专题02一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数（易错必刷36题7种题型）（期中专训训练）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题02 一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数 （易错必刷36题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等式比较大小 · 解一元二次不等式 · 由一元二次不等式的解求参数 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次方程的根的分布与系数的关系 · 二元一次不等式组 · 线性方程组解的存在性，唯一性 一．不等式比较大小（共4小题） 1．（2023秋•楚雄市校级月考）已知x＝a2﹣2a+3，y＝2a﹣2，则（　　） A．x＜y B．x＝y C．x＞y D．x与y的大小无法判断 2．（2023秋•渭滨区校级月考）已知，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•苍梧县校级月考）已知，满足，，则，满足的大小关系是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•安顺期末）若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 　 　． 二．解一元二次不等式（共6小题） 5．（2023秋•东城区校级期中）集合，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•朝阳区校级期中）已知，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023秋•五通桥区校级期中）已知集合，．若，，则的取值范围是　　 A．，， B．，， C．， D． 8．（2023秋•闵行区校级期中）已知集合为非空集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 9．（2023秋•昭阳区校级期中）已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 10．（2023秋•石家庄期中）已知二次函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值． （2）若，，解关于的不等式． 三．由一元二次不等式的解求参数（共6小题） 11．（2023秋•龙岗区校级期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是　　 A． B．， C．，， D． 12．（2023秋•邗江区校级期中）已知关于的不等式的解集为，则　　 A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 13．（2023秋•饶平县校级期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 　 　． 14．（2023秋•普陀区校级期中）已知，，关于的不等式的解集为，则　 　． 15．（2023秋•富阳区校级期中）已知不等式的解集为． （1）求、的值； （2）求不等式的解集． 16．（2023秋•谯城区校级期中）已知关于的不等式． （1）不等式的解集为，求实数，的值； （2）解关于的不等式． 四．一元二次不等式恒成立问题（共6小题） 17．（2023秋•东城区校级期中）已知不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 19．（2023秋•城中区校级期中）（1）已知不等式的解集为，求实数，的值 （2）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ 20．（2023秋•宿州期中）已知命题“，都有成立”为真命题． （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 21．（2023秋•鼓楼区校级期中）设，． （1）若“，”是真命题，求实数的取值范围； （2）解关于的一元二次不等式． 22．（2023秋•西安期中）已知不等式． （1）当时，求不等式解集； （2）是否存在实数对所有的实数使不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 五．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共5小题） 23．（2023秋•七里河区校级期中）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论正确的是　　 A．当时，， B． C．当时， D．二次函数的零点为2和3 24．（2022秋•秀峰区校级期中）下列命题中是假命题的有　　 A．有四个实数解 B．设、、是实数，若二次方程无实根，则 C．若，则 D．若，则函数的最小值为2 25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 　 　． 26．（2023秋•马龙区校级期中）若方程有两个不相等的实数根，，且． （1）求证：； （2）若，求的最小值． 27．（2021秋•虹口区校级期中）已知关于的方程：的两个实数根、． （1）若且，求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）当且时，求的取值范围． 六．二元一次不等式组（共3小题） 28．（2020春•贵阳期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的值为　 　． 29．（2023秋•杨浦区校级月考）（1）设集合，，，，若，求实数的值； （2）设，求关于与的二元一次方程组的解集． 30．（2014春•屯溪区校级期中）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围． 七．线性方程组解的存在性，唯一性（共6小题） 31．（2023秋•海淀区校级期中）已知关于、的方程组：（其中、无解，则必有　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•海淀区校级月考）若关于，的方程组与的解集相等，则　　；　　． 33．（2022秋•和平区校级月考）已知，则　 　． 34．（2022秋•辽中区校级月考）已知，则的值为 　 　． 35．（2022秋•城关区校级期中）解下列方程（组 （1）； （2）； （3）； （4）． 36．（2022秋•辽宁月考）甲、乙两位同学在求关于，的方程组的解时，甲因看错了，解得乙因看错了，解得． （1）求，的值； （2）求方程组的解集． $$专题02 一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数 （易错必刷36题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等式比较大小 · 解一元二次不等式 · 由一元二次不等式的解求参数 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次方程的根的分布与系数的关系 · 二元一次不等式组 · 线性方程组解的存在性，唯一性 一．不等式比较大小（共4小题） 1．（2023秋•楚雄市校级月考）已知x＝a2﹣2a+3，y＝2a﹣2，则（　　） A．x＜y B．x＝y C．x＞y D．x与y的大小无法判断 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为x＝a2﹣2a+3，y＝2a﹣2， 所以x﹣y＝a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1≥1，故x＞y． 故选：C． 2．（2023秋•渭滨区校级月考）已知，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：因为，， 所以， 所以． 故选：． 3．（2023秋•苍梧县校级月考）已知，满足，，则，满足的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】利用作差法计算即可． 【解答】解：， 当且仅当，时取得等号，所以． 故选：． 4．（2023秋•安顺期末）若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 　　． 【分析】通过配方得，所以．将条件中的两个式子相减，整理得，由得．所以． 【解答】解：因为，所以． 由条件有，即， 所以，所以． 故答案为：． 二．解一元二次不等式（共6小题） 5．（2023秋•东城区校级期中）集合，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】解出集合，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围． 【解答】解：因为，，， 则． 故选：． 6．（2023秋•朝阳区校级期中）已知，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，求出对应不等式的解集，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由，得或， 由得或，则由或， 能推出或，故充分性成立； 由或，不能推出或， 故必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 7．（2023秋•五通桥区校级期中）已知集合，．若，，则的取值范围是　　 A．，， B．，， C．， D． 【分析】根据，知，再计算集合，即可． 【解答】解：由，知， 由，， 则有且， 所以， 即的取值范围是，． 故选：． 8．（2023秋•闵行区校级期中）已知集合为非空集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 【分析】（1）当时，求得，，结合集合交集、并集的运算，即可求解； （2）由得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）当时，集合， ， 由集合交集和并集的定义与运算，可得，． （2）由非空集合，， 因为，可得，因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是，． 9．（2023秋•昭阳区校级期中）已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数，的值； （2）结合（1）中结论，可得，那么可化为，利用基本不等式，即可求出的最小值． 【解答】解：（1）因为关于的不等式的解集是， 所以和是方程的两个根， 所以，解得：， 当，时，原不等式为：，此时的解集为，符合题意， 故，． （2）由（1）知，，所以， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 10．（2023秋•石家庄期中）已知二次函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值． （2）若，，解关于的不等式． 【分析】（1）由题意可知和2是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； （2）不等式可化为，再对分情况讨论，结合二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）若关于的不等式的解集是， 则和2是方程的两个根， 所以， 解得； （2）若，， 不等式可化为，， 即，即， ①当，即时， 解不等式得或， ②当，即时， 解不等式得， ③当，即时， 解不等式得或， 综上所述所，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 三．由一元二次不等式的解求参数（共6小题） 11．（2023秋•龙岗区校级期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是　　 A． B．， C．，， D． 【分析】由题意确定2，3是的两根，且，即可求得，的值，继而解不等式，即可得答案． 【解答】解：由不等式的解集是， 可知2，3是的两根，且， 故，解得， 故即，解得或， 即不等式的解集是． 故选：． 12．（2023秋•邗江区校级期中）已知关于的不等式的解集为，则　　 A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【分析】结合一元二次不等式解集的形式，可判断；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断． 【解答】解：对于，因为关于的不等式的解集为， 所以且，得，故错误； 对于，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故正确； 对于，，故正确． 对于，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故正确． 