第13讲 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第13讲 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 【题型1 椭圆中的定点、定值问题】 【例1.1】（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点. 【例1.2】（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【变式1.1】（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.    (1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； (2)求证：直线过定点. 【变式1.2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【题型2 双曲线中的定点、定值问题】 【例2.1】（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【例2.2】（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【变式2.1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．    (1)求的方程； (2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【变式2.2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【题型3 抛物线中的定点、定值问题】 【例3.1】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【例3.2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【变式3.2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 模块二 圆锥曲线中的定直线问题 1．圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型4 椭圆中的定直线问题】 【例4.1】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【例4.2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【变式4.1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【变式4.2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 【题型5 双曲线中的定直线问题】 【例5.1】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【例5.2】（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【变式5.1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【变式5.2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【题型6 抛物线中的定直线问题】 【例6.1】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【例6.2】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式6.1】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【变式6.2】（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 6．（2024高三下·江苏·专题练习）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点），则动点在定直线（    ）上    A． B． C． D． 7．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 二、多选题 9．（23-24高三上·河南周口·期末）已知双曲线，点，分别在两条渐近线上（不与原点重合），点是上的一个动点，且，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．当轴时，为定值 C．为定值 D．为定值 10．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（    ） A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 13．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． 四、解答题 15．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 16．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 17．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点． (1)求椭圆的方程以及离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论． 18．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 19．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 【题型1 椭圆中的定点、定值问题】 【例1.1】（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点. 【解题思路】（1）根据焦距求出，再设，，，利用点差法得到，即，从而求出、，即可得解； （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【解答过程】（1）由椭圆的焦距为得，，则. 设，，，则，， 两式作差得，， 所以，即， 所以，所以， 所以，则，解得，. 故椭圆的方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理得， 所以，得， 即， 整理得，所以， 因此直线的方程为，令，即，则， 所以直线过定点. 【例1.2】（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【解题思路】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【解答过程】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【变式1.1】（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.    (1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； (2)求证：直线过定点. 【解题思路】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程，结合斜率公式分析证明； （2）解法一：设，联立方程可得韦达定理，根据斜率关系列式求得，即可得结果；解法二：设，联立方程求坐标，进而根据直线方程分析定点. 【解答过程】（1）由题意，可得， 所以椭圆，且 设，则，即， 可得， 所以为定值. （2）解法一：设，则， 可得， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则，解得， 所以直线过定点 解法二：设，则， 直线，可知与椭圆必相交， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 同理， 直线的斜率存在时，， 则， 令，； 当的斜率不存在时，则，解得； 综上所述：直线过定点. 【变式1.2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【解答过程】（1）依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2） ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 【题型2 双曲线中的定点、定值问题】 【例2.1】（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【解题思路】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【解答过程】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 【例2.2】（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【解题思路】（1）根据题中条件找到双曲线中的，从而求出的方程. （2）利用平移齐次化进行证明即可. 【解答过程】（1）由双曲线过点，则， 又离心率为2，则，即， ，即，代入， 可得，，， 因此，的方程为：. （2） 将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示， 则平移到，平移到， 平移后，变为，，设，，直线的方程为：①， ②， 将①代入②，用“1”的代换得，则， 各项同时除以，得，则， 又直线过，则，即， 因此， 故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值. 【变式2.1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．    (1)求的方程； (2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【解题思路】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程； （2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解. 【解答过程】（1）渐近线，渐近线． 设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线， 所以．由对称性，， 所以，从而． ，在Rt中，， 解得． 所以，故C的方程为． （2）设，设直线．    可得直线． 联立 得， 则，又， 所以， 所以， 所以，同理． 则 直线， 令，得，所以直线过定点． 