精品解析：浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期第一次检测数学试题

2024年北仑中学高一年级第一次阶段检测 一､单选题 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 1与表示同一个集合 B. 由1，2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. 集合可以用列举法表示 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 2. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故取值集合为. 故选：C. 3. 已知集合满足，则集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再求， 【详解】因，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 5. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 6. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的. 【详解】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 7. 已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. －1<a<2 B. a≥1 C. a<－1 D. －1≤a<2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用解含参的一元二次不等式恒成立问题的方法求解，即可得出答案. 【详解】当a＝－1时，3>0成立； 当a≠－1时，需满足， 解得－1<a<2. 综上所述，－1≤a<2. 故选：D 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 二､多选题 9. 命题的否定是真命题，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据特称命题的否定知：，为真命题，再利用判别式小于0即可求解. 【详解】因为命题的否定是真命题， 所以命题：，是真命题，也即对，恒成立， 则有，解得：， 根据选项的值，可判断选项AB符合， 故选：AB. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 三､填空题 12. 若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为__________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得. 【详解】由集合，，得，而， 所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为： 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当且仅当时取等号， 故 ，当且仅当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 四､解答题 15. 已知全集，集合，且为非空集合. （1）分别求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合后可得. （2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可得参数的取值范围. 【小问1详解】 ， 又，所以， 故； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 故，故. 16. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 17. 设函数. （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围. 【小问1详解】 若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则，满足题意； 若即，则，所以， 综上，或. 所以命题：是假命题时，； 【小问2详解】 存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 18. 已知集合. （1）当时，求； （2）求. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）将代入，解出集合，结合交集的性质即可得； （2）根据、、分类讨论解出集合，结合交集的性质即可得. 【小问1详解】 当时，有，即，解得， 故，又，则； 【小问2详解】 当时，有，解得，故， 又，则； 当时，有， 解得或，故， 又，则； 当时，有， 解得，故，又，则； 综上所述：当时，； 当时，. 19. 已知函数，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设可判断解集中的3个整数为，故可得关于的不等式组，从而可求其范围. （2）根据包含关系可得关于不等式组即为，从而可求其范围. 【小问1详解】 ， 因为且中有且只有3个整数， 故这3个整数为，故即， 故或. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 因为，故任意，总有恒成立， 因为的对称轴为， 故，故， 故即， 故存，使得成立， 而，故， 而，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年北仑中学高一年级第一次阶段检测 一､单选题 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 1与表示同一个集合 B. 由1，2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. 集合可以用列举法表示 2. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合满足，则集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A －1<a<2 B. a≥1 C. a<－1 D. －1≤a<2 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 命题的否定是真命题，则实数的值可能是（ ） A B. C. 2 D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三､填空题 12. 若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为__________ ． 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________. 四､解答题 15. 已知全集，集合，且为非空集合. （1）分别求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求最小值. 17. 设函数. （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数取值范围. 18. 已知集合. （1）当时，求； （2）求. 19 已知函数，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $