专题突破5：线面位置关系的证明（几何法+空间向量法）（3大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破5：线面位置关系的证明（几何法+空间向量法） 1.线面位置关系的判定定理和性质定理 （1） 线面平行 ① 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ② 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. （2）面面平行 ① 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. ② 性质 (面面平行线面平行) (面面平行线线平行) 夹在两个平行平面间的平行线段相等. （3）线面垂直 ① 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ② 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 （4）面面垂直 ① 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ② 性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 2.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 3.判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 4.判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 题型一 非向量法证明线面位置关系 【例1】如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，点F在棱PA上． (1)求证：PA∥平面CDE； (2)求证：平面PAB∥平面CDE； (3)求证：BF⊥AD． 【变式1-1】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点． (1)求证：平面PAB∥平面EFG； (2)证明：平面EFG⊥平面PAD． 【变式1-2】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：CE∥平面PAB； (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由． 题型二 空间向量法证线线、线面、面面平行 【例2】已知正方体的棱长为，分别是的中点，求证： (1) 平面；(2)平面平面． 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【变式2-2】在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中是上一点，且面，为的中点，求证：面面. 【变式2-3】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接 CD1，EM，MN，EN，NF，EF． (1)证明：D1C∥平面EMN； (2)证明：E，F，N，M四点共面． 【变式2-4】如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 题型三 空间向量法证线线、线面、面面垂直 【例3】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【变式3-1】在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，， ，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论． 【变式3-2】【多选】如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（    ）    A．至多与之一垂直 B． C．与相交 D．与平行 【变式3-3】在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，当 时，平面． 【变式3-4】如图，在多面体中，四边形是正方形， ，且，二面角是直二面角．    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式3-5】如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 【变式3-6】如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破5：线面位置关系的证明（几何法+空间向量法） 1.线面位置关系的判定定理和性质定理 （1） 线面平行 ① 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ② 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. （2）面面平行 ① 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. ② 性质 (面面平行线面平行) (面面平行线线平行) 夹在两个平行平面间的平行线段相等. （3）线面垂直 ① 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ② 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 （4）面面垂直 ① 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ② 性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 2.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 3.判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 4.判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 题型一 非向量法证明线面位置关系 【例1】如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，点F在棱PA上． (1)求证：PA∥平面CDE； (2)求证：平面PAB∥平面CDE； (3)求证：BF⊥AD． 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以PA∥DE， 而PA⊈平面CDE，DE⊂平面CDE， 所以PA∥平面CDE； (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，由(1)可得PA∥DE， AB∩PA＝A，DE∩CD＝D， 所以平面PAB∥平面CDE； (3)因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD， 又因为平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD， 所以AD⊥平面PAB， 而BF⊂平面PAB， 可证得：AD⊥BF． 即BF⊥AD． 【变式1-1】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点． (1)求证：平面PAB∥平面EFG； (2)证明：平面EFG⊥平面PAD． 解析 证明：(1)因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD， 又因为ABCD为正方形，则AB∥CD，所以EF∥AB， 因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB， 因为E，G分别是PC，BC的中点，所以EG∥PB， 因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB， 且EF⋂EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面PAB． (2)因为PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则PD⊥CD， 又因为ABCD是正方形，则CD⊥AD， 且AD⋂PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD， 又因为EF∥CD，所以EF⊥平面PAD， 且EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD． 【变式1-2】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：CE∥平面PAB； (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由． 