图 13.(新考向)下图是可调躺椅示意图（数据如 图)，AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E 图① 图勿 保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使 ∠EFD=110°，则图中∠D应 (填 “增加”或“减少”)度。 14.如图，已知△ABC是等边三角形，且∠1=∠2 =∠3，问△DEF是等边三角形吗？为什么？ 第七章1205,七61 ∠AFP=1, ∠DIE是∠AF+是∠C球-是∠o .1042∠2-16+2∠4 7,出AB∥D.∠A+∠ADC-10. ∠APB+∠PAC-∠PFC ∠4-∠2 "∠A=∠C,∠C+∠ADC=1 ∠P自+∠PAC=∠PB包 设∠AD-∠DBF-∠BC- ∠B+∠4=∠P+∠2 .AD,“.∠CBE=∠E 2当点P在直线为下声时，∠PC=∠APB日 TAR/CD. ∠P=∠B中∠4一∠2=36+2“=5. 8N∠1=∠2∠2-∠小∠1=∠3 ∠PH刻示醇) ∠E=∠AE=上+40，∠4风=13一∠A (81由(1)每.∠D十2∠2=∠B+9∠4,2∠H+2∠4 5.D&CE. =0”。 =2∠P+2∠2， ∠C=∠pHA 六∠Aw8-+, ∠D+∠B+3∠g+∠4-∠H+?∠4+∠P H∠Cm∠D,∠=∠DBL 若∠=∠AD地，期1+=4一， +2∠2. DEAC,.∠A=∠E, 留得r-如， ∴.∠D+1∠B=2∠P+∠国 9,相等减互种 ,∠ADU=80-上=60 5三角形内角和定W ∠n-∠D+∠B 能力在线 ∠B+∠HF=1m 13,7011.1012.5 幕1课时三身形内角和定理的红明 第2课时三角利的外年 13.1)AD∥B =52 基智在经 基在城 ÷∠+∠A0-1r, AB∥DE,CFAB,DECF, 1.C2目8.A4.B5.D6.100 1.D2.1103.1664A6.A ∠BLD180-a02=100 ÷.∠PD=180-∠D=10°-115”= 7,(11由三角形内角相为1知°，得十9中1洲=19， 号∠A-7m.∠B-0, 2)任明，AE半分∠4AD ∠Dm∠度F+∠D=+1■ 解得一红 .∠ACD=12n 六∠DAE-∠AAD-0, 2)∠H+∠D+∠D=3理由下。 但1由三角形内角程为1知，得：十r+上-隔。 :军平台△ABC的外角∠AD. 图：过点C作CFAB, 鲜视x一纸 AD,∠AEH-∠DE- ∠DE-于∠ACD- ∠B+∠F=1期 (31由三角形内角和为10°.得本+十72=1阳： ∠议D=0,,∠AEB=∠D, 又AB8DE.FDE 解得一 7.D8,A .AE/DC. ÷∠D+∠D-1” 41由三角形内角和为10°，得1+一3十十刘 候力在线 1,任务一：等角的余角相等 ∠B+∠CF+∠下D+∠D18+I86 180,解斜r=0. 3.目18，B11.C12,2513.减少10 任务二，止明，如图④，ABD 单∠E+∠D+∠D=阿°. 8,∠A+∠十∠1-18，∠A+1n°-∠1.∠B=4. 1从.△DEF是等边三角形，原因略： 2=∠从 )∠B十∠C+∠D+∠E=50 ∠A+口+∠A十15°=180'，解得∠1-0， 5,蓝长D,交C于点F, ∠1=∠2.∠4"∠6， 期段测坪8(7.1一了.4) ∠ATD=60, DE/AB, ÷∠1-∠t-∠4-∠ 1C3.A1ALC,A金D7.AC ∠CD-∠A: ,∠PC-1-15=5 183-∠1-∠2=10-∠4-∠5 ,公是 AB/CD. ∠CTD2=4+45=110 博∠3=∠，六求H 从，一个三角形是等腰三角形 .知爱0 阳展在能 拓展在线 这个三角形的两个崔角相等 能力在候 16.11正明.，AD平分∠LAC 伍，BEC下，理由如下 1L.41L1013.④@ 1n.C11.012.B ∠BAD=∠DAG 相，话装E实CD的反月甚 1:两燕线平行，内错角相等C到旁内角互补， 1求群/D-∠ACD-”.