精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A B. C. D. 2. 以下运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点，则下列各点中在上的是（ ） A B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 5. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ） A. 255 B. 127 C. 126 D. 63 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线交于点O，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过A作于点F．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式． ①当时，代数式值为4048； ②当时，若，则x的取值范围是或； ③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能． 以上说法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则_____． 12. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是______． 13. 重庆因其魔幻建筑，被网友称为“8D魔幻城市”，小南与小开打算来重庆旅游，他们将分别在A、B、C、D四家旅行社中随机选择一家，小南与小开选择同一家旅行社的概率为_______． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 15. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为______． 17. 如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则_______，点到的距离为_______． 18. 如果一个四位正整数各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在菱形中． （1）尺规作图：作的角平分线交于点E，并在线段上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：平分． 证明：∵菱形 ∴__________ ∴ 在和中 ∵，， ______ ∴ ∴__________ ∵平分 ∴ ∵ ∴__________ ∴平分． 23. 北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．） 七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 30 八年级 92 a 95 26.8 八年级选取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息回答下列问题： （1）______，_______，______． （2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由． （3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（）的学生共有多少人？ 24. 巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的． （1）请问大，小款单价各多少元？ （2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值． 25. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； （2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 27. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． （1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； （3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中只有是分式， 故选：D． 2. 以下运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，一个平面图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C的图形能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 故选C． 3. 反比例函数的图象经过点，则下列各点中在上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算k值相等即可判断该点在此函数图象上. 【详解】解：k＝3×（﹣2）＝﹣6 A、2×3=6，该点不在反比例函数的图象上； B、2 ×（-3）=﹣6，该点在反比例函数的图象上； C、 ×3=，该点不在反比例函数的图象上， D、-2×(-3)= 6，该点不在反比例函数的图象上， 故选：B. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确计算k值即可判断. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意； 故选D． 5. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ） A. 255 B. 127 C. 126 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，推出第个图形有个正方形，进而求出图⑥中正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知，第①个图形有个正方形， 第②个图形有个正方形， 第③个图形有个正方形， ∴第个图形有个正方形， ∴图⑥中正方形的个数为个正方形， 故选：B． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 7. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据的近似值计算的值，即得答案． 【详解】 ， ， ， ， ． 故选B． 8. 在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 9. 如图，正方形的对角线交于点O，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过A作于点F．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四点共圆的知识，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．连接，作于点G，求得，推出四点共圆，得到，再求得，，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：记交于点H，连接，作于点G， ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴等边三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵等边三角形，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为4048； ②当时，若，则x的取值范围是或； ③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能． 以上说法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，整式的加减运算，求一元一次不等式的解集：当时，得到，将变形后，整体代入法求值，判断①；将代入，得到，分两种情况讨论求解，判断②；把代入，求得整式所有项的系数和为，根据p、q为自然数，系数和不超过10，进行求解，判断③． 【详解】解：当时，， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ， ∵， ∴， 当，即：时，，解得：， ∴； 当，即：时，，解得：， ∴， 综上：x的取值范围是或；故②正确； 当时，， ∴ ∴， ∵p、q为自然数， ∴，，，，，，，，，，，， ∴，共7组，故③错误； 故选C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 12. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】根据题意，得 （n-2）•180=1260， 解得：n=9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了多边形内角和以及多边形内角和外角的关系，解题的关键是熟练掌握多边形内角和以及多边形内角和外角的关系． 13. 重庆因其魔幻建筑，被网友称为“8D魔幻城市”，小南与小开打算来重庆旅游，他们将分别在A、B、C、D四家旅行社中随机选择一家，小南与小开选择同一家旅行社的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中小南与小开选择同一家旅行社的情况有4种， ∴； 故答案为： 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，根据根的定义，得到，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 15. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数的值，分别求出不等式组的解集和分式方程的解，根据题意，求出符合题意的的值，再进行计算即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， 解，得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，且， ∴且， ∴且，且为整数， ∴， ∴符合条件的所有整数m的和为； 故答案为：2． 17. 如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则_______，点到的距离为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 18. 如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______． 【答案】 ①. 38 ②. 2488 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的加减运算，二元一次方程的解，根据“清活数”的值求出的值，再根据的定义求出的值即可，设“清活数”的千位数为，百位数为，根据“清活数”的定义表示出数字，进而表示出，根据能被12整除，求出满足题意的的值，进一步求解即可． 【详解】解：∵为“清活数” ∴，， ∴； 设“清活数”的千位数为，百位数为，则：十位数字为，个位数字为，， ∴， 当最大时，，，则一定能被12整除， ∴当时，此时最大，为， 当最小时，，， ∵能被12整除，且,四位正整数的各数位上的数字互不相同， ∴， ∴最小，为， ∴满足条件的N的最大值与最小值的平均数为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解： （1）提公因式法因式分解即可； （2）平方差公式法因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程： （1）配方法解方程即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解：去分母，得：， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为：． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对分式进行化简，然后将代入求值即可． 详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值， 解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键． 22. 如图，在菱形中． （1）尺规作图：作的角平分线交于点E，并在线段上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：平分． 证明：∵菱形 ∴__________ ∴ 在和中 ∵，， ______ ∴ ∴__________ ∵平分 ∴ ∵ ∴__________ ∴平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作线段，菱形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作角平分线，作线段的方法，作图即可； （2）根据菱形的性质，证明，推出，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵菱形 ∴ ∴ 在和中 ∵，， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴平分． 23. 北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．） 七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 30 八年级 92 a 95 26.8 八年级选取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息回答下列问题： （1）______，_______，______． （2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由． （3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1），，40 （2）八年级学生的成绩更好； （3）估计成绩优秀（）的学生约有1200人． 【解析】 【分析】本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图． （1）根据中位数和众数的概念可求得a和b的值，求出八年级学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得的值即可； （2）根据中位数和众数以及方差的意义求解即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：八年级A组1人，B组1人，在C组中的数据是91，91，93，94， ∴； 七年级10名学生的成绩中，93出现4次，出现次数最多， ∴； 八年级C组占比为， ∴， 则； 故答案为：，，40； 【小问2详解】 解：两个年级的平均成绩相同， 但八年级10名学生的成绩中，中位数、众数均高于七年级的， 且八年级的方差小于七年级的， ∴八年级学生的成绩更好； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， ∴估计成绩优秀（）的学生约有1200人． 24. 巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的． （1）请问大，小款单价各多少元？ （2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值． 【答案】（1）大，小款单价各为元和元 （2）m的值为 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用， （1）设小款单价元，则大款单价元，根据“各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的”列分式方程解题即可； （2）根据“费用单价数量，总费用大款费用小款费用”列方程解题即可． 【小问1详解】 解：设小款单价元，则大款单价元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴大款单价为元， 答：大，小款单价各为元和元． 【小问2详解】 解：， 解得：（舍去），， 答：m的值为． 25. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； （2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，画一次函数的解析式，图象法求不等式的解集： （1）分，两种情况，根据三角形的面积公式，进行求解即可； （2）画出一次函数的解析式，根据图象写出一条性质即可； （3）先求出时的自变量的值，图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：过点作，则由题意得：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点在上的运动时间为，在上的运动时间为， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发， ∴点在上的运动时间为， ∴当时，，； 当时，此时点与点重合，过点作于F，， ∵， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出的图象如图所示： 由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：当时， ①时，解得：； ②时，解得：， 由图象可知，当时，或； 故答案为：或． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； 【小问3详解】 当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 27. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． （1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； （3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度和差，勾股定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$