专题突破6：利用空间向量法求空间角（9大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破6：利用空间向量法求空间角 1：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 2：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. 3：平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 题型一 求异面直线所成角及最值 【例1】在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, ∴, 故选：. 【变式1-1】如图四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：A． 【变式1-2】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 【变式1-3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接. 由题得，所以是等边三角形，所以. 因为平面，所以.以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设. 则. 由题得, . 设. 所以. 设异面直线与所成角为， 则. 当时，最大为，此时最小，最小值为. 故选：C 【变式1-4】已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点在射线上，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接AC、BD交于O，连接PO. 因为F，G分别是BC，PC的中点，所以， 则AE与FG所成的角即是AE与PB所成的角，设AE与PB所成的角为θ. 由题意知，OA，OB，OP两两互相垂直， 分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由得， 所以，， 所以. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时也取得最大值. 故选：C. 题型二 根据异面直线所成角求参数 【例2】如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 【答案】 【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系： 则设， 则，设直线与所成角为 所以，即， 解得或（舍去），所以， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，． 因为底面为矩形，所以． 所以DP，DC，DA两两互相垂直． 以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以，． 因为， 所以，则． 设直线MN与BD所成角为，则． 因为，则， 化简得，即，解得或（舍去）． 故选：B 【变式2-2】已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围. 【详解】设是的中点，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设；设， 则， 设与所成角为，则， ， 整理得， 函数的开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型三 求直线与平面所成角 【例3】在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为，所以， 故选：B. 【变式3-1】在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以， 所以，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 【变式3-2】如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由全等三角形的判断方法和线面垂直的判定定理可得平而，进而可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）由都是等边三角形，， 可得. 取的中点为，则， 又，所以， 所以，即， 又平而，故平而. 因为，所以. 因为平面，平面， 所以，又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以，则. （2）由（1）知， 设平面的法向量为， 则即 取，则，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式3-3】已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线线平行关系，先证平面，平面，从而可得面面平行； （2）以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】（1）分别为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以， 而平面平面，所以平面， 连接交于，连接OE，显然是的中点，因为为AB的中点， 所以，而平面，OE平面，所以平面， 又平面平面，所以平面平面 （2）因为为正三角形，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，所以平面平面， 而平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，， 所以侧面是矩形，分别为的中点， 以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的一个法向量为， 即，取，解得， 设直线与平面所成角为， 所以. 题型四 求直线与平面所成角的最值问题 【例4】在直三棱柱中，，，点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别取中点,则,即平面, 连接,因为,所以, 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知,,,,, 则, 因为， ， ， 易知平面的一个法向量是， 设直线AP与平面所成角为，则， ， 所以时，，即的最大值是． 故选：B． 【变式4-1】如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.    (1)当时，证明：平面； (2)当点在什么位置时，直线和平面所成角的正弦值最大. 【答案】(1)证明见解析； (2)点在距离点处 【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则， 又底面圆，底面圆，所以， 在中，，所以， 因为是正三角形，所以， ，， 所以，， 同理可证， 又，，平面，所以平面. （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.    设，（），所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 设直线和平面所成的角为， 则 ， 当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大， 故点在距离点处. 【变式4-2】如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点为棱的中点，， 所以A,B,C三点共圆，且AC为直径， 所以. 因为平面，平面， 所以. 又因为，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2）设， 以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，    则. 所以，，， 设平面的法向量为， 所以 令， 则，. 所以. 所以 （当且仅当，即时，等号成立）. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 【变式4-3】如图，已知圆柱，A在圆上，，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角余弦的最小值是______． 【答案】 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 不妨取，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即直线与平面所成角正弦的最大值是， 所以直线与平面所成角余弦的最小值是. 故答案为：. 题型五 已知线面角求其他参数 【例5】筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．      (1)求到平面的距离； (2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在；或 【详解】（1）因为， 所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴， 所以垂直平分，所以． 平面平面 所以平面． 所以到平面的距离． （2）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 过作平面，所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系      由（1）得平面平面，因为 所以． 设 设平面的法向量 所以 令，则 所以平面的一个法向量 设直线与平面所成角为 ． 所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或． 