第12讲 切点弦与中点弦问题（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第12讲 切点弦与中点弦问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的切点弦 1．圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为. (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1. (2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 【题型1 圆锥曲线的切线方程的求解】 【例1.1】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程. 【解答过程】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B. 【例1.2】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先由准线与圆相切得准线方程和点，求出.再设直线斜率为，由直线与抛物线相切得，建立方程解即可. 【解答过程】如图，抛物线的准线为， 由准线与圆相切于点， 则，解得. 则抛物线方程为：， 设直线的方程为， 联立方程得， 由直线与抛物线相切得， ，解得，即， 所以直线的方程为，即或. 故选：C. 【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 【解题思路】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程. 【解答过程】由可得， 根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程， ∴曲线在点P处的切线斜率为 ∴曲线在点P处的切线方程为 化简得 ∴双曲线C在点P处的切线的方程为． 【变式1.2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程. 【解题思路】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以P到直线的距离等于， 所以抛物线C的准线为， 所以，， 所以抛物线C的标准方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l恰与抛物线C相切 当直线l的斜率存在时，设其方程为， 联立方程，得 若，显然不合题意； 若，则，解得 此时直线l的方程为 综上，直线l与抛物线C相切时，l的方程为或. 【题型2 圆锥曲线的切点弦问题】 【例2.1】（2024·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【解题思路】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可. 【解答过程】由题意直线斜率存在， 可设过点的切线方程为， 与抛物线方程联立可得： ， 所以，解之得，    如图所示，设，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以. 故选：A. 【例2.2】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【解题思路】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【解答过程】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D. 【变式2.1】（2024高三·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 【解题思路】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程 【解答过程】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程，消去可得：， 整理可得：， 因为与双曲线相切， 所以， ， 即， ，代入可得：，即， 所以， 即， 同理，切线的方程为， 在切线上，所以有， 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线， 直线AB的方程为0. 【变式2.2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P是直线上的动点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质，结合已知条件，即可求解； （2）将过点P做椭圆C的两条切线问题转化为两切线交点为P，设出M，N，P三点坐标及切线PM的方程，将切线PM与椭圆C联立，得到切点坐标与切线PM方程的关系，再根据PM与PN相交于点P，即点P满足PM，PN方程，得到直线MN方程，即可求解定点． 【解答过程】（1）由题意得解得 所以椭圆C的标准方程为． （2）当椭圆C的切线斜率存在时，设点，，，，， 切线PM的方程为． 联立消去y整理得． 因为直线PM与椭圆C相切， 故，即， ，， 所以，，则切线PM的方程为，即， 同理，切线PN的方程为． 当椭圆C的切线斜率不存在时，切点或， 当切点为时，切线为，满足方程； 当切点为时，切线为，满足方程． 又切点，，则切线PM方程为， 切线PN方程为．因为直线PM与直线PN相交于点P， 故 由两点确定一条直线有直线MN的方程为， 整理得， 联立解得 故直线MN过定点． 模块二 圆锥曲线中的中点弦 1．直线与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则称线段AB为弦，与这条弦的中点有关的问题是一类综合性很强的问题，被称为中点弦问题. 2．中点弦的有关问题解法 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解. (2)点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标P(x0,y0)与它和原点连线的斜率的关系. 相关结论： ①在椭圆中有：当x0不为零时，，令，即； ②在双曲线中有：当x0不为零时，； ③在抛物线中有：y0kAB=p. 点差法只能用于一类与弦的中点有关的问题. 3．椭圆的“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 4．双曲线的“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 【题型3 椭圆的中点弦问题】 【例3.1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【解答过程】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解答过程】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 【解题思路】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算； （2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程. 【解答过程】（1）解法一：因为椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为， 由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，， ∴，， 所以． 解法二：椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为，即， 由，其中 ， 所以． （2）∵，∴点在椭圆内部． 设以为中点的弦与椭圆交于， ∵为中点，∴， 把分别代入椭圆， 得，∴， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得． 【变式3.2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【解题思路】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程； （2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标. 【解答过程】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示：    设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 【题型4 双曲线的中点弦问题】 【例4.1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【解答过程】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D. 【例4.2】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【解答过程】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C. 【变式4.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【解题思路】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【解题思路】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【解答过程】（1）由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 【题型5 抛物线的中点弦问题】 【例5.1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【解答过程】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【例5.2】（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解. 【解答过程】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 【变式5.1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 【解题思路】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解； （2）利用点差法结合中点坐标求解. 