答案 (1)略；(2) 存在 解析 (1)证明：如下图，设F为AP中点，连接EF、BF， 因为E是PD的中点，F为AP中点，所以EF∥AD且， 因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD， 所以BC∥AD，且， 所以EF∥BC，且EF＝BC，可得四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF， 因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB； (2)取AD中点N，连接CN、EN， ∵E，N分别为PD，AD的中点，∴EN∥PA， ∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB， 线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB，理由如下： 由(1)知：CE∥平面PAB，又CE⋂EN＝E， ∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN， ∴MN∥平面PAB， ∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB． 题型二 空间向量法证线线、线面、面面平行 【例2】已知正方体的棱长为，分别是的中点，求证： (1) 平面；(2)平面平面． 【证明】如图所示建立空间直角坐标系， 则有，， 所以． (1)设是平面的法向量，则， 即，令， 所以因为，所以， 又因为平面， 即平面． (2)因为，设是平面的一个法向量． 由，，得． 令，所以， 所以，所以平面平面． 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【解析】证明：在直三棱柱中， 是的中点， 又为的中点 四边形是平行四边形， ， 平面平面， ∥平面． 在直线上找一点，使得∥平面，证明如下： 在直三棱柱中， 又两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设， 在线段上，设，则， 则， )，(， 设平面的法向量， 则，取，得， ∥平面， ，解得， 在直线上存在一点，且，使得∥平面． 【点拨】 ① 第一问利用线面平行判定定理易证明； ② 题中线段没有给到具体值，可作假设，便于建系后确定点坐标，同时减少计算量，直棱柱的高与长度没联系，所有只能设. 【变式2-2】在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中是上一点，且面，为的中点，求证：面面. 【证明】 以点为原点，如图建立坐标系， 设，，，则，， ， 设，，， 设面的法向量为， 则且， 取，则，，则， 又面， ，解得， ， 设面的法向量为，则且， 取，则，则， ， ， ∴面面. 【变式2-3】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接 CD1，EM，MN，EN，NF，EF． (1)证明：D1C∥平面EMN； (2)证明：E，F，N，M四点共面． 解析 根据题意，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图建立空间直角坐标系： 则D(0，0，0)，A(2a，0，0)，C(0，2b，0)，B(2a，2b，0)， D1(0，0，2c)，A1(2a，0，2c)，C1(0，2b，2c)，B1(2a，2b，2c)， 则M(2a，b，0)，N(a，2b，0)，E(2a，0，c)，F(0，b，2c) (1)证明：， 则有，故D1C∥ME， 则有D1C∥平面EMN； (2)证明：， 则有，则向量共面， 必有E，F，N，M四点共面． 【变式2-4】如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 答案 (1) 略；(2) 在直线上存在一点，且，使得∥平面． 解析 (1)证明：在直三棱柱中， ，是的中点， 又为的中点 ， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， ∥平面． (2)在直线上找一点，使得∥平面，证明如下： 在直三棱柱中， 又，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 在线段上，设，，则， 则，，，，，， )，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面， ，解得， 在直线上存在一点，且，使得∥平面． 题型三 空间向量法证线线、线面、面面垂直 【例3】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直. 【详解】证明：取的中点，连接，    在正三棱柱中，不妨设; 以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,， ； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即； 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，即. 因为，所以平面平面； 【变式3-1】在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，， ，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论． 解析 (1)证明：，∠， 在中，由余弦定理可得， ，． ． 又，， 平面FBC． (2)线段上不存在点，使平面平面． 证明如下： 因为平面，所以． 因为，所以平面． 所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系． 在等腰梯形中，可得． 设，所以，． 所以，． 设平面的法向量为，则， 所以，取，得． 假设线段上存在点，设，所以． 设平面的法向量为，则 所以取，得． 要使平面平面，只需， 即 ，此方程无解． 所以线段上不存在点，使平面平面． 【变式3-2】【多选】如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（    ）    A．至多与之一垂直 B． C．与相交 D．与平行 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系．    设正方体的棱长为3，则； ， ， ，B正确，A错误； 由，故D正确，C错误． 故选：BD. 【变式3-3】在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，当 时，平面． 【答案】/ 【分析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，由平面，则，由空间向量数量积的定义代入解方程即可得出答案. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，， 则， ， 若平面，则， 即，解得，所以． 故答案为：. 【变式3-4】如图，在多面体中，四边形是正方形， ，且，二面角是直二面角．    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法，即可证明结论； （2）求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法，即可证明结论； 【详解】（1）证明：由二面角是直二面角，四边形为正方形，则， 平面，平面平面,可得平面ABC. 又因为，所以，所以，即， 所以两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则知点，，，， 由于两两垂直，平面，即平面， 故平面的一个法向量可取为， 而，即，所以平面. （2）证明：由（1）知，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，即， 所以，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式3-5】如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 【解析】(1)证明：，，， 平面， 又平面， 又， 平面 (2)解：如图建系， 则，，，， 设线段上存在点，设点坐标为，则 ， 设平面法向量为 则 假设平面与平面垂直，则， ，， 不存在线段上存在点，使平面与平面垂直 【变式3-6】如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在． 【分析】建立空间直角坐标系， （1）求出，利用可得，再求体积即可； （2）求出坐标，可得答案； （3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）， ， ； （3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$