故选：． 13．（2023秋•饶平县校级期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 　　． 【分析】由题意可得，，是方程的根，结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：因为关于的不等式的解集为或， 所以，是方程的根， 则， 故． 故答案为：． 14．（2023秋•普陀区校级期中）已知，，关于的不等式的解集为，则　　． 【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求解． 【解答】解：由题意知，与是方程的两根， 由根与系数的关系知，解得， 所以． 故答案为：． 15．（2023秋•富阳区校级期中）已知不等式的解集为． （1）求、的值； （2）求不等式的解集． 【分析】（1）根据不等式的解集，得出对应一元二次方程的实数解，利用根与系数的关系求出、； （2）把，的值代入即可求解． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为， 所以方程的根为2和3， 所以，解得， （2）不等式为， 即， 解得， 所以不等式的解集为． 16．（2023秋•谯城区校级期中）已知关于的不等式． （1）不等式的解集为，求实数，的值； （2）解关于的不等式． 【分析】（1）把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，利根与系数的关系的关系求出实数，的值； （2）解含有参数的一元二次不等式，对进行分类讨论． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为， 所以，为的两个根， 所以，解得， 所以，． （2）不等式等价于， 整理得到：． 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 当时，，不等式的解集为． 当时，，不等式的解集为． 当时，，不等式的解集为． 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为． 四．一元二次不等式恒成立问题（共6小题） 17．（2023秋•东城区校级期中）已知不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得． 【解答】解：因不等式对任意的实数恒成立， ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在上恒成立等价于，解得：． 综上可得：实数的取值范围为． 故选：． 18．（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】由题意可知1和2是方程的两个根，进而求出的值，再结合二次函数的性质求解． 【解答】解：不等式的解集为， 和2是方程的两个根， ， ， 即不等式对于任意的恒成立， 当，即或6时， 若，则不等式化为，对于任意的恒成立，符合题意， 若，则不等式化为，解得，不符合题意，舍去， 当且时，则， 解得或， 综上所述，实数的取值范围为，． 故选：． 19．（2023秋•城中区校级期中）（1）已知不等式的解集为，求实数，的值 （2）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ 【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的根，结合根与系数的关系； （2）先验证时满足题意，然后根据二次函数的性质得出结论（利用判别式求解）． 【解答】解：（1）由不等式的解集为可得． 所以，代入得， 当，时，为，它的解集为，符合题意． 所以，． （2）当时，，符合题意； 当时，二次函数开口朝上，不可能对一切实数都成立． 当时，若对一切实数都成立，则△，即，解得． 综上，的取值范围是． 20．（2023秋•宿州期中）已知命题“，都有成立”为真命题． （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）由△计算可得； （2）首先求出集合，依题意可得，从而得到或，解得即可． 【解答】解：（1），成立， △，即，解得， ． （2）由，即， ，解得或， 或， “”是“”的充分条件， ，或，即或． 实数的取值范围是，，． 21．（2023秋•鼓楼区校级期中）设，． （1）若“，”是真命题，求实数的取值范围； （2）解关于的一元二次不等式． 【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解； （2）利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解． 【解答】解：（1）由题得，“，”是真命题， 若，则恒成立，满足题意； 若，要使“，”是真命题， 则必有，解得， 综上实数的取值范围是，． （2）因为是一元二次不等式，所以， 又由可得，， 方程的两个根为， 若，即时，原不等式的解为，，； 若，即时，原不等式的解集为； 若，即时，原不等式的解集为； 若，即时，原不等式的解集为； 综上，时，解集为；时，解集为，，；时，解集为；时，解集为． 22．（2023秋•西安期中）已知不等式． （1）当时，求不等式解集； （2）是否存在实数对所有的实数使不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当时，不等式为，即，从而即可求出该不等式的解集； （2）不等式恒成立，等价于函数的图象恒在轴下方，从而分类讨论和两种情况即可判断是否存在满足题意的实数． 【解答】（1）当时，不等式为，即，则解集为， （2）不等式恒成立，即函数的图象在轴下方． 当时，，则，不满足题意； 当时，函数为二次函数，其图象需满足开口向下且与轴没有公共点， 则，不等式组的解集为空集，即不存在． 综上，不存在这样的实数使不等式恒成立． 五．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共5小题） 23．（2023秋•七里河区校级期中）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论正确的是　　 A．当时，， B． C．当时， D．二次函数的零点为2和3 【分析】当时，，解方程即可判断选项，有实数根，，且，根据△即可判断选项，数形结合由图像与图像交点横坐标可判断选项，由展开得：，先利用韦达定理求出，代入可判断选项，进而可得正确选项． 【解答】解：对于，易知当时，的根为2，3，故正确； 对于，设，因为的图像与直线有两个交点，所以，故正确； 对于，当时，的图像由的图像向下平移个单位长度得到，，故错误； 对于，由展开得：，利用韦达定理求出，代入， 可得，所以二次函数的零点为2和3，故正确． 