【解答过程】（1）过点A作轴于B，易知点 则 所以 在中，由正弦定理得        得                                           所以                                                          解得， 所以C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零， 设直线l的斜率为 则,两式相减得，整理得 因为的中点为,所以，所以 所以直线l的方程为，即 【变式5.2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【解题思路】（1）由抛物线的焦半径公式可得，进而可得抛物线的方程； （2）根据点差法求中点弦所在直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 模块三 圆锥曲线中的焦点弦 1．圆锥曲线焦点弦求解策略： (1)两焦半径之和(之差)； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角； 当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角. 2．椭圆的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 3．双曲线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 4．抛物线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式：抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：2p. 【题型6 椭圆的焦点弦问题】 【例6.1】（23-24高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义结合已知条件求出，设点，其中，，根据两点间的距离公式求出点的坐标，进而可求得直线的斜率. 【解答过程】在椭圆中，，，则，所以，点、， 因为，可得， 设点，其中，且， ， 解得，则，可得，即点， 因此，直线的斜率为. 故选：C. 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】设直线的方程并联立椭圆方程求解，得到的斜率为参数的关于的二次方程，再根据韦达定理，写出弦长，求出中点坐标和的垂直平分线的方程，求出点的坐标，写出和，最后根据的斜率范围求出的取值范围. 【解答过程】解：很明显点为线段的垂直平分线与轴的交点， 设直线，，，，， 联立直线方程与椭圆方程，可得， 因此， 所以线段的中点坐标为， ， 的垂直平分线的方程为， 当时，，则， 因此， 所以 ， 故选：B． 【变式6.1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交于、两点（不同于左、右顶点），的周长为，且在上． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程． 【解题思路】（1）利用椭圆的定义可求得的值，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，，由题意，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求得，，结合题干条件以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】（1）解：由椭圆的定义可得的周长为， 所以，， 将点的坐标代入椭圆的方程可得， 所以，，故椭圆的方程为. （2）解：在椭圆中，，则、， 设点、，则，， 由题意，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， 同理可得， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 【变式6.2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点. (1)若，，求椭圆E的标准方程； (2)若，，求k的值. 【解题思路】（1）结合题意可得，，，进而得到直线l的方程为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求解； （2）先表示出直线l的方程，根据椭圆定义和题设可得，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 由，得. 因为，，所以直线l的方程为， 将直线方程代入椭圆方程并整理得. 设，，则，， 所以， 解得， 所以椭圆E的标准方程为. （2）由（1）知，，，， 易得直线l的方程为，椭圆E的方程为， 将直线方程代入椭圆方程并整理得. 由，得，又因为，可得， 故， 则 ， 而，故，故， 故，故，故， 故斜率，而，故，， 又因为，所以. 【题型7 双曲线的焦点弦问题】 【例7.1】（23-24高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（　　） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【解题思路】方法一：右焦点为，斜率不存在时直线的方程为，代入双曲线方程可得弦长，斜率存在时设，，设出直线的方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，求出得值即可得出正确答案. 方法二：求双曲线过右焦点的通径，由此判断当直线与双曲线的交点都在右支上时，满足条件的直线的条数，再求双曲线的实轴长，由此判断直线与双曲线的左右两支各有一个交点时，满足条件的直线的条数，由此确定结论. 【解答过程】双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入双曲线可得：，即，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 代入双曲线可得：， 方程的判别式， 设，则：，， 所以 化简可得：，解得：，    所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条， 故选：C. 方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为， 因为， 所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条. 又实轴长为，， 所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条， 所以满足条件的直线共三条. 故选：C. 【例7.2】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线的左右焦点为，，左顶点为，点是双曲线在第一象限中内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，设设，则，然后将的坐标分别代入双曲线的方程，解方程组可得，然后根据两点间的距离公式即可求出结果. 【解答过程】   由题意知：，所以，又因为，所以，设，则，且，解得，所以， 故选：B. 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|． 【解题思路】讨论弦AB所在直线的斜率k存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长. 【解答过程】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时， 设直线AB为y = k( x- c) ， 双曲线方程可化为①， 将直线y = k( x- c) 代入①整理得，， 设， 当时， 弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1) ， 于是 ∴， 当时， 弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2) ， 于是 ． （2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时， 弦AB 与x 轴垂直，． 【变式7.2】（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点． (1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值． (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值． 【解题思路】（1）根据题意可知，由余弦定理结合焦点三角形的性质可得， 联立两式即可求得，进而即可求解. （2）求出直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）不妨设点在第二象限，如图所示：    根据题意得， 又因为， 所以， 由余弦定理结合焦点三角形的性质可得， 所以， 解得， 所以由三角形面积公式可知， 而. （2）由（1）可知双曲线的右焦点，且由题意直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立，得， 设，则由韦达定理， 所以由弦长公式有 . 【题型8 抛物线的焦点弦问题】 【例8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】先求出抛物线方程，设与的坐标，联立抛物线利用韦达定理及抛物线的焦半径、基本不等式计算即可. 【解答过程】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9.    故选：D． 【例8.2】（24-25高三上·广东·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】设直线，与抛物线联立方程组，求得的坐标，可得到．进而求出的值． 【解答过程】 设直线，联立， 所以则， 得线段的中点为，即， 线段的中垂线方程为， 令，得．所以，所以， 又， 所以．又，所以四边形为平行四边形，因此，所以． 故选：A． 【变式8.1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据抛物线求焦点坐标，设直线方程为，与抛物线联立方程组，利用韦达定理计算的斜率判断三点共线； （2）根据（1）结合，得，，代入计算得，即得直线的方程. 