精品解析：山东省济南市槐荫区西城实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度第一学期学科素养诊断试题 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是轴对称图形，不符合题意， B选项图形不是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是轴对称图形，符合题意， D选项图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选C. 【点睛】轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2. 下列长度三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．3+5＝8＞7，能组成三角形，符合题意； B．3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意； C．4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意； D．4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 某细菌的直径为毫米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列命题中的真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握定理是解题的关键．利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意； 若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意； 若，满足，则，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意； 故选B． 5. 星期天，小王去朋友家借书，他离家的距离与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小王去时的速度大于回家的速度 B. 小王在朋友家停留了10分钟 C. 小王去时所花的时间少于回家所花的时间 D. 小王去时走上坡路，回家时走下坡路 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案． 【详解】解：小王去时的速度为：2÷20＝0.1千米/分， 回家的速度为：2÷（40−30）＝0.2千米/分， 所以A、C均错．小王在朋友家呆的时间为：30−20＝10，所以B对． 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像，掌握函数图像上点的坐标的意义是关键． 6. 在中，，则此三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例设分别为然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值，再求出最大的角即可得解． 【详解】解：设分别为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键． 7. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、（-a+b）（-a-b）=a2-b2能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B、（a+b）（a-2b）不符合平方差公式，故选项B不符合题意； C、（-a+b）（a-b）=-（a-b）（a-b），不能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D、（-a-b）（a+b）=-（a+b）（a+b），不能用平方差公式，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 8. 如图，，若，则的长度为（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 9. 如图，直线，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出如下图所示的辅助线，然后再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线m∥n∥l1∥l2， 此时有∠3=∠1=40°，∠6=180°-∠2，∠4=∠5， 又∠α=∠3+∠4，∠β=∠5+∠6=∠5+(180°-∠2)， 且∠α=∠β， ∴∠3+∠4=∠5+(180°-∠2)，由于∠4=∠5， ∴∠3=180°-∠2，代入数据： 40°=180°-∠2， ∴∠2=140°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键． 10. 如图，在锐角三角形中，直线l为的中垂线，射线为的角平分线，且直线l与射线相交于点P．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l为的中垂线得，即，根据射线为的角平分线得，即可得，根据三角形内角和定理和进行计算即可得． 【详解】解：∵直线l为的中垂线， ∴， ∴， ∵射线为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了中垂线，角平分线，三角形的内角和，解题的关键是掌握这些知识点． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 12. 如图，是的中线，是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：是的中线，的面积为， ， 是边上的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 13. 有一棵树苗，刚栽下去时树高为1.9米，以后每年长0.3米，则树高y（米）与年数x（年）之间的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的数量关系得出答案． 【详解】解：由题意可知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数关系式，掌握“树的总高度等于原高度与后期所长高度的和”是正确解答的前提． 14. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，根据翻折的性质：，即，再根据，可得． 【详解】解：如图， ∵长方形纸片的边， ∴， 根据翻折的性质：， 即， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的性质，平行线的性质以及翻折的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 15. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接格点A、B．先用勾股定理计算三角形的三边，再根据三边的长判断三角形的形状，最后得到． 【详解】解：连接格点A、B． 由勾股定理得：， ，， ∵ ∴， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为____________________． 【答案】#### 【解析】 【分析】连接，延长交于H，根据得，可得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，延长交于H， ∵线段的垂直平分线交于点O， ∴, ∵， , 在和中，， ， ∴， ∴平分， ∵ ∴， ∴， 在中，, 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算． （1）利用负整数指数幂、零指数幂、乘方等知识计算即可； （2）利用积的乘方、同底数幂的除法等知识进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. 计算：先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和整式乘法计算括号内的，再根据多项式除以单项式法则计算，最后将数值代入计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，掌握整式的计算法则和乘法公式是解题的关键． 19. 如图，、为直角，与相交于点E，，求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【解析】 【分析】只需要利用证明，即可证明． 【详解】证明：，为直角（已知）， （直角定义）， 在利中， ， ． （全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________ 又∵（已知）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∴________ 又∵________（平角的定义） ∴________， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴（________） 【答案】90；；两直线平行，同位角相等；90；180；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质可得，根据平角的定义可得，根据同角的余角相等可得，即可根据平行线的性质证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴， 又∵（平角的定义） ∴， 又∵（已知）， ∴（同角余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，同角的余角相等，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 21. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： （1）在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2），两城相距______千米； 乙车比甲车晚出发______小时，______（填甲车或乙车）先到达城； 乙车出发______小时后追上甲车； 当甲、乙两车相距千米时，______． 【答案】（1）甲车行驶的时间，两车离开城的距离 （2）①；②，乙车；③；④或或或 【解析】 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义、以及两车离开城的距离随着甲车行驶的时间变化而变化即可得； （2）①根据函数图象即可得； ②根据乙车对应的函数图象与轴的交点即可得乙车比甲车晚出发1小时，再根据当时，两车的时间即可得； ③先求出甲、乙两车的速度，再设乙车出发小时后追上甲车，根据乙车追上甲车时，两车行驶的路程相等建立方程，解方程即可得； ④分、、和四种情况，根据甲、乙两车相距千米建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：因为在上述变化过程中，两车离开城的距离随着甲车行驶的时间变化而变化， 所以自变量是甲车行驶的时间，因变量是两车离开城的距离， 故答案为：甲车行驶的时间，两车离开城的距离． 