【变式5-1】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故，    在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，所以； （2）由（1）知，，， ，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 因为，平面AEB平面BCE，且， 所以点在平面的射影为中点，故，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以为平面的一个法向量． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以为中点，所以. 【变式5-2】如图，且，，且，且.平面，.    (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面，，平面，所以，. 因为，所以，，两两垂直，以为原点， 分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），    则，，，，，，. 得，，. 设为平面的法向量，则， 令，则； 设为平面的法向量，则， 令，则， 所以. 所以平面与平面的夹角的正弦为. （2）设线段的长为，则，. 因为，，平面， 所以平面，为平面的一个法向量， 所以，由题意，可得，解得. 所以线段的长为. 题型六 求平面与平面所成角 【例6】如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接、，利用等腰三角形性质及线面垂直判定定理得平面，利用等边三角形的性质及线面垂直判定定理得平面，进而证得平面，即可利用线面垂直的定义可得证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接、， 为的中点，，， ，， 又因为，平面，因此平面， 又是三棱柱，是平行四边形， ，， 、均为等边三角形，，则，， ， ，平面，平面， 平面，， ，在中，，，，又， ，即， 又平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由于是的中点，得，又由可得， ，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 则， ， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【变式6-1】如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由已知证出两两相互垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，即可得证； （2）根据（1）再求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）证明：由，，，可得， ， 在直四棱柱中， 平面， 平面， 平面， 所以，， 所以两两相互垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 又平面，所以为平面的一个法向量， 又，即，所以平面平面． （2）由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【变式6-2】如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 设平面的法向量， ∵，则， 令，则， ∴， 同理可得：平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，则， 故平面与平面所成角的正弦值. 故选：B. 【变式6-3】如图所示，已知点为菱形所在平面外一点，且平面，，点为中点，则平面与平面夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝， ∴且为平面BDF的一个法向量. 由，， 可得平面BCF的一个法向量为 .故选：D 题型七 求二面角 【例7】在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【变式7-1】在四棱锥中，平面，四边形是矩形， ，是线段的中点，是线段上一点，且垂直． (1)确定点 的位置； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)是的中点 (2) 【分析】（1）由题意可知两两垂直，所以以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 设，所以，，， 设，则，， 因为， 所以，得， 所以F是BC的中点； （2）由（1）知，，． 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，则，，所以． 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以． 所以． 由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 【变式7-2】如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，，将线线垂直转换为线面垂直，即平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先证明平面ABC，再建立空间直角坐标系求出各点的坐标，求出二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式即可得出结果. 【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，，因为M为AC的中点，所以， 又，所以， 因为，所以，所以M，N，，四点共面， 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以. （2）因为平面，所以， 又，，所以， 因为，，所以在中，，则， 由平面，可得.因为，所以平面ABC， 以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以经过点且垂直于方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则由，可得， 令，得， 由题可知，平面的一个法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【变式7-3】如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则由三角形的中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理得∥平面，由四边形为矩形结合线面平行的判定定理得∥平面，则平面∥平面，从而可证得结论； （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为四边形为矩形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面； （2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 【变式7-4】如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________. 【答案】/ 【详解】设，则平面平面， 由重心的性质可得， 因为底面，，设， ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 设平面，的法向量为， 则， ， 所以，由图可知， 二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为， 正弦值为. 故答案为： 题型八 求平面与平面所成角（二面角）的最值问题 【例8】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）中，E为PB的中点，所以. 在正方形ABCD中，. 因为平面ABCD，平面ABCD，即. 又因为，平面PAB，所以平面PAB. 平面PAB，即，又因为，，平面PBC. 所以平面PBC，平面AEF， 即平面平面PBC. （2）因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直. 以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    有，，，，， PB中点，设，. ，，，. 设平面PCD的法向量，由， 得，取. 设平面的法向量，由， 得，取. 所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为. 令，， 则， 所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值， 此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值. 【变式8-1】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点..    (1)证明：； (2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，点为靠近的的四等分点 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则    ，，，，，，，，设， 所以，， 因为， 所以，即. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面DEF所成的二面角为， 则， 当时，取最小值为，此时取得最大值， 所以， 所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点. 【变式8-2】如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.    (1)证明：平面平面； (2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可知，又，故（三线合一）， 又平面，平面，故， 又，平面，故平面， 又平面，故平面平面 （2）   在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于， 则， 以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设，则，，，. 