【解答过程】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 【变式8.2】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线． (1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． (2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长． 【解题思路】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由求出的值，即可得解； （2）首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得. 【解答过程】（1）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，解得或， 故直线的方程为或；    （2）抛物线的焦点为，则直线的方程为， 设，， 联立，消去得，显然则， 故． 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课后作业）过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【解题思路】取椭圆的右焦点，设椭圆的右焦点的焦点弦为，设点、，对直线是否与轴重合进行分类讨论，在直线与轴重合时求出的值，在直线与轴不重合时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合弦长公式可求得结果. 【解答过程】对于椭圆，，，， 取椭圆的右焦点，设过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点. ①当直线与轴重合时，； ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理得，， 由弦长公式可得 . 综上所述，. 因此，过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为、. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【解答过程】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【解答过程】设， 由得：， 线段的中点为，，， ，即直线的斜率为， 直线的方程为：，即. 故选：A. 4．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【解答过程】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 5．（2024·河南焦作·模拟预测）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】求出直线与抛物线交点的横坐标，利用抛物线定义求出，即可得解. 【解答过程】联立方程组，消元得， 设，，解得 ，， 易知过直线，根据抛物线的定义， 可得， ， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求解，在同一支上和不在同一支上，结合这样的直线有且只有两条，列出不等式组或，即得解 【解答过程】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有； 若，不在同一支上，则． 因为与不可能同时等于6，所以或， 解得或 故选：B. 7．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 设直线的方程，与双曲线联立，求AB的中垂线方程，得到P点坐标，利用得到离心率，进而求得渐近线方程. 【解答过程】设直线的方程为，，， 联立， 判别式， 韦达定理，， 所以中点纵坐标，横坐标， 则中点坐标为， 所以AB的中垂线方程为， 令得，，即P的坐标为， 所以， 由弦长公式可知，， 将韦达定理代入得，， 因为，所以，整理得，， 所以，即，所以渐近线方程为. 故选：C. 8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 【解题思路】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程． 【解答过程】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：， ①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为， 联立方程，得， ，即， ， 又， 把代入中，得， ， 化简得. ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式. 综上，椭圆上一点的切线方程为：. 再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线， 切点分别为，，则切点弦的方程为． 这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和． 两切线都过点，所以得到了和， 由这两个“同构方程”得到了直线的方程； 因为椭圆，离心率为， 若焦点在轴，则，，所以， 所以，解得，所以椭圆， 所以过作椭圆的两条切线方程， 切点弦方程为； 若焦点在轴，则，，所以， 所以，解得，所以椭圆， 所以过作椭圆的两条切线方程， 切点弦方程为，即； 综上可得直线方程为或. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【解题思路】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可. 【解答过程】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【解题思路】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【解答过程】因为双曲线与双曲线共渐近线， 所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点， 所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误； 设，，由，在双曲线上，得两式相减， 得，即， 又的中点为，所以，，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 设直线，代入曲线E的方程得，，令，得 ，解得，则切线方程为， 即直线的方程为，故C正确； 设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以，因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误． 故选：BC． 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【解题思路】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D. 【解答过程】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【解题思路】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【解答过程】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为：. 13．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【解题思路】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【解答过程】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 14．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点 ． 【解题思路】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得的方程，即可由相交直线系方程，求得直线恒过的定点. 【解答过程】若过椭圆上任意一点作切线，则其斜率存在， 不妨设其为， 联立椭圆方程可得：， 则， 即， 又该方程 因为，则，故可得， 故此时过椭圆上一点的切线方程为， 即，，即； 当时，显然过点的切线方程也满足， 综上所述，过椭圆上任意一点的切线方程为：； 设，则，，， 则切线的方程为，切线的方程为， 又点在上，故， 可得A、B都在直线上， 即，， 令，解得，故直线AB过定点． 故答案为：． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【解题思路】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【解答过程】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即. 16．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线恒有两个交点A、B． (1)求p的取值范围； (2)当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度． 【解题思路】（1）法一：直线过定点在抛物线内；法二：结合判别式恒成立求解； （2）联立，应用焦点弦公式即可求解. 【解答过程】（1）（法一）由题：，知恒过顶点， 又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程， 故，解得，即的取值范围为； （法二）将直线与抛物线方程联立， 得，得， 又因为直线与抛物线恒有两个交点， 所以其判别式对恒成立， 故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为． （2）由题，当 时，：，即， 令得， 由过焦点得；，所以抛物线：． 将直线与抛物线方程联立，并令，，得 ， 由韦达定理得，又因经过抛物线焦点， 故． 17．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. 【解题思路】 （1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解； （2）根据已知条件设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段中点在直线上即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知,解得， 因为， 所以， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在，如图所示 设，设， 消得，， 所以，解得. , 设线段中点的坐标为， 所以 , 又因为线段中点的纵坐标， 所以，解得， 所以直线方程为，即. 18．