精品解析：湖南省长沙市北雅中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题

2024年下学期长沙市北雅中学八年级入学练习数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.618123 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根与算术平方根都是1 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 3. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知，则的值分别是（ ） A. 1， B. 1， C. D. 6. 为了解某校800名九年级学生的睡眠时间，从12个班级中抽取60名学生进行调查，下列说法错误的是（ ） A. 800名九年级学生的睡眠时间是总体 B. 60是样本容量 C. 12个班级是抽取的一个样本 D. 每名九年级学生的睡眠时间是个体 7. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A B. C. D. 8. 若则代数式的值为（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 9. 若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. 12 B. 6 C. —14 D. —15 10. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，⑦，其中结论正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 若和的立方根互为相反数，则a＝______． 12. 估计大小关系： _____（填或）． 13. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 14. 如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 15. 某品牌西装进价是1000元，标价是1500元，某商场要以利润率不低于的价格销售，问售货员至少打______折出售此商品． 16. 如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为______． 三、解答题（共9小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题9分，第24～25题每题10分，共72分） 17. 计算：； 18. 解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集 19. （1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； （2）实数在数轴上位置如图所示，化简：． 20. 某中学七年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，了解他们对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况.将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______%，______%，“常常”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 21. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）存在点，当平行于轴时，求点的坐标： （2）当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 22. 为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？ 23. 如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求的度数： （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 24. 解决含有绝对值符号问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． （1）请用以上方法解不等式关于的不等式：； （2）已知关于二元一次方程组的解满足，求整数的和； （3）已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 25. 在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足． （1）若，求B，C两点坐标； （2）当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围； （3）如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期长沙市北雅中学八年级入学练习数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.618123 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】A. 0.618123是有限小数，是有理数； B. 是分数，是有理数； C. ，开方开不尽，是无理数； D. ，是整数，是有理数； 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根与算术平方根都是1 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题．分别对各选项进行计算即可． 【详解】解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ， 故本选项不符合题意， B、， ， 故本选项不符合题意， C、， ， 故本选项符合题意， D、， ， 故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴， ∴， ∴点B在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征． 5. 已知，则的值分别是（ ） A. 1， B. 1， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 故选：D． 6. 为了解某校800名九年级学生的睡眠时间，从12个班级中抽取60名学生进行调查，下列说法错误的是（ ） A. 800名九年级学生的睡眠时间是总体 B. 60是样本容量 C. 12个班级是抽取的一个样本 D. 每名九年级学生的睡眠时间是个体 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 800名九年级学生的睡眠时间是总体，该选项说法正确，不符合题意； B. 60是样本容量，该选项说法正确，不符合题意； C. 60名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，该选项说法错误，符合题意； D. 每名九年级学生的睡眠时间是个体，该选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 7. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，， 根据，不一定能得到，例如，满足，但是， 故选：A． 8. 若则代数式的值为（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 9. 若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. 12 B. 6 C. —14 D. —15 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 10. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，⑦，其中结论正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：B 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 若和的立方根互为相反数，则a＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的性质，若，则；反之，若，则也成立，熟练掌握立方根性质是解决本题的关键； 【详解】解：由题意知： 解得： 故答案为： 12. 估计大小关系： _____（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小 于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 【答案】20 【解析】 【分析】首先根据多边形外角和求出小明第一次回到出发地A点时需要转弯多少次，然后用次数乘以2即可得出答案． 【详解】， （米） ∴他第一次回到出发地A点时，一共走了20米， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查多边形外角和的应用，掌握多边形外角和为360°是关键． 14. 如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 【答案】##32度 【解析】 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 15. 某品牌西装进价是1000元，标价是1500元，某商场要以利润率不低于的价格销售，问售货员至少打______折出售此商品． 【答案】七 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． 把商品原价看作单位“1”，以利润率不低于的售价出售，则售价是进价的，先依据分数乘法意义，求出最低的出售单价，再用最低单价除以标价即可列式解答． 【详解】解： ． 以标价的出售就是打七折 答：最低可以打七折出售此商品． 故答案为：七． 16. 如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键． 如图，连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题9分，第24～25题每题10分，共72分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 19. （1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，根据立方根的定义得到，则，据此求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）先由数轴得到，据此计算立方根，算术平方根和绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，立方根的概念，求算术平方根，实数的性质，实数与数轴等等，熟知相关知识是解题的关键． 20. 某中学七年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，了解他们对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况.将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______%，______%，“常常”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图， （1）用“有时”的人数除以其所占百分比即可求得样本容量；用“很少”的人数除以样本容量即可求得a，用“总是”的人数除以样本容量即可得求得b； （2）由（1）得，该调查的样本容量为，用样本容量减去“很少”、有时”、“总是”的人数即可得； （3）用乘“常常”和“总是”的和即可得； 掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：此次调查人数：， 即该调查的样本容量为：； a：； b：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由（1）得，该调查的样本容量为， 则常常的人数为：， 补全的条形统计图如下： 【小问3详解】 解：， 答：其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有名． 21. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）存在点，当平行于轴时，求点的坐标： （2）当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系；掌握点在坐标系中的特点是关键． （1）根据平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相同可求得m的值，从而求解； （2）根据点M在x轴上方，则纵坐标为正数，得m的取值范围，再由距离关系列方程即可求得m的值，从而求解． 【小问1详解】 解：∵平行于轴， ∴， 解得：， 则， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在轴上方， ∴； 即； ∴点M到轴的距离是，点M到轴距离是； ∵点M到轴的距离是到轴距离的两倍， ∴， 解得：或， ∴或 22. 为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？ 【答案】（1）甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元； （2）一共有3种选购方案，乙种模型选购20套时，总费用最少． 【解析】 【分析】本题考查是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系建立方程与不等式组是解本题的关键． （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，结合3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元，再列方程组即可； （2）设乙种模型数量为m，则乙种模型数量为，结合计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，列不等式组，进而即可求解． 【小问1详解】 解：解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则： ， 解得：． 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元． 【小问2详解】 设乙种模型数量为m，则甲种模型数量为，由题意可得： ， 解得：， ∴， ∵m为整数， ∴一共有3种选购方案， 设总费用为W元， ， ∴当m越小，总费用越少，即当套时，总费用越少， 答：乙种模型选购20套时，总费用最少． 23. 如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求的度数： （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答； （2）同（1）思路即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 24. 解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． （1）请用以上方法解不等式关于的不等式：； （2）已知关于的二元一次方程组的解满足，求整数的和； （3）已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】（1）或 （2） （3）或， 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式与二元一次方程组． （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可得到m的取值范围，进而即可解答； （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果． 【小问1详解】 解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 【小问2详解】 解： 得， ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为整数， ∴，，，，1， 它们的和为． 【小问3详解】 解： ， 得，， ∴， ∴， ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴，， ∴或，． 25. 在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足． （1）若，求B，C两点的坐标； （2）当实数a变化时，判断面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围； （3）如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）的面积不变，值为． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入方程组求解即可； （2）根据方程组确定，，，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，得出，然后结合图象求三角形面积即可； （3）连接，根据题意得出，再由线段的数量关系得出，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，利用三角形面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，代入方程组得： ， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 的面积不变，值为． 由，得 ∴，， 如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H， ∴， ∴ 小问3详解】 连接， ∵，， 又∵线段与y轴相交于点E ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，则有 ∴，解得 ∴． 【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，坐标与图形，不等式的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$