专题05函数的性质（单调性、奇偶性和对称性）（易错必刷48题12种题型）（期中专训训练）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题05 函数的性质（单调性、奇偶性和对称性） （易错必刷48题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 定义法判断或证明函数的单调性 · 根据函数的单调性求参数值 · 利用函数单调性求最值或值域 · 根据函数的最值求参数 · 复合函数的单调性 · 函数不等式恒成立问题 · 函数不等式能成立（有解）问题 · 函数奇偶性的定义与判断 · 由奇偶性求函数解析式 · 判断或证明函数的对称性 · 由对称性求函数的解析式 · 由函数对称性求函数值或参数 · 一．定义法判断或证明函数的单调性（共4小题） 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 4．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 二．根据函数的单调性求参数值（共5小题） 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程） 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 三．利用函数单调性求最值或值域（共4小题） 10．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 11．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 13．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数. (1)用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； (2)若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 四．根据函数的最值求参数（共5小题） 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 17．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 18．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求关于的不等式的解集， (2)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 五．复合函数的单调性（共3小题） 19．（23-24高一上·重庆开州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 21．（23-24高一上·河北沧州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 22．（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 六．函数不等式恒成立问题（共5小题） 23．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 24．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 26．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 七．函数不等式能成立（有解）问题（共4小题） 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数 (1)若不等式在有解，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 29．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 30．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 31．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 八．函数奇偶性的定义与判断（共3小题） 32．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 33．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 34．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 九．由奇偶性求函数解析式（共3小题） 35．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 36．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 37．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 一十．判断或证明函数的对称性（共4小题） 38．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点成中心对称图形 B．的图象关于成轴对称图形 C．的图象关于点成中心对称图形 D．的图象关于点成中心对称图形 39．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 40．（23-24高一上·江西南昌·期中）定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 41．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 一十一．由对称性求函数的解析式（共3小题） 42．（20-21高一上·江西南昌·期中）已知的图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高三上·江苏镇江·阶段练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 ． 44．（20-21高一上·河北衡水·期中）已知函数和的图象关于原点对称，且. （1）求函数的解析式； （2）已知，若在上是增函数，求实数的取值范围. 一十二．由函数对称性求函数值或参数（共4小题） 45．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（    ） A．3m B．6m C．9m D．12m 46．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．3 D．6 47．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)求证：； (2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数， （ⅰ）求图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 48．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． $$专题05 函数的性质（单调性、奇偶性和对称性） （易错必刷48题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 定义法判断或证明函数的单调性 · 根据函数的单调性求参数值 · 利用函数单调性求最值或值域 · 根据函数的最值求参数 · 复合函数的单调性 · 函数不等式恒成立问题 · 函数不等式能成立（有解）问题 · 函数奇偶性的定义与判断 · 由奇偶性求函数解析式 · 判断或证明函数的对称性 · 由对称性求函数的解析式 · 由函数对称性求函数值或参数 · 一．定义法判断或证明函数的单调性（共4小题） 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 4．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用条件代入解方程即得； （2）计算再与比较得即得证； （3）先运用函数的单调性定义推导函数的单调性，再运用单调性和对称性求解抽象不等式，最后分离变量，利用基本不等式即得参数范围. 