【小问2详解】 解：①由函数图象可知，两城相距千米， 故答案为：； ②由函数图象可知，乙车比甲车晚出发小时，乙车先到达城， 故答案为：，乙车； ③甲车的速度为（千米时），乙车的速度为（千米时）， 设乙车出发小时后追上甲车， 由题意得：， 解得， 即乙车出发小时后追上甲车， 故答案为：； ④当时，则，解得，符合题设， 当时，则，解得，符合题设， 当时，则，解得，符合题设， 当时，则，解得，符合题设， 综上，当甲、乙两车相距千米时，或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，正确从函数图象获取信息是解题关键． 22. 如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积． （2）求出当，时的阴影面积． 【答案】（1）6ab+8a+6-2 （2）105 【解析】 【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）将，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ； 【小问2详解】 解：当，时， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 23. 如图所示，在正方形网格上有一个 ． （1）作 关于直线 的对称图形（不写作法）； （2）在 上找一点 ，使得 最小； （3）若网格上每个小正方形边长为，求 的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，轴对称最短路径问题，三角形的面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作出、、关于直线的对称点、、，再连接即可； （）连接交于，则，即得，根据两点之间线段最短，可知此时最小，故点即为所求； （）利用割补法求面积即可； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：． 24. 如图，已知，点D是BC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 【答案】（1）①证明见解析②证明见解析 （2）当时，总有成立 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． （1）①根据，得到，证明即可． ②在上截取，连接，证明即可得到 ． （2）在上截取，连接，证明即可得到． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴ ∴． ②在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 由①知：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，总有成立．理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴，即：， ∵，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【小问1详解】 证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ； 【小问2详解】 证明：由（1）①同理可证， ，， ； 【小问3详解】 解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 26. 如图，在等边△ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t=3秒时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由． （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值． （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】（1）AP⊥BC，证明见解析 （2）9秒或15秒 （3）秒或秒 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质即可得到结论； (2)根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； (3)根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：当t=3秒时，CP=3×1=3(cm)， ∵在等边△ABC中，AB=6cm， ∴BC=AB=6cm， ∴此时，P为BC的中点， ∴AP为等边△ABC的中线， ∴AP⊥BC； 【小问2详解】 解：∵由题意得：， ∴当P为AB中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为：BC＋BP=6＋3=9(cm)， ∴P点运动时间为：9÷1=9(秒)； 当P为AC中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为：BC＋AB＋AP=6＋6＋3=15(cm)， ∴P点运动的时间为：15÷1=15(秒)， ∴综上，t的值为9秒或15秒； 【小问3详解】 解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为1.5厘米/秒， ∴由题意得：当时，点P在BC上，点Q在AC上， ∴PC＋CQ=t＋1.5t=2.5tcm， ， ∴2.5t=9， 解得：，符合； 当时，点QAB上，点P在BC上， ，， ． ，解得：， ∴不符合，舍去； 当时，P、Q都在AB上，不符合题意； 当时，点Q在BC上，点P在AB上， ∴BP=(t－6)cm，BQ=(1.5t－12)cm， ，， 解得：，符合， ∴综上，符合条件的t的值为：秒或秒． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题的解决方法，用时间t表示出各时段的线段的长度列出方程求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学科素养诊断试题 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 3. 某细菌的直径为毫米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中的真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 5. 星期天，小王去朋友家借书，他离家的距离与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小王去时的速度大于回家的速度 B. 小王在朋友家停留了10分钟 C. 小王去时所花的时间少于回家所花的时间 D. 小王去时走上坡路，回家时走下坡路 6. 在中，，则此三角形是( ) A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 下列各式能用平方差公式计算是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若，则的长度为（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 15 9. 如图，直线，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在锐角三角形中，直线l为的中垂线，射线为的角平分线，且直线l与射线相交于点P．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 12. 如图，是的中线，是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为______． 13. 有一棵树苗，刚栽下去时树高为1.9米，以后每年长0.3米，则树高y（米）与年数x（年）之间的关系式为__________． 14. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则_____． 15. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的度数为______． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为____________________． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算； （2）化简：． 18. 计算：先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，、为直角，与相交于点E，，求证：．（推理过程请注明理由） 20. 如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________ 又∵（已知）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∴________ 又∵________（平角的定义） ∴________， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴（________） 21. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： （1）在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2），两城相距______千米； 乙车比甲车晚出发______小时，______（填甲车或乙车）先到达城； 乙车出发______小时后追上甲车； 当甲、乙两车相距千米时，______． 22. 如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积． （2）求出当，时的阴影面积． 23. 如图所示，在正方形网格上有一个 ． （1）作 关于直线 对称图形（不写作法）； （2）在 上找一点 ，使得 最小； （3）若网格上每个小正方形边长为，求 的面积． 24. 如图，已知，点DBC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 25. 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 26. 如图，在等边△ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t=3秒时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由． （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值． （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$