【变式2.2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程； （2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 【题型3 抛物线中的定点、定值问题】 【例3.1】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【解题思路】（1）设出动圆的圆心坐标，利用圆的性质列出方程并化简即得. （2）设出直线的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理求出以MN为直径的圆的方程即可推理得证. 【解答过程】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点.    【例3.2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【解题思路】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【解答过程】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【解题思路】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程； （2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线应用同构或待定系数法求解即可. 【解答过程】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）法一（同构法）． 设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 法二（配极原则）． 设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得 即 对比的系数可得 ∴直线恒过定点． 【变式3.2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【解题思路】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可. （2）（ⅰ）利用韦达定理求解出， （ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点. 【解答过程】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设 则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 模块二 圆锥曲线中的定直线问题 1．圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型4 椭圆中的定直线问题】 【例4.1】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 【例4.2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出，进而求出椭圆的方程，再设出切线方程，并与椭圆方程联立，由求出切线方程即可得解. （2）设直线：，，联立直线与的方程，求出的中点纵坐标，结合韦达定理计算推理即得. 【解答过程】（1）依题意，点，，解得，椭圆：， 显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为， 由消去并整理得， ， 整理得，解得，切线方程为，由，得， 所以点的坐标是. （2）设直线的方程为，，线段的中点， 由消去得， 则，，， 直线的方程为，则点， 于是， ， ，因此点在直线上， 所以线段的中点在定直线上. 【变式4.1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【解题思路】（1）由已知可得，求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程组可得，且，，可求得，设直线的方程为，即，与椭圆联立方程组可得，求得的垂直平分线方程，同理可求的垂直平分线方程，可求得的外心在定直线上. 【解答过程】（1）由题意，得，解得， 故的方程为. （2）的外心在定直线0上.理由如下： 由题意设直线的方程为，    联立，得， 所以， 即，且. 设的中点为， 则， 所以 ， 即直线与的斜率互为相反数. 设直线的方程为，即. 联立，得， 则， 所以， 所以， 即， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即①. 直线的方程为，同理可得线段的垂直平分线的方程为 ② 联立①②，得， 得， 故的外心在定直线上. 【变式4.2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 【解题思路】（1）根据离心率和，待定系数法求出，，，得到椭圆方程，设直线l的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，，代入两根之和，两根之积，求出的值； （2）设线段MQ的中点为，又，故，根据三点共线，得到，计算出，故，得到线段MQ的中点在定直线上. 【解答过程】（1）由题意知， 解得，，， 所以C的方程为， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，， 由，得， 由方程的判别式，可得， 所以，， 易得，所以，， 所以 ， （2）证明：设线段MQ的中点为，又，， 所以，，即，又A，N，Q三点共线， 所以，即， 所以，又， 又 所以 ， 所以，即线段MQ的中点在定直线上． 【题型5 双曲线中的定直线问题】 【例5.1】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【解题思路】（1）设点P的坐标为，根据斜率乘积为定值化简即可； （2）设直线l的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得，代入韦达定理式计算即可. 【解答过程】（1）设点P的坐标为， 由得，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线只有一个交点，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为， 设点， 联立方程组，整理得，易知， ，解得， ，解得或， 综上或， 因为， 同理由得， 化简整理得， 所以， 化简整理得，代入， 化简整理得， 所以点D在定直线上． 【例5.2】（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【解题思路】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【解答过程】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 【变式5.1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【解题思路】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【解答过程】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【变式5.2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【解题思路】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【解答过程】（1） 由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 【题型6 抛物线中的定直线问题】 【例6.1】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【解题思路】（1）根据焦半径公式得到，求出，从而求出斜率； （2）法一：，联立抛物线方程，设，得到两根之和，两根之积，得到，求出答案； 法二：设，得到，从而确定，得到，得到答案. 【解答过程】（1）， ，将代入得，， 所以； （2）法一：设， ，即， 代入，得， 由韦达定理，有， 故，在定直线上. 法二：设， 由题意，， 故， 故，在定直线上. 【例6.2】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【解题思路】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再求出直线的方程，并联立求出交点的横坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上. 【变式6.1】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可. 【解答过程】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 【变式6.2】（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【解题思路】（1）由抛物线的对称性知，由四边形的面积求出，又的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出，即可得解； （2）设直线的方程为 ，则直线的方程为 ，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，联立解得，即可得证. 【解答过程】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为 ， 则直线的方程为 ． 联立方程组消去得，显然， 设，则 ． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设的方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点. 【解答过程】设的方程为,则由 设 又， ，又 代入整理得： 或 当，直线过，舍去 当b=3时，过定点 故选：C. 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 【解题思路】先设直线，然后根据韦达定理求出E点坐标，根据直线垂直列出方程求解,最后代入E点即可求出E所在直线. 【解答过程】由题意知,设直线l的方程为,设, 联立消去得, 所以 ， 所以 所以的中点， 因为, 所以 ， 即, 整理得, 所以E在定直线上， 故选:A. 3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解. 【解答过程】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线方程,根据直线与椭圆相切,联立化简后由判别式即可得关于的方程.利用韦达定理表示出.将点P带代入椭圆,联立两个式子化简即可求得的值. 【解答过程】设 则过的直线方程为 将直线方程与椭圆联立可得 化简可得 因为相切,所以判别式 展开得 同时除以可得 合并可得 同除以,得 展开化简成关于的方程可得 因为有两条直线,所以有两个不等的实数根. 因为为定值,可设 由韦达定理, 化简得 又因为在椭圆上,代入可得 化简可得 则,化简可得 解得 故选:C. 5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 【解题思路】根据题意结合导数的几何意义可得，，设直线OM的方程为，则直线ON的方程为，进而可得，，即可得结果. 