阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇）（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【解答过程】， 所以，故． 故选：C. 2．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【解题思路】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【解答过程】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 3．（5分）（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【解题思路】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【解答过程】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D. 4．（5分）（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆定义以及的位置关系及长度，构造方程即可解得离心率. 【解答过程】如下图所示：    根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）. 故选：C. 5．（5分）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【解题思路】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【解答过程】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 6．（5分）（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【解答过程】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 7．（5分）（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（    ） A．存在直线l，使得 B．当且仅当直线l平行于x轴时， C．存在过的直线l，使得取到最大值 D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为 【解题思路】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断. 【解答过程】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误； 对于B项：设直线，与双曲线联立，得： ，其中， 设，由根与系数关系得：， 所以线段PQ中点， 将直线，与渐近线联立得点S坐标为， 将直线与渐近线联立得点R坐标为， 所以线段RS中点， 所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有，故B项不正确； 对于C项：因为为定值，当k越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误； 对于D项：联立直线l与渐近线，解得， 联立直线l与渐近线，解得由题可知，， ，解得，所以，故D项正确． 故选：D． 8．（5分）（2024·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 【解题思路】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积. 【解答过程】 连接，，所以，，取的中点，连接， 所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确； 因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，， 所以为直线与平面所成角， 因为，在中，， 所以，因为与全等，所以，故正确； 延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点， 连接，，，，，， 平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为， 所以截面面积为，故不正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 【解题思路】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为，得到B正确；D选项，化为，故D正确. 【解答过程】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误； 对于C，，则可化为， 由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为，即， 此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC. 11．（6分）（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 【解题思路】延长相交于点，若平面，根据线面平行的性质定理可得与重合可判断A；连接，得四边形即为过点的截面，利用四边形是等腰梯形，求出面积可判断B；以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的向量求法可判断C；利用线面角的向量求法可判断D. 【解答过程】对于A，若，则，即点与点重合， 延长相交于点，连接，则平面平面， 若平面，平面，所以， 因为，所以，即与重合，显然不可能，故A错误；    对于B，若，则，即点与点重合， 连接，因为，所以， 即四边形即为过点的截面，且， ， 所以四边形是等腰梯形，其高为， 所以四边形的面积为，故B正确；    对于C，若，即点是的中点，以为原点，所在 的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， ，， 设为平面的一个法向量，则 ，所以，令，则， 所以，所以点到平面的距离为 ，故C错误，    对于D，若，由C，，所以， 为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以， 可得 ，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·广东·一模）在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【解题思路】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【解答过程】设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ． 【解题思路】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果. 【解答过程】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，    则，，， 则，且为锐角，所以，同理可得， 所以，，则为等边三角形，连接交于点， 为的角平分线，则为的中点，， 且，， 若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于， 即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部， 因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，已知抛物线：，点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则 ． 【解题思路】根据题意设出，，，可求出直线方程，可求出点坐标，根据可得出点坐标，同时可确认点为的中点，再根据直线，可求解. 【解答过程】由题意知：，设，，， 由，得，所以，故， 所以的方程为，且即． 又因过点，所以，同理， 所以直线的方程为，所以直线过点， 由消去并化简得， 根据韦达定理可知，，所以， 所以．直线的方程为， 所以，即，因为， 所以点为的中点，， 所以，且为的中位线，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【解题思路】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或. 16．（15分）（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【解题思路】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解； （2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积. 【解答过程】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 17．（15分）（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 18．（17分）（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程． (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值. 【解答过程】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. （2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点. （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为.    19．（17分）（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【解答过程】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 3．（5分）（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．（5分）（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 6．（5分）（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（5分）（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（    ） A．存在直线l，使得 B．当且仅当直线l平行于x轴时， C．存在过的直线l，使得取到最大值 D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为 8．（5分）（2024·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 10．（6分）（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 11．（6分）（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·广东·一模）在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 13．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ． 14．（5分）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，已知抛物线：，点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 16．（15分）（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 17．（15分）（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 18．（17分）（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程． (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 19．（17分）（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$