阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（基础篇）（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若 ，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（5分）（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 3．（5分）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 4．（5分）（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·河北唐山·开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 8．（5分）（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 10．（6分）（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11．（6分）（24-25高三上·安徽·开学考试）如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．直线平面 C．当时， D．直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 13．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则 . 14．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为和，则当四边形的面积最小时，直线的方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 16．（15分）（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 17．（15分）（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 18．（17分）（24-25高三上·江西九江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别在棱上，且四点共面. (1)证明：； (2)若，且二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知椭圆的短轴长为，右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段性测试卷（范围：第一、二、三章）（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若 ，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【解答过程】因为 ，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 2．（5分）（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【解题思路】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【解答过程】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B. 3．（5分）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【解答过程】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量. 【解答过程】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝ ＝． 在△ABE中，，又， ∴. 故选：A. 5．（5分）（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【解答过程】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D. 6．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 7．（5分）（24-25高三上·河北唐山·开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【解题思路】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【解答过程】如图，过点作， 由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由，，所以, 设直线的直线方程为， 联立，得， 易知，则， 而，得.    故选：B. 8．（5分）（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线和直线分别与圆联立方程组，求出两点的坐标，由，得，直线和直线联立方程组，求出点的坐标，由，得，验证各选项即可. 【解答过程】由题意得直线，与圆方程联立，得， 可求出点，同理得点， 由于在直线上，因此，化简后得， 显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则， 再联立直线与直线，则点， 因此， 则，即，A选项正确，BD选项错误 ， ，即，C选项错误. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【解题思路】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据椭圆方程可判断焦点位置，并求，由此判断A，结合相关定义判断BCD. 【解答过程】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【解题思路】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据若点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【解答过程】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD. 11．（6分）（24-25高三上·安徽·开学考试）如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．直线平面 C．当时， D．直线与平面所成角的正弦值为 【解题思路】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【解答过程】    对于A，如图1，因,故A正确；    对于B，如图2建立空间直角坐标系，则, 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知 与不垂直， 故直线与平面不平行，即B错误； 对于C，由上图建系，则, , 因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，， 由题意，，即，于是， 此时，故与不垂直，即C错误； 对于D，由图知平面的法向量可取为，因， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【解题思路】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【解答过程】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：,. 13．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则 . 【解题思路】由题意可得，，利用计算可得结论. 【解答过程】因为平面，平面，所以，， 所以，，    因为，所以， 因为，所以， 因为， ． 故答案为：. 14．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为和，则当四边形的面积最小时，直线的方程为 或 . 【解题思路】由题可得四边形的面积，，从而将问题转化为求的最小值，利用两点间的距离公式结合二次函数最值求解即可. 【解答过程】如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，由题意，， 可设，则， 故当时，取得最小值， 此时，所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 【解题思路】（1）根据焦距得到，再根据离心率得到，则得到标准方程； （2）根据短轴长求出，再分两种情况写出椭圆方程即可. 【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意知，，， ， ，从而， 椭圆的标准方程是． （2）设椭圆的标准方程为或， 由得， 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为或． 16．（15分）（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 17．（15分）（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 18．（17分）（24-25高三上·江西九江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别在棱上，且四点共面. (1)证明：； (2)若，且二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值. 【解题思路】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出 ，再结合，即可证明； （2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值. 【解答过程】（1）因为，故，则， 因为 平面平面，故 平面， 而平面平面平面，故 ， 则. （2）因为二面角为直二面角，故平面平面. 而平面平面平面，故平面， 又底面为正方形，所以， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， 故， 设平面的法向量为， 则令，可得. 设平面的法向量为， 则令，可得， 故平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知椭圆的短轴长为，右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围. 【解题思路】（1）由题意可得，再由求出，从而可求出椭圆方程； （2）根据已知条件设出直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系得出弦长，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出弦长，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）依题意可得：椭圆右焦点，且，即. 又因为，所以， 故椭圆的标准方程为：. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，. 联立，消去，整理得，， 所以， 所以. 由垂直关系可设直线的方程为，设，， 联立，消去，整理得，， 则根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 设，则 ， 因为在上单调递增， 所以 ， 所以四边形的面积S的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$