【解答过程】由题意可知：，即． 又因为，则，可得， 即曲线在处切线的斜率， 由题意可知：双曲线C的一条渐近线为， 即，解得， 所以双曲线C的方程为． 以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知， 设直线OM的方程为，可知， 则直线ON的方程为， 联立方程，消去y整理得， 即，故，则， 同理可得：， 所以. 故选：A． 6．（2024高三下·江苏·专题练习）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点），则动点在定直线（    ）上    A． B． C． D． 【解题思路】 设，的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理有，联立方程得，从而由即可得解. 【解答过程】 依题意可设的方程为，代入，得， 即，显然，设，则有， 直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为， 注意到及，则有， 因此点在定直线上． 故选：A. 7．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】通过联立方程组求得两点的坐标，进而确定定点的坐标. 【解答过程】依题意得， 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则， 所以. 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 所以， 所以. 若，即， 即，即， ，则，所以， 此时直线过点. 若，依题意， 所以直线的方程为， ， ， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点. 故选：A.    8．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【解题思路】根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出点的坐标，可求得，即可计算出的值. 【解答过程】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意； 由题意，，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，则， 所以，， 线段的中点为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，，因此，. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高三上·河南周口·期末）已知双曲线，点，分别在两条渐近线上（不与原点重合），点是上的一个动点，且，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．当轴时，为定值 C．为定值 D．为定值 【解题思路】求出双曲线渐近线方程，不妨设点A在渐近线上，点B在渐近线上，即可得，由此可判断A；当轴时，，结合化简，可判断B；结合向量求出，代入双曲线方程化简求出，结合点，分别在两条渐近线上，推出，即可判断C，D.. 【解答过程】由题意得双曲线的渐近线方程为， 不妨设点A在渐近线上，点B在渐近线上， 则，故，A正确； 设，由得， 即， 当轴时，，不为定值，B错误； 把代入中，得， 整理得， 再由得， 即不为定值，为定值，C错误，D正确， 故选：AD. 10．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 【解题思路】由题意可得点的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由，可得点B的坐标，进而可得直线AB的斜率，判断出AB的真假，由两根之积可得A，B的横坐标之积，判断出C的真假，由C选项分析，可得点A的横坐标，及A，B的中点M的横坐标，可得M和A的横坐标之比，判断出D的真假. 【解答过程】如图， 由题意得，设， 设直线的方程为（不等于0）， 联立，可得， 所以 对于A，由，即， 可得，即， 解得，由，则，可得， 可得的横坐标，即， 可得为定值，故A正确B错误； 对C， 两点横坐标乘积为，不是定值，故C错误； 对D，由题意，的横坐标为 ， 由C选项分析可得点A的横坐标为， 所以为定值，故D正确. 故选：AD. 11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（    ） A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 【解题思路】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，即可判断A；对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，即可判断B；得到点轨迹的渐近线，即可判断C；先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即可判断D. 【解答过程】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0， 所以直线方程斜率一定存在， 设直线的方程为，联立得， ， 设，则， 故 ， 其中， 故，即， 所以，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：， 于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为， 整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 故椭圆在点的切线方程为， 在点的切线方程为， 由于点为与的交点， 故，， 所以直线为， 因为直线的方程为，对照系数可得， 又，故，整理得， 又在第一象限， 故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， A选项，直线为，所以直线不过定点，故A错误； B选项，，同理可得， 则， 为定值，故B正确； C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为， 设，则，故无最大值，故C错误； D选项，由于，，，故， 设，则， 则两式联立得， 由得，， 检验，当时，，又， 解得，满足要求， 故的最小值为4，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【解题思路】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【解答过程】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 13．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则 ． 【解题思路】设直线，联立方程得，设，得，，，化简得，即可解决. 【解答过程】设直线， 联立，得， 设， 所以， 所以， 同理，得， 所以 因为是与无关的定值， 所以，解得. 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． 【解题思路】作仿射变换，则椭圆变成圆，则可得，由垂径定理可得的方程，从而可求得的方程 【解答过程】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为 ， 由垂径定理平分，其方程为， 平分， △内切圆的圆心所在的定直线方程为． 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【解题思路】（1）根据已知条件，设直线的方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得到韦达定理，利用导数的几何意义，设出切线与的方程，两者联立，可求出，即可证得直线过定点，并得出该定点坐标. 【解答过程】（1） 由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， 设的方程为，, 联立，得，则， 则， 所以， 解得， 故抛物线E的方程为：. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， ，即， 所以，， 令，当时， 可化为，则， 则在处的切线的方程为：， 即， 同理可得切线的方程为：， 联立与的方程，解得， 所以，则，满足， 则直线的方程为， 所以直线过定点，该定点坐标为. 16．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【解题思路】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【解答过程】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 17．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点． (1)求椭圆的方程以及离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论． 【解题思路】（1）代入联立方程，解方程可得，，进而得到椭圆方程；即可由离心率公式求解 （2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，令，代入化简可得，即可得直线恒过定点； 【解答过程】（1）将代入椭圆方程可得且， 解得，故， 故椭圆方程为，离心率为 （2）联立与椭圆方程，消去可得， 设,，,，可得，， 则的方程为，又， 令，则 故直线经过定点． 18．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【解题思路】（1）由焦距与通径长转化为的方程组求解可得； （2）设动直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得根与系数的关系，再用求解直线的方程，联立解的坐标，代入韦达定理表达式证明横坐标为常数即可. 【解答过程】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 19．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出交点的坐标，从而可知其在定直线上． 【解答过程】（1）斜率为的直线倾斜角为， 到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，故 连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形， 故面积，则，结合 解得，故椭圆的方程为：. （2）由题意知，直线的斜率不为0， 故设过点的直线的方程为：，， 联立得：， 故，， 易知，故， 所以直线的方程为：， 同理可得，直线的方程为：， 联立得：， 即，化简得：， 因为， 故，即，故， 所以直线的交点在垂直于轴的定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$