（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【解题思路】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验. 【解答过程】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 19．（24-25高三上·河南·开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； (3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据已知建立关于的方程组求解即可； （2）联立直线方程和椭圆方程消去，结合点在椭圆上，代入化简即可得证； （3）设，利用（2）中结论表示出两切线方程，结合切线过点可得直线方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式表示出面积，结合已知求出，然后可得直线方程. 【解答过程】（1）由题知，，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）因为点在椭圆上，所以，即， 联立消去整理得， 即，即，显然方程有唯一解， 所以直线与椭圆相切. （3）设， 将代入，解得， 因为点在椭圆外，所以或，所以， 由（2）可得，切线的方程分别为， 因为点在切线上，所以， 所以点在直线，即直线的方程为， 联立得，， 则， 所以 记点到直线的距离分别为， 则， 因为和的面积之和为1， 所以， 解得，所以的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 切点弦与中点弦问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的切点弦 1．圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为. (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1. (2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 【题型1 圆锥曲线的切线方程的求解】 【例1.1】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 【变式1.2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程. 【题型2 圆锥曲线的切点弦问题】 【例2.1】（2024·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例2.2】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【变式2.1】（2024高三·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 【变式2.2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P是直线上的动点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 模块二 圆锥曲线中的中点弦 1．直线与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则称线段AB为弦，与这条弦的中点有关的问题是一类综合性很强的问题，被称为中点弦问题. 2．中点弦的有关问题解法 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解. (2)点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标P(x0,y0)与它和原点连线的斜率的关系. 相关结论： ①在椭圆中有：当x0不为零时，，令，即； ②在双曲线中有：当x0不为零时，； ③在抛物线中有：y0kAB=p. 点差法只能用于一类与弦的中点有关的问题. 3．椭圆的“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 4．双曲线的“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 【题型3 椭圆的中点弦问题】 【例3.1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 【变式3.2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【题型4 双曲线的中点弦问题】 【例4.1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【题型5 抛物线的中点弦问题】 【例5.1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 【变式5.2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 模块三 圆锥曲线中的焦点弦 1．圆锥曲线焦点弦求解策略： (1)两焦半径之和(之差)； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角； 当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角. 2．椭圆的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 3．双曲线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 4．抛物线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式：抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：2p. 【题型6 椭圆的焦点弦问题】 【例6.1】（23-24高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6.1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交于、两点（不同于左、右顶点），的周长为，且在上． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程． 【变式6.2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点. (1)若，，求椭圆E的标准方程； (2)若，，求k的值. 【题型7 双曲线的焦点弦问题】 【例7.1】（23-24高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（　　） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【例7.2】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线的左右焦点为，，左顶点为，点是双曲线在第一象限中内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|． 【变式7.2】（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点． (1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值． (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值． 【题型8 抛物线的焦点弦问题】 【例8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例8.2】（24-25高三上·广东·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8.1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【变式8.2】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线． (1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． (2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长． 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课后作业）过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南焦作·模拟预测）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 10．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 三、填空题 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 13．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 14．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点 ． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 16．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线恒有两个交点A、B． (1)求p的取值范围； (2)当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度． 17．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. 18．（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 19．（24-25高三上·河南·开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； (3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$