7.1《黄金螺旋线》（教学设计）-六年级数学上册精品课堂系列（北京版）

第七单元 7.1《黄金螺旋线图》 教学设计 【学习目标】 1.运用对圆和扇形的认识，拼摆绘制黄金螺旋线，借助几何直观探索规律，了解裴波那契数列，能够运用学习的方法解决爬楼梯问题。 2.让学生经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳等能力，培养学生借助几何直观探索规律的能力，积累数学活动经验和数学思想方法。 3.提升学生欣赏数学美的能力，激发学生学习数学的兴趣，感受数学与自然界的联系，感悟数学文化的广袤和久远。 【教学重点】 借助几何直观，经历探索规律的过程，掌握探索规律的方法，了解裴波那契数列，积累数学活动经验和数学思想方法。 【教学难点】 成功画出黄金螺旋线，并在这个过程中发现内在的规律。 【学情分析】 学生对圆和扇形的认识是学习此内容的知识基础。在以前的数学学习中，学生所获得的探索规律的方法、能力以及借助几何直观探究解决问题的经验，是学习此内容的能力基础。通过了解，学生面临一个新的问题，往往没有解决问题的方向，缺少解决问题的方法，学生画图解决问题的意识不强，通过学习，要进一步发展学生探索规律的能力，感受数学的美，帮助学生积累数学活动经验、数学思想方法，为学生今后的数学学习奠定基础。 【核心素养】 《黄金螺旋线》是义务教育教科书北京版教材六年级上册第七单元《数学百花园》的内容。圆和扇形的认识是学生学习本节课的知识基础。通过本节课的学习，将进一步发展学生探索规律的能力，亦帮助学生积累借助几何直观分析问题的数学活动经验和推理的能力，为其今后的数学学习奠定基础。 《黄金螺旋线》这一内容所要探索的规律是“斐波那契数列”。但是认识“斐波那契数列”不是教学重点，教学重点是让学生经历探索规律的过程，通过动手拼摆得到黄金螺旋线，再通过观察直观图推理出扇形半径之间存在的内在规律，最后验证所发现的规律。在探究过程中要注重发展学生的推理能力，同时引导学生感受数学与自然界的联系，欣赏数学美，激发学生学习数学的兴趣。 【教学准备】 教学课件、学习任务单、计数器、方形模块 教学流程 创设情境，新课导入 【设计意图：引导学生观察生活中的图片，初步感知“黄金螺旋线”；同时引导学生通过手势体验，进一步认识黄金螺旋线的起点和方向。】 一、谈话导入 出示三幅图片（鹦鹉螺、旋转楼梯、花） 问题1：请你们仔细观察，这三幅图有什么共同的地方？ 问题2：谁能上来指一指？下面同学和他一起指好吗？ （学生用手势感知黄金螺旋线） 没错，它们都有这样一条优美的曲线。我们称它为黄金螺旋线。（教师板书：黄金螺旋线） 问题3：你们觉得这条曲线的起点在哪？谁能上来指一指？ 从起点开始，由里逐渐向外。（教师课件演示） 今天我们就一起来研究这条曲线。 学习任务一：自主探究，研究规律 【设计意图：学通过用扇形摆、用圆规画、观察图形说半径，从图形中发现扇形的半径大小，借助几何直观帮助学生找到扇形半径的大小，发展学生的观察、分析、推理能力。】 1.摆与画“黄金螺旋线”的图案，感受特点 （1）摆“黄金螺旋线” 这就是黄金螺旋线，你觉得黄金螺旋线与我们学过的什么图形有联系呢？（与我们学过的扇形有联系） 下面就请同学们利用手中的扇形学具拼摆出一条“黄金螺旋线”的图案。指一指哪条线是黄金螺旋线？ （2）绘制“黄金螺旋线” 还可用正方形内画扇形的方法来绘制“黄金螺旋线”。（课件展示） 请同学们在边长1厘米的方格纸中绘制一条“黄金螺旋线”！边画边想一想：每一个扇形的半径是多少？把半径标在图上。 展示学生的作品，说一说在绘制的过程中需要注意什么？ （3）思考：如果没有小方格了，你还能发现每个扇形的半径吗？ 学生汇报，课件演示，教师评价。 学习任务二：借助直观，探索规律。 【设计意图：教师放手让学生自主探究，学生在独立思考、合作交流中，经历了观察、分析、推理、归纳的探索规律的过程，发展了几何直观和推理能力。发现规律后，教师及时引导学生回顾探索规律的过程，从而帮助学生积累数学活动经验，感悟数形结合的数学思想。】 （1）明确问题，进行推理 问题1：观察扇形的弧有什么不同？（弧的长度不一样） 问题2：扇形的圆心角都是90°，为什么弧的长度不一样？（扇形的半径不一样） 问题3：如果继续往下拼，下一个扇形的半径会是多少呢？这些扇形的半径之间是否存在某种规律呢？ 现在我们知道第一个扇形的半径是1厘米，下面以小组为单位，合作探究，并完成学习单。 …… …… （2）汇报交流，发现规律 哪个小组来说一说，你们是怎样推出每个扇形的半径是多少，它们之间存在着怎样的规律？ 预设：通过观察图形得到规律： 扇形一的半径是1厘米，扇形二的半径也是1厘米，通过图发现，这两个扇形半径加起来正好是扇形三的半径，所以扇形三的半径是2厘米。 扇形四的半径：等于扇形三加扇形一（或二）的半径。 扇形五和扇形六的半径，可以请其他同学汇报。 （汇报环节：渗透借助平移推理的方法，同时适时板书每个扇形的半径） 问题1：通过刚才的探究，你们能总结出扇形的半径之间存在的规律吗？ （从第三个扇形开始，每一个扇形等于它前面相邻两个扇形的半径之和。） 同学们通过图推出了每个扇形的半径，而且通过图又能找到这一列数的规律，可见图对我们研究问题非常重要！ 问题2：根据规律，扇形七和扇形八的半径分别是多少？ （学生到黑板前讲解，教师适时出示相应扇形验证。） 应用刚才发现的规律，我们还可以再得出下面多个扇形的半径，当然应用这列数的规律还可以继续画出后面的图形，而且越往后，扇形的半径越大。 