设平面的法向量，由，即， 则是其中一条法向量； 设平面的法向量，由，即， 则是其中一条法向量. 设平面与平面夹角为，则， 当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为. 题型九 已知平面与平面所成角（二面角）求其他参数 【例9】如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.    (1)当为的中点时，求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，点在的四分之一等分点处 【详解】（1）由已知，平面，为等边三角形， 以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，， 作轴，，， 则， 则， 而 ∴ ∴ 由菱形性质知 ∵平面，平面， ∴平面； （2）由(1)，， 为平面的一个法向量， 设，，则 所以， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 解得：或（均符合题意） 所以存在一点，当或，即点位于四分之一等分点处时使平面与平面所成角的余弦值为. 【变式9-1】如图，在四棱锥中，，，是棱上一点．    (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面； (3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接BD交AC于点，连接OM， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为平面平面MAC， 所以平面MAC.    （2）因为平面平面，平面平面平面ABCD， 所以平面， 因为平面PAD，所以． 同理可证：． 因为平面平面， 所以平面ABCD． （3）分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    由， 得， 则， 由（2）得：平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为. 设，即， 所以， 设平面AMC的法向量为， 则，即， 令，则，所以． 因为二面角的余弦值为， 所以，解得， 所以的值为． 【变式9-2】如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点.    (1)求证：； (2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为靠近的三等分点 【详解】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形， 因为，所以， 因为，所以，所以，即， 又因为平面，平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：如图所示，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系， 由（1）知， 故， 故 假设在棱上存在一点满足题意，设. 所以 设平面的法向量为，则 ，易令，可得，所以 又由平面的一个法向量为 设二面角为，可知二面角为锐二面角 则， 整理得，即，解得或（舍去）， 所以，存在点为靠近的三等分点.    【变式9-3】如图，已知多面体中，底面，，，其中底面由以为直径的半圆及正三角形组成    (1)若，求证:平面. (2)半圆上是否存在点，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在， 【详解】（1）由题意可得：，则， 且为锐角，则， 因为三角形ABD为正三角形，则， 可得，即， 所以//， 平面ADE，平面ADE， 可得BC∥平面ADE. （2）如图，以的中点为坐标原点，为x轴，的中垂线为y轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 设，平面的法向量， 因为，则， 令，则，即， 若二面角是直二面角，则， 整理得， 联立方程，解得或， 因为，则，可得，即 所以， 可得当时，二面角是直二面角.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破6：利用空间向量法求空间角 1：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 2：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. 3：平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 题型一 求异面直线所成角及最值 【例1】在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点在射线上，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二 根据异面直线所成角求参数 【例2】如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 . 题型三 求直线与平面所成角 【例3】在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【变式3-2】如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式3-3】已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 题型四 求直线与平面所成角的最值问题 【例4】在直三棱柱中，，，点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.    (1)当时，证明：平面； (2)当点在什么位置时，直线和平面所成角的正弦值最大. 【变式4-2】如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【变式4-3】如图，已知圆柱，A在圆上，，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角余弦的最小值是______． 题型五 已知线面角求其他参数 【例5】筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．      (1)求到平面的距离； (2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【变式5-2】如图，且，，且，且.平面，.    (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 题型六 求平面与平面所成角 【例6】如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【变式6-1】如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【变式6-2】如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图所示，已知点为菱形所在平面外一点，且平面，，点为中点，则平面与平面夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 题型七 求二面角 【例7】在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【变式7-1】在四棱锥中，平面，四边形是矩形， ，是线段的中点，是线段上一点，且垂直． (1)确定点 的位置； (2)求二面角的余弦值． 【变式7-2】如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【变式7-3】如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【变式7-4】如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________. 题型八 求平面与平面所成角（二面角）的最值问题 【例8】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的最小值. 【变式8-1】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点..    (1)证明：； (2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置. 【变式8-2】如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.    (1)证明：平面平面； (2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值. 题型九 已知平面与平面所成角（二面角）求其他参数 【例9】如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.    (1)当为的中点时，求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由. 【变式9-1】如图，在四棱锥中，，，是棱上一点．    (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面； (3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值． 【变式9-2】如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点.    (1)求证：； (2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由. 【变式9-3】如图，已知多面体中，底面，，，其中底面由以为直径的半圆及正三角形组成    (1)若，求证:平面. (2)半圆上是否存在点，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$