∠AB-4P, 又∠AEB=∠1BC 线于点G 肉直线平行 ∠A=8-∠-∠ACB-150°-0°-4=86， ,∠DAC+∠AEB=∠AB+∠MD, ￥A∥TD,∠B=∠ 15.AB/DC. ∠AX-r-∠A一∠ACT-1-6-2=E 印∠FD=∠AD ∠B-∠FD.∠i-∠FCD 理由：面图所示，适长C到点， 1L1)∠BLE=15. (2(1中靖论仍域文，理由 BE/CF. DCLE,∠FO,=, 2)∠D1E=茹 AD平计∠G 微专觅12巧解平行战中的”惕点”问愿 “∠AG+∠-∠ACE-I2s, /BAD=∠AD ,20 ∠AG-3 3)E时：∠iAD-号(18-T厂D-∠AE- W∠FAE=∠AD 三.（∠AP=∠PAC+∠PD.理由如下， 若∠AF-38'=∠AG, 0- ∠PAE-∠IAD, 过应严作PEa, “AHD同位角图等，周直线平行1 ∠DAB---18---7 又：∠AEB-∠AC: u∥A,PEah, 6.(1》AD及C,理h如下， ∠AEH-∠FAE-∠-∠BMD :∠APB=∠PAC.∠BPE-∠PBD. AB8D.∠A+∠ADC=1m 永 串∠ED=∠AD ∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD, 义∠A=∠C,,∠Al+∠C-10 循专驱口三角彩内角与外角及其关系的营见题型 即∠APB=∠PAC+∠PBD .AD/BC. 得。一y-4 1.日 (2①当点P在直线a上方时：∠APB+∠PAC (》存在.理也年下， 拓展在战 2∠H=42,∠C=5b, ∠P6D AH0CD.∠A-∠C=100 15,I)∠A十∠D=∠3+∠日 ∠HA=183-∠B-∠=79月 费示，矩备用图，”a6.∠PFC=∠PH :∠A=1-∠C=80-100=a g∠D+∠1+∠2=∠H+∠3+∠4，∠1 ∠IAC-∠P+∠AF,∠AEP-∠Db-4, :∠APB+∠PAC+∠AFP=18m,∠PT+ :∠DBF-∠ABD,BE平分∠CBF- 2.1=4 ∠F-∠AC-∠DE=70-47=2 32 深究在级·八年级数学兴上)·5 1.b 1.图，连核 湖为∠1相∠：量对顶角。 4,∠CA-o°，∠E-n 国为一6，所以正方形从乐的面高 所以∠1一∠% 4w1 ∠F=10-∠Π1-∠DE=15r-09-1 为N 所以∠1=∠DC,即∠AE=∠D度 有别数集合一士0，儿6寸6场，/，， =0” 国为CD-DE-C-k,EF--+ 《2)如图，延长D定AC蓝数线于点F '∠LF=∠DE= 牌以D=D一'=6一4，DF=DE 由I)可与.∠3=∠DC=∠DA我 3.1415926. u} ,∠=140°-∠CAF∠AF=18-20-0' 十EF=+从 因为∠ADB=g,所以∠ADP0 无理数集会，-华导成0001-。 0. 国为(AE-罗，质以∠￥+∠BAE一填， 所以∠ADF=∠A 5.700.40 国为∠BC'=∠EAF,H∠EA+∠BAE=9, 在△ADF和△ADB中， 8,(1原式--6、Z.4原式-0 7.(1由折叠可知，∠CDE-∠E,∠CD=∠ 医以△AP为等舰直角三角形， ∠3-∠D4a 原大-丝、原大-驾 W∠1+∠CDE+∠CDEm1', ,40+2∠CD5-180月 所拉挥边冠AF的面肌为专十子合一(，十动 AD=AD. ∠ADF=∠AD, 9.国为√/2了=3，以2a一1=9：解得a= .∠4TD5- 一+量w- 所以△ADFa△ADR ASA) 国为w一A中1的平方根是±4-所以15=6卡1 '∠2+∠CED+∠CED-13. 所以FD=以衡1以HF-2H九 15,解用h=L 因为正方慰CE的面积与四边易AD波的育周 .a+2∠4ED-1期 因为∠AC=',甲∠A里=0 国为T00<,13<2T.所以10<113<11， ∠CEDT5, 相等，所以-一+省-d.所以+者-大. 所以∠倒F=0'.断以∠E∠F, 所-10， ∠C=1-∠CE-∠ED-1'-7-7 1.