专题03均值不等式（易错必刷43题8种题型）（期中专训训练）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题03 均值不等式 （易错必刷43题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 均值不等式求积的最大值 · 均值不等式求和的最小值 · 二次与二次（或一次）的商 式的最值 · 条件等式求最值 · 均值不等式的恒成立问题 · 对勾函数求最值 · 基本（均值）不等式的应用 · 有均值不等式“1”的妙用求 最 一．均值不等式求积的最大值（共5小题） 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】ABC 【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D. 【详解】对于A，，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确； 对于D，， 当且仅当即时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D. 【详解】已知，且， 则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误； ，当且仅当时，等号成立，B选项正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确； 由题意可得，此时， 因为，而不存在使得，则D选项错误. 故选：BC 5．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】(1)长宽均为； (2)长为，宽为 【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解； （2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解. 【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 二．均值不等式求和的最小值（共5小题） 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由于，所以原不等式化为，给不等式两边同乘以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 三．均值不等式求和的最小值（共6小题） 11．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围. 【详解】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 12．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 16．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 四．条件等式求最值（共7小题） 17．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】利用基本不等式一一判断求解即可. 【详解】因为正实数，满足，则有： 对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确； 对B，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值4，B正确； 对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误； 对D，因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确； 故选：C. 18．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 19．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 20．（23-24高一上·安徽·期中）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D． 【答案】ABC 【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断 【详解】对于，因为，即， 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于B，由基本不等式得，， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，即，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由可得，即，故D错误. 故选：ABC. 21．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 22．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，且，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】判断出，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由于，即同号，则，故， 则，即， 当且仅当时，取得等号， 即的最小值是4， 故答案为：4 23．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 五．均值不等式的恒成立问题（共3小题） 24．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 25．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 26．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 27．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 六．对勾函数求最值（共5小题） 28．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 当且仅当，即时取等号； 故选：C 29．（22-23高一上·陕西西安·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合均值不等式即可得出结果. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；故A正确，B错误； 当时， ，当且仅当时，等号成立；故C正确，D错误； 故选：AC. 30．（18-19高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4米，28800元 (2) 【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立， 令， 又在为单调增函数，故.所以. 31．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得，可得，可得，即有，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围． 【详解】解：，，， 可得，当且仅当时取等号； 可得， ， 可得， 即有， 则 ， 可令， 由在，递减，可得 ， 则的取值范围是， 故答案为：． 32．（20-21高一下·江西·阶段练习）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）16. 【分析】（1）观察函数和所给已知条件的关系，将函数转化，然后用基本不等式求解即可. （2）根据条件，将所给式子转化，然后用基本不等式以及巧用“1”求最值. 【详解】（1），. ， 当且仅当,时，. （2），且， ， 即的最小值为16，当且仅当，，时取等号 七．基本（均值）不等式的应用（共5小题） 33．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 34．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 【答案】 【分析】利用基本不等式、勾股定理求得正确答案. 【详解】设直角三角形框架的直角边为，为正实数， 则， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 35．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由公式得到面积表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】由题， ，则. 由基本不等式，. 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 36．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 37．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 八．均值不等式“1”的妙用求 最值（共6小题） 38．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 39．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 40．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 41．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 42．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】/ 【分析】注意到，由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 43．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）（1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得； （2）依题意，，再计算，即可得证. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， ； （2）因为，， 所以，，即，， 所以 ，当且仅当或时取等号， 所以，则. $$专题03均值不等式 （易错必刷43题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 均值不等式求积的最大值 · 均值不等式求和的最小值 · 二次与二次（或一次）的商 式的最值 · 条件等式求最值 · 均值不等式的恒成立问题 · 对勾函数求最值 · 基本（均值）不等式的应用 · 有均值不等式“1”的妙用求 最 一．均值不等式求积的最大值（共5小题） 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为 D．最小值为2 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 5．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 二．均值不等式求和的最小值（共5小题） 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 三．均值不等式求和的最小值（共6小题） 11．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 16．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 四．条件等式求最值（共7小题） 17．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 18．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 20．（23-24高一上·安徽·期中）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D． 21．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 22．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，且，则的最小值是 . 23．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 五．均值不等式的恒成立问题（共3小题） 24．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 25．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 27．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 六．对勾函数求最值（共5小题） 28．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（22-23高一上·陕西西安·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 30．为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 31．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若，则的取值范围是 ． 32．（20-21高一下·江西·阶段练习）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 七．基本（均值）不等式的应用（共5小题） 33．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 35．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 . 36．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 37．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 八．均值不等式“1”的妙用求 最值（共6小题） 38．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 39．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 40．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 41．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 42．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 43．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）（1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. $$