【详解】（1）因，由解得； （2）因， 则， 故函数的图像关于对称. （3）任取，由 因，则，即；因，则，即； ，，故，即，故在上单调递增， 因的图象关于对称，故在上单调递减. 由可得，，即（*）， 当时，不等式显然成立；时，由（*）可得， 因，，当且仅当时等号成立， 故得，解得，，即m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于求解抽象不等式时，需判断函数的单调性，在求解含参的不等式恒成立问题，一般首选参变分离，将问题转化成求函数的最值，其次是数形结合讨论函数的方法. 二．根据函数的单调性求参数值（共5小题） 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得． 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故答案为：． 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴得到，代入点坐标计算得到答案. （2）确定函数解析式，画出函数图像，再考虑，，三种情况，计算最值得到答案. （3）确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】（1），所以函数关于对称，则，所以， 又，即，所以， 所以； （2）， 即，由， 当时，令，即，解得（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述； （3）， 画出函数图像，如图所示： 函数在上是单调函数，根据图像知：，即，故. 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【详解】（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； （2）如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 三．利用函数单调性求最值或值域（共4小题） 10．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 【答案】 【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可. 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为在区间上单调递减， 则在区间上也单调递减， 所以， 所以，则实数m的最小值是. 故答案为：. 11．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出 的值域, 将问题转化为, 然后分 ， 讨论即可求解. 【详解】因为函数 在上单调递增, 所以当 时, , 依题意, 对任意 时, 都有, 对任意 时, 都有, 即, 因为 , 所以当 , 即 时, , 解得 ; 又因为，所以，解得. 当 , 即 时, , 解得 (舍去)； 当 , 即 时, ，化简得：, 解得 ， 又因为，，解得. 综上, 实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 13．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数. (1)用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； (2)若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增， (2) 【分析】（1）设是上的任意两个实数，且，再求解或判断即可得单调性，再根据单调性可得在上的值域； （2）由题意的最小值为，再根据为关于的增函数，可得，进而可得的取值范围. 【详解】（1）设是上的任意两个实数，且. （方法一） ， 因为为增函数，所以， 所以，即，所以在上单调递增. （方法二）， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以在上单调递增. 故在上的值域为，即. （2）因为的定义域为， 所以的定义域也为. 因为的最小值为，所以的最小值也为. 因为为关于的增函数，所以为增函数， 又，所以. 由， 得， 依题意可得， 解得，则的取值范围是. 四．根据函数的最值求参数（共5小题） 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 15．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 17．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解集设函数，然后根据最值求解参数即可解答； （2）利用对勾函数单调性判断，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1）因为是二次函数，且的解集是， 所以可设， 且易知，所以在区间上的最大值是， 由已知得，所以，所以. （2），在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 其中，所以， 所以，所以在上单调递增. 18．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求关于的不等式的解集， (2)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解； （2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以由，得， 化简得，即，即， 当时，该不等式无解， 当时，不等式化为，解得或， 当时，不等式化为，解得或， 综上，当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. （2）因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 易知当时，在上单调递增， 所以时，，且， 因为，所以， 当，即时，， 因为，所以，所以； 当，即时，令，得， 所以，故； 当，即时，所以， 因为，所以，所以； 综上，，所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解. 五．复合函数的单调性（共3小题） 19．（23-24高一上·重庆开州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解. 【详解】当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 且时，当且仅当时，， 由此可知C，D选项中图象错误； 当时，，此时在上单调递减， 故选项A中图象不合题意， 又，故B中图象符合题意. 故选：B. 20．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间. （2）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式. 【详解】（1）当时，， 当时，易得单调递增； 当时，， 因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 综上，的单调递增区间为，. （2）因为， 当时，，则， 根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则，显然在上单调递增， 所以； 当时，， 当时，单调递增，故， 当时，， 若时，则；若时，则； 所以当时，； 若时，，又，， 当，即时，， 当，即时，； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分理解对勾函数的单调性. 21．（23-24高一上·河北沧州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 【答案】AD 【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D. 