第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【解答过程】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B. 2．（5分）（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【解题思路】由已知可得，即可解得，进而求出. 【解答过程】由题意，解得， 所以. 故选：B. 3．（5分）（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆定义以及的位置关系及长度，构造方程即可解得离心率. 【解答过程】如下图所示：    根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）. 故选：C. 4．（5分）（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【解题思路】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【解答过程】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得 的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（5分）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解题思路】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【解答过程】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    6．（5分）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【解答过程】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 7．（5分）（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 【解题思路】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【解答过程】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C. 8．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点  （不同于点）.直线过定点（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件列方程求，由此可得椭圆方程，两切线的斜率分别为，由切线性质可求，求直线方程，确定其过定点. 【解答过程】 椭圆的上顶点为，离心率为 解得 椭圆的方程为. 设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 ， 消掉得 设 同理可得 直线方程为 令，得， 故直线过定点. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 【解题思路】结合圆、双曲线、椭圆即等轴双曲线的方程的性质逐项计算即可得. 【解答过程】对A：令，解得，此时：，此时曲线表示圆，故A错误； 对B：若曲线为双曲线，则，解得或，故B错误； 对C：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D：若曲线为等轴双曲线，则有，此时无解，故不存在实数使得曲线为等轴双曲线，故D错误. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 【解题思路】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【解答过程】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 11．（6分）（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（   ） A． B． C． D．的取值范围是 【解题思路】首先求出，从而得到，判断A，联立直线与抛物线方程，由根的判别式和韦达定理可判断B,C，由焦半径公式化简可得：，结合二次函数的最值问题即可判断D. 【解答过程】因为抛物线的焦点为，且直线经过点， 所以，则，解得：，故A正确； 所以抛物线方程为：，则， 设过点作斜率为直线的方程为：， 联立：，消去可得：， 显然，，解得或，故C错误； 由韦达定理可得：，，故B正确； 因为，， 所以， 令，则，则， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【解题思路】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案. 【解答过程】不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：.    13．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= . 【解题思路】根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值. 【解答过程】由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. 由椭圆方程可知，，，设，则，其中且； 则，，则，所以为定值. 故答案为: . 14．（5分）（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 50 ． 【解题思路】通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率和直线的垂直关系，求出对角线；再利用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得. 【解答过程】由题可知，抛物线的焦点坐标为． 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得，所以． 设，则，， 故． 因为，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得．所以． 设，则，， 故． 所以四边形的面积为． 故答案为：50. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 【解题思路】（1）根据方程表示双曲线，以及由焦点位置得到参数满足的条件，从而得出答案. （2）分焦点位置进行讨论可得答案. 【解答过程】（1）①若方程表示双曲线，则须满足或， 解得或． ②若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得； ③若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得． （2）若焦点在轴上， 则方程可化为，     ，即． 若焦点在轴上， 则方程可化为， ，即． 综上，的值为或． 16．（15分）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 17．（15分）（23-24高二上·山东德州·期末）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【解题思路】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解； （2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 18．（17分）（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解. 【解答过程】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）在轴上存在点使得，理由如下： 设,直线， 联立与椭圆可得， 则， 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 19．（17分）（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值． 【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. （3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值. 【解答过程】（1）由双曲线的焦距为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，，    由消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即，而， 所以 为定值. （3）由（2）知，直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 3．（5分）（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 5．（5分）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（5分）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 8．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点  （不同于点）.直线过定点（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 10．（6分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 11．（6分）（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（   ） A． B． C． D．的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 13．（5分）（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= . 14．（5分）（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 16．（15分）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 17．（15分）（23-24高二上·山东德州·期末）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 18．（17分）（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$