在△CD中，四为厅+D=倒， h(1山可海，∠J=∠D,目∠3-∠CF 桥双a+b+2:m5+0+2X10m25 5 所以25+U四，所以CD2价m 在△ACE和△BCF中， 所以十6+2的平方轻为士√五一士5 2∠C∠1+∠， 因为CE-D+龙，所以E-m中1.6=1. ∠8=∠CBF, 2山，(1121如图所示.（容案不耀一1 用以风第的高ǐE为1.m 因为AC=C, 单元编合显习（七）平行线的旺明 0.(为AI=8,ACm有，4LAC ∠ACE=∠RF, 钠门专点突破 所以C-A承中AC=10院 所以AAE@AF民AA 【,A2妇果商个三角形余等，不么它们的周长相等 废g'0,所以0天 所以AE=F,所以AP一BD, 1,CDE内福角相等，再直线平行 因方5m-号A×AC量×gx0=2 阴为在RACE中，C十E”AE, 4.3n°.C6.67.C8.C9.C 所以A(+C8=《8BDF=4B于 L,中1112+万+， 10,:AB(D,∴.∠D下=∠B 2名1)如圆，些面圆长为圳m: (国为4一√万 "∠B=∠D,H∠DFm∠D, 5一-空斯u8-要- 1+万2后-言 2唇+ 县AC到，高是0m ÷AD8C. (2国为AD=11,0=2,所以C=1法 测C=0m 1+,13>2w3+3 ∠DEF-∠F 四为ABI3,∠ACB=0, 由句很定理，授 所取4-区心2店-8 11.A12.13.C14.B 所以出=AP一A=5,所以(=5. A=AC+C=+以0， 5,县释方法一：建点A作BC, 乐以5a。=2×5=10 招，山螺式-2X-2等×√合-1--35 国得AB=50G确： 刚∠B=∠AD,∠C=∠EC(丙直候平行.内研 1.1}正到，函情示，连接E. 故爬行一图的帝程是0m (21由题意，得万-x+10-0.解得x=-4一25 角相等). 因为D品AB边的中点，DE4A0 《2)客面周长为0m.甲AC一0m ,1112g% :点D,A,E在切一条直线上： 于应D,所议DE面直半分AH 所以AE一E, 绕一周行1o0m,则A月-160m (2)设年个隔闻与骑平行的边为z米，与墙垂直的 ·∠1D+∠BAC+∠EAC-13气半角的定文： 由匀度定理.得日aAB一心@100一0=的 透为￥米，核糖意，得+1已y=3, ÷∠B十∠BAC+∠C-1m. 又四为AE一=B,医以E=E- 甲3r+4)=21.斯以8十4y237+y 串三角形的内角和为150 所以△E是直角三角形，且∠C=0 身绕国开高的山. (2)在K△D克中，BE=F+DE=100, 所以树千高为和×10一30(m)=6m 这排方法二略 第二章学情源作 甲>，新似错 核心素暴规开 所4AE一BE-1 1.1m2.D 设E=,则AC=10十r,真A=2BD=16. 1.D2.C3.CLC.A系1TB8.C.日 招 10u11.8124L3.214.土4 第一章学情浮估 在k△AC中，真=AF一M5=16-10+2F 1以.一4我一3度一方16一20同 当七，8一此t一子 LC 2C 3.B 4.B D 4.C T B B.B B.C 在R△B中，HTEF一5=10-， 10,C11.512.1218.24141515.41线45 博理1一(10十x于=10一子，解青xe,8 1订带数里企0，T百，， 串每个隔创长为号术，宽为号米1,5的最大指为 1T,1)在△D中.因为DAH,所以B+D 所以C王=2.8 仪，所以D=1-=44.周以D=12, 2.1如丽，标品∠1+∠2，∠3， 侣子方装 2)在△AD中，因为DLAB,所数D+D 因为∠AB=90,∠ADB=0 第三章学情评替 C.所以A7-m一1好=出6，所以AD=t6所以 所以∠1+∠1=阳'， 正数果合a6a生4石，平元4,15现6 L.A2D主目非5.A6.C7,A.0D LB%AD+HD=16+=2五 ∠2+∠DC- 1m,B11,0.1(警案不雕一)2，+13，(2.-0) 究在成·八年级致学上)·B5 33