【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确； 函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误； 函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误； 是定义在上的减函数，若中，则，又， 所以，所以，故D正确. 故选：AD 22．（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义，即可证明； （2）首先将拆分成内外层函数，，，结合（1）的结论求出的值域，即可得解. 【详解】（1）在上的单调递减，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，， ，即， 所以，即， 所以函数在上的单调递减； （2）， 设，在上单调递增，当时，， 所以， 令，， 由（1）可知，在上单调递减， 又，，所以， 所以的值域为. 六．函数不等式恒成立问题（共5小题） 23．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围； （2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集. 【详解】（1）， 不等式化为， 即， 不等式在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， ， 设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增， 当；当；当， ， ，即的取值范围是. （2）不等式化为， 即， 即， ①当时，不等式为，不等式解集为， ②当时，即时，不等式为，不等式解集为; ③当时，，不等成解集为; ④当时，，不等式解集为 ⑤时，不等式解集为. 24．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可. 【详解】（1）设二次函数， 则，                 已知，所以，解得， 又，得， . （2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立， 令，可知在上单调递减， 则，得 所以实数的取值范围为. 25．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的顶点式求出解析式. （2）求出在上的最小值，再列式求出即可. （3）利用二次函数的性质列式求解即得. 【详解】（1）依题意，二次函数满足，则函数图象的对称轴为， 由函数的最小值为，设， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，当时，，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，函数图象的对称轴为， 要使函数在区间上不单调，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 26．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可； （2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，即，解得，， 此时，，成立， 所以的值为1， 任设，则， 因为，所以， 所以，所以， 可证得在上单调递增； （2）由， 可得， 因为，由（1）知，令， 所以，恒成立 ①当时，恒成立，满足题意， ②当时，二次函数的图象开口向上， 对称轴方程为 所以当时，，解得， ③当时，二次函数的图象开口向下， 所以，解得，   综上：实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解. 七．函数不等式能成立（有解）问题（共4小题） 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数 (1)若不等式在有解，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意整理可得在有解，根据存在性问题结合基本不等式运算求解； （2）由题意可得在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解. 【详解】（1）因为不等式在有解，即，， 整理得在有解， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以的取值范围. （2）因为开口向上，， 不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件， 集合是集合的子集， 即在上恒成立，则，解得：， 所以的取值范围. 29．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可； （2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）因为，成立， 即，成立， 所以，， 设， 则， 解得或， 故的取值范围为. （2）对，总，使得，等价于， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 由于在上单调递增，因此； 因为开口向上，且其对称轴为， ①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即，解得，不符合； ②若，即，函数在上单调递增， 则， 所以，即，解得，符合； ③若，即，函数在上单调递减， 则， 所以，即，无解， 综上所述，的取值范围是． 30．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）计算，考虑，和，两种情况，得到函数单调区间； （2）变换得到，设，计算函数的最大值得到答案. 【详解】（1），则， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明：，且， ， ，故，， 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递减； 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递增. （2），即， 即，存在，使得成立. 令，，.所以存在，成立. 所以，. 又，所以当时，， 所以，即. 31．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集； （2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解. 【详解】（1），所以，令， 若，解得， 当时，，不等式的解集为， 当或时，，此时方程有两根，，且， 此时不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为； 当或时， （2）记函数，的值域为集合A， ，的值域为集合B； 则对任意的，总存在，使得成立； 因为的图象开口向上，对称轴为，所以当， ，得； 当时，的值域为，显然不满足题意； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 综上：实数a的取值范围为. 八．函数奇偶性的定义与判断（共3小题） 32．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 33．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. 【分析】（1）分和两种情况，利用函数奇偶性的定义分析判断即可； （2）分，，和四种情况结合二次函数的单调性，从而可求出函数的最小值，然后列方程求解即可. 【详解】（1）若，则，定义域关于原点对称， ，故是奇函数； 若，则不是奇函数， 又，故不是偶函数， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. （2）①当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增. 