故选：． 24．（2022秋•秀峰区校级期中）下列命题中是假命题的有　　 A．有四个实数解 B．设、、是实数，若二次方程无实根，则 C．若，则 D．若，则函数的最小值为2 【分析】先求出的取值，从而判定根的个数，即可得到命题的真假；先根据二次方程无实根，求出、、的关系，可得到命题的真假；若，求出的范围，可得到命题的真假；求函数的最值时注意的范围，求出最小值，进行判定真假． 【解答】解：则或，故方程只有两个实数解，故是假命题； 设、、是实数，若二次方程无实根，则，则，则，可以推出，故是真命题； 若，则且，可推出，故是真命题； 若，则函数的最小值为，此时，故是假命题． 故选：． 25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 　，　． 【分析】先由△求出的取值范围，再利用韦达定理求解即可； 【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根，， △， 解得， 又，， ， ， 函数在，上单调递减， ， 的取值范围是，． 故答案为：，． 26．（2023秋•马龙区校级期中）若方程有两个不相等的实数根，，且． （1）求证：； （2）若，求的最小值． 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值． 【解答】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以． （2）解： ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8． 27．（2021秋•虹口区校级期中）已知关于的方程：的两个实数根、． （1）若且，求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）当且时，求的取值范围． 【分析】（1）令，由二次函数图象可知，求解即可得出答案； （2）由韦达定理得，，且△，又，联立即可得出答案； （3）由（2）知，，又且，则，利用求根公式得出，构造函数，利用单调性即可得出答案． 【解答】解：（1），关于的方程：的两个实数根、， 要使且，作出函数图象如图所示： 由图象可知，即，解得， 故实数的取值范围为，； （2）由韦达定理得，， ， ， 又△，解得或， 当时，，解得，（不合题意，舍去）； 当时，，解得（不合题意，舍去）， 实数； （3）由（2）知，，又且，则， ，，， ， 令，， 在，上单调递增，在，上单调递增， 在，上单调递增， （8）， ，， 故的取值范围为，． 六．二元一次不等式组（共3小题） 28．（2020春•贵阳期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的值为　1　． 【分析】由关于的不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出的值． 【解答】解：关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根是1和2， 由根与系数的关系知，且， 解得． 故答案为：1． 29．（2023秋•杨浦区校级月考）（1）设集合，，，，若，求实数的值； （2）设，求关于与的二元一次方程组的解集． 【分析】（1）确定，考虑和两种情况，解方程并验证得到答案． （2）整理得到，考虑和两种情况，解得答案． 【解答】解：（1），所以， 当时，或，若，，，不满足互异性，排除； 若，，，，，满足条件； 当时，，此时，，，，，，不成立； 综上所述：． （2）由，则，得， 当时，等式不成立，无解； 当时，，； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为． 30．（2014春•屯溪区校级期中）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围． 【分析】由已知不等式组我们易给出的解集为或，而方程的两根为和．我们分类讨论和的关系，又由不等式组的整数解的集合为，我们不难求出实数的取值范围． 【解答】解：由可得或． 的整数解为， 又方程的两根为和． ①若，则不等式组的整数解集合就不可能为； ②若，则应有． ． 综上，所求的取值范围为． 七．线性方程组解的存在性，唯一性（共6小题） 31．（2023秋•海淀区校级期中）已知关于、的方程组：（其中、无解，则必有　　 A． B． C． D． 【分析】由方程组得，所以无解．所以当，且，不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解． 【解答】解：由方程组得，所以方程无解． 所以当，且，不同时为1，其中、， ，即． 故选：． 32．（2023秋•海淀区校级月考）若关于，的方程组与的解集相等，则　4　；　　． 【分析】由题意可得，该解集与方程组解集相同，对方程组求解，代入方程组，可得，． 【解答】解：关于，的方程组与的解集相等， 则该解集与方程组解集相同． 由可得， 则关于，的方程组的解集也是， ，解得． 故答案为：4，． 33．（2022秋•和平区校级月考）已知，则　　． 【分析】先由两式相加得到，引入常数，从而用表示，，，据此得解． 【解答】解：根据题意，注意到，作为比例分母，故，， 因为， 所以两式相加得， 令，则， 将其代入，得，故， 所以． 故答案为：． 34．（2022秋•辽中区校级月考）已知，则的值为 　　． 【分析】将，，统一用表示即可求解． 【解答】解：由得， 即代入，解得， 所以， 故答案为：． 35．（2022秋•城关区校级期中）解下列方程（组 （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）直接利用加减消元法求出方程组的解； （2）直接利用加减消元法求出方程组的解； （3）直接利用代入法求出方程组的解． （4）直接利用去分母转换为解一元二次方程的解，并对方程的根进行验证． 【解答】解：（1），整理得，解得． （2），整理得，解得，代入中，解得．故． （3），整理得，解得， 当时，，当时，， 故方程组的解为或． （4），去分母得：，解得或， 当时，分母为0，故舍去，当时，满足方程两边相等． 故方程的根为． 36．（2022秋•辽宁月考）甲、乙两位同学在求关于，的方程组的解时，甲因看错了，解得乙因看错了，解得． （1）求，的值； （2）求方程组的解集． 【分析】（1）将代入可求得，将代入可求得． （2）利用消元法可求解集． 【解答】解：（1）依题意可得满足，满足， 则，解得，． （2）由（1）可得，消元后可得，故， 所以， 故方程组的解集为． $$