九年级上学期期中模拟卷01（考试范围：九上全册内容+九下二次函数）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

九年级上学期期中模拟卷01 【考试范围：九上全册内容+九下二次函数】 注意事项： 本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 3．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据中位数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为（   ） A． B． C． D． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 6．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 7．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解 ． 12．抛物线对称轴是 ． 13．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    14．关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 15．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 16．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是 ． 17．如图，在矩形金属框中，已知，，现有一根长为的木棒紧靠着矩形框（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动1周，则木棒的中点P的运动轨迹所围成的图形的面积为 ． 18．如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 三、解答题（10小题，共76分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 21．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是______ (2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明． 23．年月日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的是（单位：分）：，根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是为______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______； (2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 24．某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 26．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 27．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 28．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期中模拟卷01 【考试范围：九上全册内容+九下二次函数】 注意事项： 本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 2．下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键． 由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案． 【详解】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意； ②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意； ③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意； ④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意． 故选：B． 3．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据中位数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了求中位数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据从小到大排列为5、5、6、7、8、8、8， 最中间的一个数为7，所以中位数为7， 故选：C． 4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，进行计算即可得出答案，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为 故选：A． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 6．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 7．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 8．关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 9．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的平移、二次函数与线段的交点问题，由平移的性质可得，，待定系数法求出直线的解析式为，当的图象的左支过点时，将代入解析式得，当的图象的右支过点时，将代入解析式得，最后由的图象与线段只有一个公共点，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段， ，， 设直线的解析式为：， 将，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当的图象的左支过点时，将代入解析式得：， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有两个交点； 当的图象的右支过点时，将代入解析式得， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有一个交点； 的图象与线段只有一个公共点， 的取值范围是， 故选：C． 10．如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】连结， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，根据题意将代入方程求出c的值，再利用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：方程（为常数）的一个解是， ， ， 方程， ， 或， ，， 则另一个解， 故答案为：2． 12．抛物线对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．利用对称轴公式，进行计算即可解答． 【详解】解：由对称轴公式可得： 对称轴是：直线， 故答案为：直线． 13．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 14．关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解． 【详解】解：的两个实数根， ， 解得：， 由题可得：，， ，即， 将，，代入得，即， 解得，， ， ， 故答案为：． 15．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴ 故答案为：． 16．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：过C作轴于点D． 由题意可知， ∵， ∴， 设，则，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得； 故答案为： 17．如图，在矩形金属框中，已知，，现有一根长为的木棒紧靠着矩形框（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动1周，则木棒的中点P的运动轨迹所围成的图形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及矩形的性质．根据题意得出木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧，进而得出扇形面积，即可得出阴影部分面积． 【详解】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出P到B点距离始终为1， 则木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧， 故所围成的图形的面积为： 矩形面积个扇形面积． 故答案为：． 18．如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（10小题，共76分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可求解； （2）运用因式分解法求一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或， ∴，． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系， （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）方程有实数根， ， ， 即； （2）为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 21．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 22．为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是______ (2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算公式和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接根据概率公式进行计算即可． （2）先根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：恰好抽中“论语”的概率是：． 故答案为：． （2）解：根据题意画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有6种， 小明和小红都没有抽到“三字经”的概率为：． 23．年月日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的是（单位：分）：，根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是为______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______； (2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，频数分布表等知识 （1）根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可； （2）将甲的成绩与中位数比较可得结果． 【详解】（1）解：由表格可得：； 中位数在 成绩在这一组的是（单位：分）：， 这次测试中，成绩中的中位数是第、个数据的平均数， ∴中位数为（分）， 成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：，； （2）解：不正确，理由如下： 甲的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数比较， ∵甲的成绩分低于中位数， ∴甲的成绩低于一半学生的成绩． 24．某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 【答案】(1) (2)当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元 (3)且x为整数 【分析】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值． （1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可； （2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可； （3）令，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解∶由题意可得，， y与x之间的函数解析式是； （2）解∶设当该商品每件的售价上涨 x元时，销售该商品每星期获得的利润为w元． 由题意可得∶ ，且x为整数 当或8时，w取得最大值3060，此时或58． 答∶当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元． （3）解∶由题意得： 解得， 当或10时，此时或60, 售价不超过58元, 且x为整数． 25．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 【答案】(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式： （1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当，y的取值范围是， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴， 解得或（舍去）． 26．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 27．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)1， (2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切 (3)或 【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：； （2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可； （3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； 如图1，过作于， 中， ，， ， 故答案为：1，； （2）如图2，过作于， 同理（1）得：， 当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为6，半圆的半径为6， 且圆心又在直线上， 与重合， 即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了，所求运动时间； 如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于， 在中，，则， 即与半圆所在的圆相切，此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图2， 重叠部分的面积； ②当半圆与相切于时，如图4，连接， ， 与重合，与重合， ， ， ， 过作于， ， ， 由勾股定理得：， ， 此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键． 28．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$