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 即（舍去）； ③当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得（舍去），； ④当时，， 因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，得，均舍. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，考查由函数的最值求参数，第（2）问解题的关键是分情况讨论去掉绝对值，转化为二次函数的闭区间的最值问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 34．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 九．由奇偶性求函数解析式（共3小题） 35．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 36．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 37．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 一十．判断或证明函数的对称性（共4小题） 38．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点成中心对称图形 B．的图象关于成轴对称图形 C．的图象关于点成中心对称图形 D．的图象关于点成中心对称图形 【答案】AB 【分析】 根据题中所给的对称满足的充要条件，结合函数的奇偶性、逐一代入即可验证求解. 【详解】 对于A，，设 ， 为奇函数， 的对称中心为，故A正确； 对于B，， 设 ， 为偶函数， 关于对称，故B正确； 对于C，，设， ，不是奇函数，故C错误； 对于D，，设， ，不是奇函数，故C错误． 故选：AB． 39．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 【答案】ABD 【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项 【详解】化简得， 的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到， 先画出的图象，再进行平移画出的图象， 因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则在上单调递减，值域为， 若点在图象上，则，整理得， 即点也在图象上，可知的图像关于直线对称， 所以ABD正确； C错误. 故选：ABD. 40．（23-24高一上·江西南昌·期中）定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 【答案】CD 【分析】对于AB，由结合函数的对称性分析判断，对于C，将中的换为，再结合已知的式子和奇函数的定义分析判断，对于D，由函数为奇函数和已知可得，，则，再结合已知的解析式可求得结果. 【详解】对于A，因为对，都有，即， 所以函数的图象关于成中心对称，所以A错误， 对于B，因为对，都有，所以函数的图象关于直线轴对称，所以B错误， 对于C，因为对，都有， 所以，即， 所以，所以函数为奇函数，所以C正确， 对于D，因为，为奇函数，所以， 所以，设，则， 因为当时，， 所以当时，，所以D正确， 故选：CD 41．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称，故选项B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称； 结合函数的图象关于对称，所以函数的图象关于点中心对称， 故选项A正确； 又在区间上，有，所以在上单调递增， 结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称， 所以在上单调递减，故选项C正确； 由奇函数性质知，所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且， 又在上单调递增，所以，故选项D错误. 故选：ABC 一十一．由对称性求函数的解析式（共3小题） 42．（20-21高一上·江西南昌·期中）已知的图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合函数对称性与解析式可知是零点，则也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数有两个零点，0，又因为其图象关于直线对称， 所以2，3也是函数的两个零点，即，所以，令，则，所以，即的值域为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于： （1）若函数对称轴为，则有； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围. 43．（22-23高三上·江苏镇江·阶段练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由题设可得关于、对称且周期为4，再由对称性有、，结合区间解析式列方程求解析式，最后根据周期性、对称性求函数值. 【详解】由题设，，则关于、对称， 所以，故周期为4， 又，而， 综上，可得，故时， 由. 故答案为： 44．（20-21高一上·河北衡水·期中）已知函数和的图象关于原点对称，且. （1）求函数的解析式； （2）已知，若在上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据函数和的图象关于原点对称，在函数的图象上任一点，设关于原点的对称点为，由，求得，在根据点在上求解. （2）由（1）得到，时，满足条件；当时，利用二次函数的单调性求解. 【详解】（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为， 则，即，. 因为点在上， ，即， 故. （2）由（1）知 当时，满足条件； 当时，对称轴，且开口向上； 令得 综上：. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 一十二．由函数对称性求函数值或参数（共4小题） 45．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（    ） A．3m B．6m C．9m D．12m 【答案】A 【分析】由判断关于点成中心对称，进而判断函数与图象的交点关于点对称，由此求出和的值，即可得答案. 【详解】由函数满足可得， 即函数关于点成中心对称， 由函数，其图象可由向上平移3个单位得到， 故关于点成中心对称， 则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称， 不妨设，和关于对称，依此类推； 设，则， 故， 同理令，可得， 故， 故选：A 46．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】构造函数，易知为奇函数，根据已知条件确定在上的最小值为9，再根据奇函数的性质判断在上的最大值，最终确定函数在区间上的最大值. 【详解】由题可设，，其定义域为， 易知：，则为奇函数， 又因为函数在区间上的最小值为9. 则在区间上的最小值为 由奇函数对称区间上的单调性相同：故在区间上的最大值为. 所以在区间上的最大值为. 故选：C 47．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)求证：； (2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数， （ⅰ）求图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）作差，然后配方即可证明； （2）（ⅰ）根据，由等式两边多项式相应系数相等可得；（ⅱ）根据对称性，倒序相加即可求解. 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴． （2）（ⅰ）∵， 设的对称中心为，则， 即． 整理得， ∴解得． ∴图象的对称中心为， （ⅱ）由（ⅰ）得， ∵， 又有， 两式相加得， ∴． 48．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． $$