学习任务三：回归数学：发现斐波那契数列的数据其他（数学）特性。 【设计意图：通过系列的、逐层深入的问题串，引导学生用数学眼光深入认识数列的其他特性，进一步丰富学生对斐波那契数列的认识。】 提出问题：为什么自然界频繁运用“斐波那契数列”？而且遇到“斐波那契数列”的事物会如此美丽和科学？ 1、认识斐波那契数列中隐含的“黄金比”。 （1）观察数列中相邻的前后2项，你发现了他们是什么数？ （2）算一算：每一项与前一项的比值！ （3）介绍黄金比:当一个物体的两部分之间的比值大致符合0.618时，会给人以最美的感觉。这个神奇的比被称为“黄金比”。 （4）在数轴上观察这些比值与黄金比值，你发现了什么：随着数列项数的增加，前项与后项之比越来越逼近黄金比值0.618。 2、认识斐波那契数列中隐含的整除性。 （1）观察第3项、第6项、第9项、第12项……的数字有什么特点？（能够被 2 整除） （2）观察第4项、第8项、第12项……的数字有什么特点？（能够被 3 整除） （3）猜测其他整除性。（能够被 5 整除） 设计意图：通过系列的、逐层深入的问题串，引导学生用数学眼光深入认识数列的其他特性，进一步丰富学生对斐波那契数列的认识。 学习任务四：达标练习，巩固成果 【设计意图：引领学生回顾探索规律的过程，复习与回顾“多边形内角和”“植树问题”的研究方法，帮助学生沟通知识间、方法间的联系，进而运用这种方法解决问题，把解决问题的方法和探索知识的经验固化为学生的一种能力。】 1. 回顾方法，沟通知识间联系。以前我们利用过这种方法解决问题吗？我们一起来看： （1）多边形的内角和，要想知道100边形的内角和不容易，通过画图我们很容易得到三边形、四边形、五边形、六边形的内角和，从简单中我们发现规律，利用规律就顺利的解决了问题。 （2）植树问题，要想知道1000米共植多少棵树不容易，但通过画图我们很容易得到5米、10米、15米、20米的植树棵数，从简单中我们发现规律，利用规律就顺利的解决了问题。 （3）介绍数学家：华罗庚“复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。” 画图是一种解决问题的好方法。复杂的问题简单化，“列表举例---观察特点---总结规律---运用规律”也是一种解决问题的好方法。 2．解决问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？100级呢？（课件演示） 汇报交流：一级台阶1种走法；二级台阶2种走法；三级3种台阶走法；四级台阶5种走法…… 现在又发现了什么规律？从第三个数起，每个数都是前两个数的和。 按照这个规律可以得到10级台阶的走法数。 3.质疑思考：为什么从第三个数起，每个数都是前两个数的和呢？（以5级台阶为例，如果第一步迈一级台阶，还有4级台阶，对应着5种迈法；如果第一步迈二级台阶，还有3级台阶，对应着3种迈法；所以一共有5+3等于8种迈法。） 你们看，通过数形结合加上推理，证明了我们发现的规律是正确的。 【拓展延伸】 【设计意图：让学生了解“斐波那契数列”、“有趣的兔子问题”、欣赏黄金螺旋线在生活中的运用，让学生感受到数学与自然界的联系，欣赏数学美，激发学生学习数学和应用数学的兴趣。】 这个数列就是著名的斐波那契数列，最早是由意大利数学家“斐波那契”发现的。“黄金螺旋线”也称 “斐波那契螺旋线”。下面我们来认识一下这位伟大的数学家。 介绍数学家：斐波那契是13世纪欧洲最好的数学家。1202年，斐波那契出版了他的著作《算盘书》，书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面的题目：假设一对刚出生的小兔子，一个月后长成大兔子，再过一个月就能生下一对小兔子，并且以后每个月一对大兔子都能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么12个月后会有多少对兔子呢？斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串： 1、1、2、3、5、8……大家都叫它 “斐波那契数列”，又称“兔子数列”。所以“黄金螺旋线”也称“斐波那契螺旋线”，人们根据“斐波那契螺旋线”创造出了许多优美的作品。(课件作品欣赏) 又一次让我们感受到了人类的聪明与智慧，是知识改变了我们的生活，也希望同学们学会更多的知识，运用知识改变我们的世界，让我们的生活变得更加丰富多彩。 【知识总结】 是的， 还有有很多很多，在感叹造物之美的同时，还有哪些没有被发现的规律呢？大自然还有多少惊喜 在等着我们呢？… … 生活中我们只要有一双会观察的眼睛；一个会发现问题、思考问题的大脑；一双会实验、会操作、会解决问题的手，我们就会成为像斐波那契那样的数学家！今天你们的表现就像一个个小小数学家！希望同学们课后多阅读、多探索，你们将会发现更多神奇、有趣的数学知识！ 【作业设计】 1.跟大家分享你这节课你所学的知识。 2.为什么这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和？ 3、写一篇有关学习“斐波拉契数列”的探究日记。 【板书设计】 黄金螺旋线 ——神奇的斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144┈┈ 画图法 化难为易 1 学科网（北京）股份有限公司 $$